7.Перестановки. Число перестановок с повторением и без повторения.

1) Перестановка из n-элементов по k (k-перестановки из n) c повторением P(n,k) подсчитать число k-перестановок из n-элем.P*~(n,k)=n*k

Док-во:

P*(n,1)=1 P*(n,2) 1-qй обьект можно выбрать n-способами, и после такого выбора второй обьект так же может выбран n-раз.

Пусть имеется обьектов h , S(0,9) Перестановка из этих обьектов – последовательность чисел от 0 до 9, если к-чисел то P*t=10*k (*- в степени).

2) k перестановок из n P(n,k)

P(n,1)=n , P(n,2)=n(n-1); P(n,k)=n(n- a)…(n-k+a)

Из 100 по 2: P=9900

3) Перестановки n-элементов Pn, P(n)=P(n,n); Pn=n!

Y=f(x), Y1{1,2,3,4}

Таблица:

X 1 2 3 4

Y1 2 3 4 1

Y2 3 2 1 4

Подсчитаем взоемод наз. число ед-й

или 1-я P (1 2 3 4 ) 2-я P (1 2 3 4 )

2 3 4 1 3 2 4 1

Или (2 3 4 1 )

(3 2 1 4 )

Pn=n! =24

4) Перестановки n-обьектов k-типов ,причем Nk принадлежат к k-типу.

Доказательство:

а1…а1 а2…а2 если бы обьекты былт бы n1 раз, то P=n!

n1 n2

8,9.Сочетания

. Речь идёт о выборе k – элементов без повторений (без учёта порядка).

Рассмотрим все k сочетания из n элементов .

Закодируем каждое сочетание, т.е. любому сочетанию конфигурации соответствует 1 код и наоборот.

Сочетание – выборка. Закодируем следующим образом: имеется n объектов . Еслиi – й объект входит, ставим 1, если нет – 0. Число различных кодов равно числу перестановок их объектов двух типов: 0 и 1. Причём 1 в точности k, а остальные (n-k) позиции – 0.

Порядок 0 и 1 важен.

Число k сочетаний из объектов n типов

С помощью кодировки закодируем каждое k сочетание следующим образом: сначала напишем столько 1, сколько объектов 1-го типа входит в k сочетание. Затем записываем 0. Затем записываем столько 1, сколько входит объектов 2-го типа в k сочетание, затем записываем 0 и т.д. для каждого типа. Последний 0 не записываем, т.к. все коды имели бы позиции 0 и не отличались.

Каждое k-е сочетание имеет 1 код и, наоборот, в точности (n-k) – 0. Длина кода (n+k-1). Число различных кодов равно числу перестановок. k принадлежит 1-му типу, (n-k) – 2-му.

–биноминальный коэффициент.

10.Производящие функции для сочетаний.

1.

Множителем при t стоит сумма всех сочетаний из трёх объектов ,, по одному множителю при - сумма всех сочетаний из этих объектов по два.

Множитель при - сумма всех сочетаний из них по три.

(*)

коэф-т равен сумме всех сочетаний изn объектов поr.

произв. функция для сочетаний из n объектов.

Она является производной , т.к. производит сумму всех сочетаний из n объектов в качестве коэф. при .

Если , то последнее равенство будет иметь вид:

коэф-т равен сумме слагаемых приt в степени r в уравнение (*)

Выр-е наз. Перечисляющей производящей ф-ейn сочетаний или энумератором.

Свойство биномиальных коэ-тов:

1. t=1 Получим

Число всех подмножеств n-элементного множества =2ⁿ.

2. t=-1

Если просуммировать выражения пунктов 1и 2, то сумма всех чётных коэф-тов равна 2^n-1.

Если вычесть из 2 один, то получим, что сумма всех нечётных коэф-тов равна 2^n-1.

2.

Коэф-т при t равен числу всех сочетаний из двух объектов по одному.

Коэф-т при t² равен сумме всех сочетаний из двух объектов с повторениями.

Коэф-т при t³ равен сумме всех сочетаний из объектов х_1, х₂ по три при условии, что ни один из объектов не может повторяться в сочетании более двух раз.

Коэф-т при t^r равен сумме всех сочетаний из х_1, х₂,…..,хⁿ по r при условии, что ни один объект не может повторяться в сочетании более 2 раз.

Коэф-т при t^r равен сумме всех сочетаний из объектов х_1, х₂,…..,хⁿ по r при условии, что ни один из объектов не может повториться в сочетании более 2 раз.

Перечисляющая проводящая ф-я получится при :.

Коэф-т при t^r равен числу сочетаний .

(1+t+t²)ⁿ

(1+t+t²+….+t^r)ⁿ

(1+t+t²+…..)ⁿ==(1-t)^-n

Производящей ф-ей можно варьировать требования от одного объекта к другому.

один или три раза

не более двух раз

Если k-тый объект может встретиться …. то производящая ф-я будет иметь вид:

- т.к. два объекта

1-й объект может встретиться 1или 3 раза:

2-ой объект не более двух раз

11

На это выражение смотрететь как на экспоненциальную производную ф-ю для перестановок в том смысле, что коэф-т при равен числу перестановок изn по r.

Здесь коэф-т при равен сумме всех перестановок из 2 объектов поr при учловии, что ни один из объектов в перестановке не встречается более двух раз.

{x1x1,x1x2,x2x1,x2x2,}перестановили из двух объектов с повторениями.

{x1x1x2, x1x2x1, x2x1x1; x1x2x2, x2x1x2, x2x2x1}+ x1x1x1 и x2x2x2, если бы не было ограничения.

Если х1=х2=1;

при условии что ниодин коэф-т не может встретится более j раз.

Условие на повторение можно мавировать от объекта к объекту.

А0, а1 , а2…….

Производящая функ-я для последовательности элементов :

A(t)=- экспоненчиальная производящая ф-я.

Система мин. Независимых решений.

Производяшие ф-ии применяются при изучении регурентных соотношений для подсчёта числа комбинаторных объектов.