Глава 2 элементы теории вероятностей. Случайные события.

Основными понятиями теории вероятности являются понятия события и вероятности событий.

Под событием понимают такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации комплекса условий может произойти или не произойти.

События можно подразделить на три вида:

1) достоверное - если оно при осуществлении комплекса условий обязательно

произойдёт;

2) невозможное - если оно при испытании не может произойти;

3. случайное - если при испытании оно может произойти, а может и не произойти.

• К л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т и.

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих исходов к числу n всех возможных элементарных исходов в данном испытании.

вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам

Изучите понятия относительной частоты и статистической вероятности (см. §6,7 гл.I [1] ).

• Т е о р е м ы с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я в е р о я т н о с т е й.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления других.

Например: 3 орудия стреляют в цель и возможность попадания в цель всех 3-х орудий не исключается, следовательно они совместны.

События называются несовместимыми ( несовместными), если появление одного из них исключает возможность появления других.

Например: при бросании монеты выпадение «орла» исключает возможность появления "решки".

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

(доказательство см. §1 гл.II [1] ).

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где АВ - произведение событий А и В.

Теорема сложения вероятностей для нескольких событий:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:

В случае, когда события совместны, вероятность их суммы выражается формулой

,

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов i, j, k, ...., взятых по одному, по два, по три и т.д.

Пример 1. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение. Обозначим события:

– появление хотя бы одного туза,

А – появление одного туза,

А – появление двух тузов,

А – появление трех тузов.

Событие произойдет, если наступит одно из несовместимых событий А , А или А .

Очевидно, что В = А + А + А ,

Р(В) = Р(А ) + Р(А ) + Р(А ),

т.е. Р(В) = .

Можно решить иначе. Событие , противоположное событию , состоит в том, что среди вынутых из колоды карт нет ни одного туза:

( ) + ( ) = 1,

( ) = 1 - ( ) = .

Пример 2. В урне находятся 5 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают наугад 3 шара.

Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

Решение. Обозначим события:

А – появление трех шаров одного цвета,

А – появление трех шаров белого цвета,

А – появление трех шаров черного цвета.

Событие А наступит, если произойдет какое-нибудь из двух несовместных событий А или А :

А = А + А ,

Р(А) = Р(А ) +Р(А ) =

Замечание. Если событие А и В совместны, то

Р(А + В) Р(А) + Р(В) .

Е сли события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Событие называется противоположным событию , если оно состоит в непоявлении события .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р( ) + Р( ) = 1.

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р .

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

Р = Р( ); Р = Р(В ) .

Т е о р е м а у м н о ж е н и я в е р о я т н о с т е й

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии наступления первого:

Р(АВ) = Р(А ) Р .

или Р(АВ) = Р(В ) Р .

для независимых событий А и В

Р(АВ) = Р(А) Р(В ).

Т е о р е м а у м н о ж е н и я в е р о я т н о с те й

д л я н е с к о л ь к и х с о б ы т и й

Р = Р Р Р Р

В случае, когда события независимы, т. е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных,

Р Р .

Пример3. В урне 5 белых и 2 черных шара. Из нее извлекают наугад 3 шара. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится белый шар (событие А ), при втором – снова белый шар (событие А ) и при третьем – черный (событие В) .

Решение. События А , А и В – зависимые. Нас интересуют появление и события А , и события А , и события В, т.е. их произведение А А В. Тогда имеем

Р = Р Р Р = .

Пример 4. Те же условия, что и в предыдущем примере, но каждый раз шары возвращаются в урну и все шары в урне перемешиваются.

Решение. По условию задачи события А , А и В – независимые. Тогда имеем

Р = Р Р Р = .

Пример 5. На семи одинаковых карточках написаны буквы а, а, в, о, р, с, т. какова вероятность того, что

1. извлекая все карточки по одной наудачу, получим в порядке их выхода слово «Саратов»;

2. извлекая пять карточек по одной наудачу, получим в порядке их выхода слово «товар»?

Решение.

1. Обозначим через события «появления букв» с, а, р ,а , т, о, в соответственно. События - зависимые. Нас интересует появление события .

Тогда получим

2. Обозначим через события «появления букв» т, о, в, а, р соответственно. Найдем вероятность события

.

Пример 6. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6 , для второго – 0,7 и для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что произойдут два попадания в цель, если каждый из трех стрелков сделает по одному выстрелу. Через В, С, D обозначим попадание в цель соответственно первым стрелком; вторым и третьим; - промахи первым, вторым и третьим стрелком.

Очевидно, что

.

Применив теоремы сложения и умножения вероятностей, получим

Здесь воспользовались свойством противоположных событий, например, нашли из равенства Р(В) + = 1.

Изучите правило нахождения вероятности хотя бы одного события (см. §5 гл.III [1] ).

• Г е о м е т р и ч е с к и е в е р о я т н о с т и .

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок 1 пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина 1/ Длина L.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения относительно G, ни от формы g , то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Р = Площадь g / Площадь G.

Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, которая составляет часть фигуры V:

Р = Объём v / Объём V.

• Ф о р м у л а п о л н о й в е р о я т н о с т и .

Формула полной вероятности. Пусть событие В может произойти только вместе с одним из событий которые образуют полную систему событий. Известны вероятности этих событий и условные вероятности события В