5.5.1 Совершенные дизъюнктивные нормальные формы

Будем называть элементарной конъюнкцией конъюнкцию отдельных переменных, некоторые из которых могут иметь знаки отрицания. Например, формулы X₁&X₂&X₃ или - элементарные конъюнкции. ФормулыилиX₁&(X₂X₃) не являются элементарными конъюнкциями.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) некоторой формулы – это эквивалентная данной формуле дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) некоторой формулы – это ее ДНФ, где в каждой элементарной конъюнкции содержатся все переменные данной формулы.

Основные действия при представлении заданной формулы в виде СДНФ следующие:

1) выразить заданную формулу, используя только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания (как показано в подразделе 5.4);

2) используя законы де Моргана, свести все операции отрицания к отдельным переменным;

3) используя основные равносильности алгебры логики (в основном - закон дистрибутивности), получить ДНФ;

4) используя операцию развертывания (будет рассмотрена ниже), получить СДНФ.

Пример 5.4 – Построить СДНФ для следующей формулы:

(X1  X3) → ((X1 & X2) ↓ (X1 & ))

Решим задачу в порядке, указанном выше.

Представление формулы через операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Используем следующие формулы:

A → B =  B

A ↓ B = &

Используя эти формулы, можно записать исходную формулу в следующем виде:

Как видно, в формуле используются только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Приведение операций отрицания к отдельным переменным. Используя закон де Моргана, полученную формулу можно записать в следующем виде:

Получение ДНФ. В данном случае первая часть формулы, , уже представляет собой элементарную конъюнкцию, что и требуется для ДНФ. Вторую часть формулы требуется преобразовать. Применяем закон дистрибутивности:

=

=

=

Учитывая, что ,, получим:

Учитывая, что A  0 = A, а также что A & B = B & A, можно записать:

Эта формула представляет собой ДНФ, т.е. дизъюнкцию элементарных конъюнкций. В данном случае имеются четыре элементарные конъюнкции: ,,,. Полученная формула – ДНФ, но не СДНФ, так как не во всех элементарных конъюнкциях содержатся все три переменные. В данном случае первая, третья и четвертая элементарные конъюнкции содержат только по две переменные, а вторая – только одну. В первой элементарной дизъюнкции не хватает переменнойX₂, во второй – переменных X₂ и X₃, в третьей – X₃, в четвертой – X_5.

Получение СДНФ. Для этого применяется операция развертывания. Пусть в некоторой элементарной конъюнкции (обозначим ее как A) не хватает некоторой переменной B. Элементарная конъюнкция A заменяется на A & 1 (так как A & 1 = A). Затем, так как , записываем формулуA & 1 как . Далее применяем свойство дистрибутивности:. Таким образом, исходная элементарная конъюнкцияA заменяется на две элементарные конъюнкции, в одной из которых содержится недостающая переменная B, а в другой – ее отрицание. Эта операция выполняется со всеми элементарными конъюнкциями, пока все они не будут содержать все переменные, имеющиеся в формуле, т.е. пока не будет получена СДНФ.

Применим операцию развертывания к рассматриваемому примеру. Выполним развертывание первой элементарной конъюнкции, где не хватает переменной X₂:

Выполним развертывание второй элементарной конъюнкции (). Здесь, где не хватает двух переменных -X₂ и X₃, поэтому операцию развертывания потребуется применить дважды:

=

=

=

=

Аналогично выполним развертывание третьей и четвертой элементарной конъюнкции:

Таким образом, все операции развертывания выполнены. Вместо ДНФ можно записать следующую формулу:

Учитывая, что A  A = A, можно переписать эту формулу без повторяющихся элементарных конъюнкций:

Эта формула – СДНФ для выражения (X₁X₃) → ((X₁ & X₂)↓(X₁ & )). Хотя СДНФ получилась длиннее, чем исходное выражение, но она имеет стандартный вид: состоит только из элементарных конъюнкций, причем каждая из них содержит все переменные формулы.

Примечание – Чтобы убедиться, что СДНФ построена правильно, можно составить таблицу истинности для исходной формулы и для СДНФ. Обе формулы при одинаковых значениях переменных (в данном случае – переменных X₁, X₂, X₃) должны принимать одинаковые значения.

Элементарные конъюнкции, составляющие СДНФ, называются конституентами единицы. Каждая из них принимает значение 1 (истина) только при одном наборе переменных. Например, =1 только приX₁=0, X₂=1, X₃=0 (так как только при этих значениях переменных = = 1&1&1=1). Таким образом, рассматриваемая в данном примере формула принимает значение, равное 1, при четырех наборах значений переменных. Эти наборы следующие: X₁=0, X₂=1, X₃=0; X₁=0, X₂=0, X₃=0; X₁=0, X₂=1, X₃=1; X₁=0, X₂=0, X₃=1. При остальных наборах значений переменных формула принимает значение 0.