5.11 Операции с кванторами

Приведем основные свойства высказываний, полученных с использованием кванторов:

• свойства отрицания:

, ;

• одинаковые кванторы можно менять местами:

, ;

• разные кванторы нельзя менять местами:

, ;

• квантор всеобщности можно выносить за скобки из выражения с операцией конъюнкции, но нельзя – из выражения с операцией дизъюнкции:

,

• квантор существования можно выносить за скобки из выражения с операцией дизъюнкции, но нельзя – из выражения с операцией конъюнкции:

,

;

• квантор можно выносить за скобки из выражения, часть которого не зависит от переменной, стоящей под знаком квантора:

,

,

,

,

где C – некоторая формула, не зависящая от переменной x.

Приведем несколько простых примеров, иллюстрирующих некоторые из этих свойств.

Пример 5.14 – Дан предикат P(x, y): «человек по фамилии x родился в день y». Найти, истинны или ложны высказывания: xyP(x, y), yxP(x, y).

Высказывание xyP(x, y) в данной задаче читается как «для любого человека существует день рождения». Это высказывание – истинное. Высказывание yxP(x, y) означает, что «существует день, который является днем рождения для любого человека». Это высказывание – ложное.

Этот пример иллюстрирует приведенное выше утверждение о том, что разные кванторы нельзя менять местами (или, другими словами, от порядка кванторов зависит смысл высказывания, а значит – и его истинность или ложность).

Пример 5.15 – Даны предикаты P(x): «x – страна в Европе», Q(x): «x – страна в Азии». Переменная x принимает значения на множестве M = {Польша, Чехия, Индия, Китай}. Приведем примеры высказываний, полученных из этих предикатов с использованием кванторов, а также логических операций:

= Л

Высказывание ложно, так как ложны высказывания (все страны из множестваM находятся в Европе) и (все страны из множестваM находятся в Азии). Таким образом, = Л Л = Л.

= И

Высказывание истинно: все страны во множестве M находятся или в Европе, или в Азии.

= И

Высказывание истинно, так как истинны высказывания (во множествеM есть хотя бы одна страна, находящаяся в Европе) и (во множествеM есть хотя бы одна страна, находящаяся в Азии). Таким образом, = И & И = И.

= Л

Высказывание ложно: во множестве M нет стран, которые находились бы и в Европе, и в Азии.

Этот пример иллюстрирует приведенное выше утверждение о том, что квантор всеобщности нельзя выносить за скобки из выражения с операцией дизъюнкции, а квантор существования – из выражения с операцией конъюнкции.

23