Расчет осей на статическую прочность

Как указывалось выше, оси не испытывают кручения, поэтому их рас­считывают только на изгиб.

Последовательность проектировочного расчета.

По конструкции узла (рис.9, а) составляют расчетную схему (рис.9, б), определяют силы, действующие на ось, строят эпюры изгибающих мо­ментов; диаметр оси d определяют по формуле

где М_и — максимальный изгибающий момент;  — допускаемое напря­жение изгиба.

Выбор .

Во вращающихся осях напряжение изгиба изменяется по симметрично­му циклу: для них принимают  , в неподвижных  . Для вращающихся осей из Ст5   = 50   80 МПа, для невра-щающихся   = 100   160 МПа (меньшие значения рекомендуется прини­мать при наличии концентраторов напряжений).

Рис. 9. Расчетная схема оси: а — конструкция; б — расчетная схема;

в — эпюра изгибающих моментов

 

Полученное значение диаметра оси d округляют до ближайшего боль­шего стандартного размера:

16, 17, 18, 19; 20; 21; 22; 23; 24;

25; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40;

42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65;

70; 75; 80; 85; 90; 95; 100.

Если ось в расчетном сечении имеет шпоночную канавку, то ее диа­метр увеличивают на 10 %.

Проверочный расчет осей на статическую прочность.

Этот расчет производят по формуле

где   — расчетное напряжение изгиба в опасном сечении оси.

Приближенный расчет валов на прочность

При этом методе расчета различие характера циклов изменения нор­мальных и касательных напряжений и их влияние на прочность не учиты­вают.

В зависимости от действия нагрузок возможны два случая приближен­ного расчета валов на прочность: расчет только на кручение и расчет на со­вместное действие кручения и изгиба.

Приближенный расчет выполняют как проектировочный, на основе которого ориентировочно устанавливают диаметры характерных сечений вала с последующим уточнением коэффициентов запаса прочности по выносливости (уточненный расчет см. ниже).

Расчет валов на кручение.

При этом расчете обычно определяют диаметр выходного конца вала или диаметр вала под подшипником (под опорой), который испытывает только кручение.

Исходя из условия прочности (1) выполняют проектировочный рас­чет

и проверочный расчет

где d — расчетный диаметр вала; М_к — крутящий момент в опасном сече­нии вала;   и   — расчетное и допускаемое напряжения кручения в опасном сечении вала (для сталей 45 и Ст5  = 25 35 МПа).

Взамен расчета на кручение для определения предварительного значения диаметра вала можно применять эмпирические зависимости:

В месте посадки шестерни на быстроходный и промежуточный валы

d_Б ≈ 0,22a_WБ; d_П ≈ 0,3а_WБ.

для тихоходного вала

d_T ≈ 0,3a_WT.

Выходной конец быстроходного вала

d ≈ (0,8 – 1,15)d_эл.дв.

Быстроходный вал

d_П ≥ d + 2t (t ≈ 2…3,5) мм.

Промежуточный вал

Проходной вал

После выполнения этого предварительного расчета вал окончательно рассчитывают на статическую прочность при совместном действии изгиба и кручения или на выносливость.

 

Расчет валов на совместное действие кручения и изгиба.

Большинство валов работают на изгиб и кручение. Кроме этого некоторые участки вала под действием осевых сил могут дополнительно работать на растяжение или сжатие. Однако эти напряжения невелики по сравнению с [σ]_u и их обычно не учитывают.

Для расчета вала на сложное сопротивление необходимо знать величины M_u в опасных сечениях. С этой целью по предварительно принятому или рассчитанному диаметру вала намечают местоположение опор и составляют расчетную схему, определяют все силы, действующие на вал, строят эпюры M_u и M_k, намечают опасные сечения, а затем производят расчет вала.

Результирующие опорные реакции R_i и результирующие изгибающие моменты определяют по формулам:

где R_x; R_y; M_ux; M_uy – соответственно опорные реакции и изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Участок вала между опорами (под шестерней, колесом и т.п.) рассчи­тывают на совместное действие кручения и изгиба по эквивалентному мо­менту М_экв.

Эквивалентный момент вычисляют обычно по формуле (при расчете по теории максимальных касательных напряжений):

где М_и и М_к — изгибающий и крутящий моменты.

По аналогии с рассмотренными выше случаями расчета выполняют:

проектировочный расчет

и проверочный расчет

где   — эквивалентное напряжение для расчетного сечения вала.

Получив расчетным путем размеры, с учетом технологии изготовления проектируют конструктивную форму вала.

Приближенный расчет на совместное действие кручения и изгиба для неответственных конструкций валов можно считать основным. Уточнен­ный расчет на выносливость можно не производить, если соблю­дается условие

где   — предел выносливости материала при изгибе (симметричный цикл); K_d — масштабный коэффициент;   — эффективный коэффициент концентрации напряжений в опасном сечении; [s] — допускаемый коэф­фициент запаса прочности по выносливости.

Для опасных сечений определяют коэффициенты запаса сопротивления усталости и сравнивают их с допускаемыми. При одновременном действии напряжений изгиба и кручения коэффициент запаса сопротивления усталости определяют по формуле

где   – коэффициент запаса сопротивления усталости по нормальным напряжениям при изгибе

          – коэффициент запаса сопротивления усталости по касательным напряжениям при кручении

В этих формулах  и   – пределы выносливости соответственно при изгибе и при кручении при симметричном цикле изменения напряжений. Это характеристики материала, которые выбираются по справочникам или по приближенным формулам:

 и   – амплитуды переменных составляющих циклов напряжений;

 и   – средние напряжения циклов соответственно при изгибе и кручении.

При расчете принимают, что нормальные напряжения изменяются по симметричному циклу

а касательные – по пульсирующему отнулевому циклу

и   — коэффициенты, учитывающие влияние асимметрии цикла напряжений на прочность вала соответственно при изгибе и при кручении. Эти значения зависят от механических характеристик материала.

Коэффициенты  и   выбираются из ряда:

 

– коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности вала. Его значение выбирают в интервале   = 0,9 … 1,0;

– масштабные факторы для нормальных и касательных напряжений, выбираемые интерполированием по данным таблицы 2.

K_d – масштабный фактор, то есть коэффициент, учитывающий влияние размеров сечения вала на прочность (выбирают по справочникам в зависимости от диаметра и марки материала); K_F – фактор шероховатости поверхности (выбирают по справочникам в зависимости шероховатости поверхности и предела прочности   стали);

 и   – эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении (выбирают по табл.1 в зависимости от вида концентратора в расчетном сечении и  ).

Сопротивление усталости можно значительно повысить, применив один из методов поверхностного упрочнения: азотирование, поверхностную закалку ТВЧ, дробеструйный наклеп, обкатку роликами и т.п. При этом можно получить увеличение предела выносливости до 50% и более. Чувствительность деталей к поверхностному упрочнению уменьшается с увеличением ее размеров.

Проверочный расчет осей на усталостную прочность ведут аналогично расчету валов при М_к = 0.

Проверка статической прочности

Эту проверку выполняют с целью предупреждения пластических деформаций и разрушений при кратковременных перегрузках (например, пусковых и т. п.). При этом определяют эквивалентное напряжение по формуле

где

 – напряжение изгиба в сечении вала;

 – касательное напряжение в сечении вала.

Здесь М и Т – изгибающий и крутящий моменты в опасном сечении при перегрузке, W_и и W_ρ - соответственно осевой и полярный момент сопротивления сечения вала.

Моменты сопротивления для круглого сечения равны

Для круглого сечения со шпоночной канавкой моменты сопротивления рассчитывают по зависимостям:

где b - ширина шпоночной канавки; t₁ - глубина шпоночной канавки.

Запас прочности по пределу текучести

где [n_Т]=1,2…1,8 - допустимый коэффициент запаса прочности.

 

Расчет осей и валов на жесткость

Валы и оси, рассчитанные на статическую или усталостную проч­ность, не всегда обеспечивают нормальную работу машин. Под действием на­грузок F (рис. 14) валы и оси в процессе работы деформируются и полу­чают линейные прогибы f и угловые   перемещения, что, в свою очередь, ухудшает работоспособность отдельных узлов машин. Так, например, зна­чительный прогиб f  вала электродвигателя увеличивает зазор между рото­ром и статором, что отрицательно сказывается на его работе. Угловые пе­ремещения   вала или оси ухудшают работу подшипников, точность зацеп­ления передач. От прогиба вала в зубчатом зацеплении возникает концентрация нагрузки по длине зуба. При больших углах поворота   в подшипнике может произойти защемление вала. В металлорежущих станках перемещения валов (в особенности шпинделей) снижают точность обработки и качество поверхности деталей. В делительных и отсчетных механизмах упругие перемещения снижают точность измерений и т. д.

Для обеспечения требуемой жесткости вала или оси необходимо произвести расчет на изгибную или крутильную жесткость.

 

Рис. 14. Деформация вала под нагрузкой

 

Расчет валов и осей на изгибную жесткость.

Параметрами, харак­теризующими изгибную жесткость валов и осей, являются прогиб вала f  и угол наклона  , а также угол закручивания

Условие для обеспечения в процессе эксплуатации требуемой жестко­сти на изгиб:

где f — действительный прогиб вала (оси), определяемый по формуле    (сначала определяется максималь­ный прогиб в плоскости (Y)- f_y, затем в плоскости (Z) - f_z, после чего эти прогибы векторно суммируются); [f] — допускаемый прогиб (табл. 3);   и   — действительный и допускаемый углы наклона (табл. 3).

Расчет валов и осей на крутильную жесткость.

Максимальный угол закручивания определяется также по формулам курса "Сопротивление материалов".

Допускаемый угол закрутки в градусах на метр длины можно принимать равным:

Допускаемые упругие перемещения зависят от конкретных требований к конструкции и определяются в каждом отдельном случае. Так, например, для валов зубчатых цилиндрических передач допустимая стрела прогиба под колесом  , где т – модуль зацепления.

Малое значение допускаемых перемещений иногда приводит к тому, что размеры вала определяет не прочность, а жесткость. Тогда нецелесообразно изготовлять вал из дорогих высокопрочных сталей.

В целях упрощения расчетов можно пользоваться готовыми  формулами, рассматривая ось или вал как тела, имеющие постоянное сечение приведенного диаметра. Такие формулы имеются в справочной и учебной  литературе (см. курс «Сопротивление материалов»).

Расчет на жесткость производят только после расчета вала  или оси на прочность, когда форма  и размеры известны.

Потребная крутильная жесткость валов определяется различными критериями. Статические упругие угловые деформации кинематических цепей могут сказываться на точность работы машины: например, точных зуборезных станков,  делительных машин и т.д. В связи с этим углы закручивания длинных ходовых валов тяжелых станков ограничиваются величиной φ = 5¹ на длине 1 м. Для вала-шестерни недостаточная  крутильная жесткость может привести к увеличенной концентрации нагрузки по длине зуба. Для  большинства валов жесткость на  кручение существенного  значения не имеет и расчет на крутильную жесткость не производят. Когда же деформация кручения валов должна быть ограничена,  то валы рассчитывают на жесткость при кручении по формулам сопротивления материалов.

Расчет валов на колебания

Для большинства быстроходных валов причинами, вызывающими колебания являются силы от неуравновешенных масс деталей. При совпадении или  кратности частоты возмущающей силы и частоты собственных колебаний вала наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний вала резко возрастает и может  достигнуть опасных значений. Соответствующие резонансу угловую  скорость (ω) и частоту вращения (n) называют критическими (ω_кр,n_кр).

Различают следующие виды колебаний валов: поперечные или изгибные угловые или крутильные; и изгибно-крутильные. В курсе ДМ рассматривают только поперечные колебания, а остальные  – в специальных курсах.

Расчет осей и валов на поперечные колебания заключается в проверке условия отсутствия резонанса при установившемся режиме.

Рис.14.1. Схема для определения критической частоты вращения вала

Исследованиями установлено, что для отсутствия явления резонанса скорость вращения оси или вала при установившемся движении должна быть меньше или больше  критической скорости.

где Y – прогиб вала от действия  веса установленных на нем деталей.

Например, для простейшей схемы, когда на валу симметрично относительно опор установлена деталь, весом (Р) со смещенным центром тяжести на величину (е).

Для этого случая

Критическое число оборотов равно:

О приближении скорости вращения вала к критической можно судить  по появлению увеличивающейся вибрации вала.

Большинство валов и осей работают в докритической области. Для уменьшения опасности резонанса  повышают жесткость валов  и уменьшают их частоту вращения n ≤ 0,7n_кр.

При больших скоростях вращения применяют валы (турбины, центрифуги), работающие в закритической  области. Сами валы изготавливают повышенной податливости, кроме  того, принимают n ≥ 0,7n_кр.

Переход через ω_кр осуществляют возможно быстрее и предусматривают специальные ограничители колебаний.

1.7 Опоры качения, выбор.

Выбор подшипников качения

При выборе типа и размеров подшипника качения необходимо учитывать:  1) величину и направление нагрузки;  2) характер нагрузки (постоянная, переменная, ударная);  3) число оборотов подшипника;  4) требуемый срок службы (долговечность) подшипника;  5) требования, предъявляемые к подшипнику конструкцией узла. На основании этих требований выбирают необходимый тип подшипника, а затем определяююрпт коэффициент работоспособности С по ф-ле С = Q(nh)0,3 где Q — условная радиальная нагрузка на подшипник в кг; n — число оборотов подшипника в минуту;  h — долговечность подшипника в час.

По найденному коэффициенту работоспособности подшипника определяют его размеры по таблицам ГОСТ на данный тип подшипника. Величина условной радиальной нагрузки Q зависит от типа подшипника. В случае радиальных шарико- и роликоподшипников условная радиальная нагрузка определяется по эмпирической формуле

Q = (Rk_к + mA)k_бk_Т

где R — действительная радиальная нагрузка в кг;  А — действительная осевая нагрузка в кг; m — коэффициент приведения осевой нагрузки к радиальной, зависящий от типоразмера подшипника; k_к — коэффициент, учитывающий влияние вращения наружного или внутреннего кольца подшипника на его долговечность; k_б — коэффициент, учитывающий влияние характера нагрузки на долговечность подшипника; k_Т — коэффициент, учитывающий влияние температуры на долговечность подшипника:

Условная радиальная нагрузка для упорных подшипников определится по формуле

Q = Ak_бk_Т

При действии на радиально-упорный подшипник радиальной нагрузки возникает дополнительная осевая сила, разгружающая подшипник в осевом направлении. Если вал смонтирован на двух радиально-упорных подшипниках, имеющих одинаковые радиальные нагрузки, то их осевые силы взаимно уничтожаются. В этом случае условная радиальная нагрузка на радиально-упорные подшипники будет определяться по формуле для радиальных подшипников

Q = (Rk_к + mA)k_бk_Т

Если осевые силы не уравновешиваются, то условная радиальная нагрузка должна определяться по формуле

Q = Q_прk_кk_бk_Т

где Q_пр — приведенная радиальная нагрузка. Величина Q_пр для разных случаев установки и нагружения подшипников в специальных таблицах.

Другой пример выбора

Определение радиальных реакций. Вал на подшипниках, установленных по одному в опоре, условно рассматривают как балку на шарнирно-подвижных опорах или как балку с одной шарнирно-подвижной и одной шарнирно-неподвижной опорой. Радиальную реакцию F_r подшипника считают приложенной к оси вала в точке пересечения с ней нормалей, проведенных через середины контактных площадок. Для радиальных подшипников эта точка расположена на середине ширины подшипника. Для радиально-упорных подшипников расстояние а между этой точкой и торцом подшипника может быть определено графически (рис. 25) или аналитически: подшипники шариковые радиально-упорные однорядные

a=0,5[B+0,5(d+D))tgα];

подшипники роликовые конические однорядные

a=0,5(T+(d+D)е/з].

Ширину В кольца, монтажную высоту Т, коэффициент е осевого нагружения, угол

Рис.25.Расположение точки приложения  радиальной реакции в радиально-упорных  подшипниках

α контакта, а также диаметры d и D принимают по каталогу. Реакции опор определяют из уравнения равновесия: сумма моментов внешних сил относительно рассматриваемой опоры и момента реакции в другой опоре равна нулю. В ряде случаев направление вращения может быть переменным или неопределенным, причем изменение направления вращения может привести к изменению не только направления, но и значений реакций опор. При установке на концы валов соединительных муфт направление силы на вал от муфты неизвестно. В таких случаях при расчете реакций рассматривают наиболее опасный вариант. Возможная ошибка при этом приводит к повышению надежности. Определение осевых реакций. При установке вала на двух радиальных шариковых или радиально-упорных подшипниках нерегулируемых типов осевая сила F_a,нагружающая подшипник, равна внешней осевой силе F_A, действующей на вал. Силу F_A воспринимает тот подшипник, который ограничивает осевое перемещение вала под действием этой силы. При определении осевых сил, нагружающих радиально-упорные подшипники регулируемых типов, следует учитывать осевые силы, возникающие под действием радиальной нагрузки F_r вследствие наклона контактных линий. Значения этих сил зависят от типа подшипника, угла контакта, значений радиальных сил, а также от того, как отрегулированы подшипники (см. рис. 22, а-в). Если подшипники собраны с большим зазором, то всю нагрузку воспринимает только один или два шарика или ролика (рис. 22, а). Осевая составляющая нагрузки при передаче ее одним телом качения равна F_rtgα. Условия работы подшипников при таких больших зазорах неблагоприятны, и поэтому такие зазоры недопустимы. Обычно подшипники регулируют так, чтобы осевой зазор при установившемся температурном режиме был бы близок к нулю. В этом случае под действием радиальной нагрузки F_r находятся около половины тел качения (рис. 22, 6), а суммарная по всем нагруженным телам качения осевая составляющая из-за наклона контактных линий равна е' F_r и представляет собой минимальную осевую силу, которая должна действовать на радиально-упорный подшипник при заданной радиальной силе:

F _{a min} = е^' F_r                            (24)

  Для шариковых радиально-упорных подшипников с углом контакта а < 18°, F _{a min} = е^' F_r ,  где е' - коэффициент минимальной осевой нагрузки. В подшипниках такого типа действительный угол контакта отличается от начального и зависит от радиальной нагрузки F_r и базовой статической грузоподъемности С_or- Поэтому коэффициент е' определяют по формулам:  для подшипников с углом контакта а = 12°

е^'= 0,563(F _r/C_or) ^0,195;       (25)  

 для подшипников с углом контакта а = 15°

е^'= 0,579(F _r/C_or) ^0,136;       (26)  

  Для шариковых радиально-упорных подшипников с углом контакта а ≥ 18°, е^'=e  и F _{a min} = е^' F_r . Значения коэффициента е  осевого нагружения принимают по таблице 64.    Для конических роликовых:  е^'= 0,83e   и F _{a min} = 0,83 е F_r . Значения коэффициента е  принимают по каталогу.  Под действием силы F _{a min} наружное кольцо подшипника поджато к крышке корпуса. При отсутствии упора кольца в крышку оно будет отжато в осевом направлении, что приведет к нарушению нормальной работы подшипника. Для обеспечения нормальных условий работы осевая сила, нагружающая подшипник, должна быть не меньше минимальной: F_а  ≥ F_а min . Это условие должно быть выполнено для каждой опоры.  Если F_а  ≥ F_а min, то более половины или все тела качения подшипника находятся под нагрузкой (см. рис. 22, в). Жесткость опоры с ростом осевой нагрузки увеличивается, поэтому в некоторых опорах, например в опорах шпинделей станков, применяют сборку с предварительным натягом.  Для нормальной работы радиально-упорных подшипников необходимо, чтобы в каждой опоре осевая сила, нагружающая подшипник, была бы не меньше минимальной:

 F_а1  ≥ F_а1 min и  F_а2  ≥ F_а2 min

 Кроме того, должно быть выполнено условие равновесия вала - равенство нулю суммы всех осевых сил, действующих на вал. Например, для схемы по рис. 26 имеем

F_A + F_A1 ^_ F_A2= О.