5.10 Кванторы

Пусть P(x) – некоторый предикат. Тогда высказывание, утверждающее, что предикат P(x) принимает значение «истина» для любого значения переменной x, записывается как xP(x), где - квантор существования. Высказывание, утверждающее, что предикатP(x) принимает значение «истина» хотя бы для одного значения переменной x, записывается как xP(x). Здесь - квантор существования.

Следует еще раз обратить внимание, что xP(x) и xP(x) – не предикаты, а высказывания.

Пример 5.12 – Дан предикат P(x): «x - четное число». Переменная x принимает значения из множества M = {4, 7, 12}. Найти, истинны или ложны высказывания xP(x) и xP(x).

Высказывание xP(x) – ложно, так как не все числа во множестве M четны. А высказывание xP(x) – истинно, так как во множестве M есть четные числа.

Если предикат n-местный (т.е. содержит n переменных), то применение квантора к одной из переменных делает его (n-1)-местным, причем не зависящим от переменной, к которой применен квантор. Если кванторы применяются к двум переменным, то предикат становится (n-2)-местным, и т.д. Если кванторы применяются ко всем переменным, то предикат превращается в высказывание.

Пример 5.13 – Дан предикат P(x, y): «x делится на y». Переменная x принимает значения из множества M = {10, 12, 18}, а y – из множества N = {2, 4, 6, 7}. Приведем примеры применения кванторов к этому предикату.

Предикат P(x, y) – двухместный. Он задан в таблице 5.13.

Таблица 5.13 – Двуместный предикат из примера 5.13

x	y
	2	4	6	7
10	И	Л	Л	Л
12	И	И	И	Л
18	И	Л	И	Л

Предикат xP(x, y) – одноместный, читается как «любое число x из множества M делится на y», или «любое из чисел {10, 12, 18} делится на y». Этот предикат зависит от переменной y. Он задан в таблице 4.7.

Предикат xP(x, y) – одноместный, читается как «во множестве M есть число, которое делится на y», или «хотя бы одно из чисел {10, 12, 18} делится на y». Этот предикат также зависит от переменной y. Он задан в таблице 4.8.

Таблица 5.14 – Предикат xP(x, y) из примера 5.13						Таблица 5.15 – Предикат xP(x, y) из примера 5.13
y	2	4	6	7		y	2	4	6	7
xP(x, y)	И	Л	Л	Л		xP(x, y)	И	И	И	Л

Здесь, например, при y=2 предикат xP(x, y) превращается в истинное высказывание, так как все числа во множестве M делятся на 2. При y=4 этот предикат превращается в ложное высказывание, так как не все числа во множестве M делятся на 4.

Рассмотрим примеры для предиката xP(x, y). Например, при y=4 он превращается в истинное высказывание, так как во множестве M есть число, которое делится на 4 (это число 12). При y=7 он превращается в ложное высказывание, так как ни одно число во множестве M не делится на 7.

Предикат yP(x, y) – одноместный, читается как «число x делится на любое число из множества N», или «число x делится на любое из чисел {2, 4, 6, 7}». Этот предикат зависит от переменной x. Он задан в таблице 5.16.

Предикат yP(x, y) – одноместный, читается как «число x делится хотя бы на одно из чисел множества N», или «число x делится хотя бы на одно из чисел {2, 4, 6, 7}». Этот предикат также зависит от переменной x. Он задан в таблице 5.17.

Таблица 5.16 – Предикат yP(x, y) из примера 5.13					Таблица 5.17 – Предикат yP(x, y) из примера 5.13
x	10	12	18		x	10	12	18
yP(x, y)	Л	Л	Л		yP(x, y)	И	И	И

Здесь, например, при x=10 предикат yP(x, y) превращается в ложное высказывание, так как число 10 делится не на все числа во множестве N. Предикат yP(x, y) при x=10 превращается в истинное высказывание, так как во множестве N есть хотя бы одно число, на которое делится число 10 (это число 2).

Если кванторы применяются к обеим переменным, то предикат P(x, y) превращается в высказывание. Например, xyP(x, y) – высказывание, которое можно прочитать так: «любое число из множества {10, 12, 18} делится без остатка на любое число из множества {2, 4, 6, 7}». Видно, что это высказывание - ложное. Высказывание xyP(x, y) читается как «любое число из множества {10, 12, 18} делится без остатка хотя бы на какое-то число из множества {2, 4, 6, 7}»; это высказывание – истинное.