Математическая основа карт.

При изображении на топографических картах значительных территорий поверхность шара или референц-эллипсоида необходимо развернуть на плоскость. Однако выполнить такую операцию без разрыва сплошности сферической поверхности эллипсоида невозможно. Поэтому для решения этой задачи используются дополнительные поверхности, легко разворачивающиеся в плоскость.

При использовании дополнительных поверхностей, на первом этапе выполняется проектирование поверхности референц-эллипсоида на эти поверхности, а затем полученное изображение разворачивается на плоскость. Эти операции осуществляются путём применения различных картографических проекций.

Картографическая проекция - это математически строгий способ перехода от реальной, геометрически сложной Земной поверхности к плоскости карты.

В результате каждой точке на Земном шаре с широтой j и долготой l соответствует одна и только одна точка на карте с прямоугольными координатами Х и У. Поэтому в общем виде уравнения картографических проекций имеют вид:

Х=f₁(j,l); Y=f₂ (j,l),

где j и l - криволинейные географические координаты некоторой точки на картографируемой поверхности, X и Y - прямоугольные координаты изображения этой точки на плоскости в проекции, определяемой функциями f₁ и f₂, при условии, что эти функции однозначны и непрерывны (хотя бы для некоторых значений j и l, ограниченных рамками карты).

Каждой проекции соответствует определённая картографическая сетка (меридианов и параллелей), которая составляет математическую основу создаваемых карт.

Классификация поверхностей:

Может быть произведена по 3-м факторам:

• по виду вспомогательных поверхностей;

• по характеру искажений;

• по виду нормальной сетки меридианов и параллелей.

По виду вспомогательных поверхностей, используемых при переходе от эллипсоида или шара к плоскости карты картографические проекции подразделяются на:

- цилиндрические, когда проектирование с эллипсоида или шара выполняется на боковую поверхность одного или нескольких цилиндров, при этом цилиндры могут касаться эллипсоида или являться секущими;

- конические и поликонические, когда вспомогательными поверхностями служат один или несколько касательных или секущих конусов; в конических проекциях меридианы расходятся пучком из одной точки под равными углами, а параллели изображаются дугами концентрических окружностей;

- перспективные, при помощи которых Земля проектируется на какую-нибудь плоскость, называемую "картинной плоскостью", из какой-либо точки - центра проектирования. В зависимости от расположения "картинной плоскости" и центра проектирования будут получаться разные перспективные проекции. Например, если картинная плоскость располагается параллельно плоскости экватора и касается полюса, то такая проекция называется азимутальной. Если картинная плоскость перпендикулярна плоскости экватора и проходит через центр Земли, а центр проектирования находится на экваторе, то проекция называется стереографической.

Кроме того, существует большой класс условных проекций, при построении которых не пользуются геометрическими аналогиями, а используют лишь математические уравнения нужного вида.

Вопрос использования того или иного вида картографических проекций определяется, исходя из величин искажений.

Вообще, если разрывов сферической поверхности Земли при переходе к плоскости карты удаётся избежать с помощью дополнительного проектирования на вспомогательные поверхности, то избежать искажений, т.е. деформаций - сжатий и растяжений - невозможно. Вследствие этого все картографические проекции характеризуются некоторыми искажениями изображений географических объектов на карте по сравнению с реальными объектами на эллипсоиде. Эти искажения зависят от свойств изображения.

Различают искажения длин и связанных с ними площадей, а также углов и вследствие этого форм или контуров. Вообще говоря, в одних случаях можно избежать искажений площадей, в других - искажений углов, но длины линий будут искажаться во всех проекциях (искажения длин отсутствуют только в отдельных точках или на некоторых линиях карты).

На картах линии, соединяющие точки с равными искажениями, называются изоколами.

По характеру искажений картографические проекции подразделяются на три типа:

I тип - равноугольные, в которых не искажаются углы и сохраняются подобия контуров, но искажаются площади изображений; по картам в равноугольных проекциях удобно прокладывать маршруты судов и самолётов, но невозможно правильно изображать территории и измерять площади.

Наиболее характерным примером подобной проекции является прямоугольная меркаторская проекция. Она была предложена в 1569 г. голландским картографом Герардом Меркатором и явилась крупнейшим открытием, во многом способствовавшем развитию мореплавания и картографии.

Суть данной проекции заключается в следующем.

Земной эллипсоид мысленно помещается внутрь цилиндра, образующие которого параллельны земной оси вращения. Изображения земной поверхности проектируются из центра эллипсоида на боковую поверхность цилиндра. Боковая поверхность цилиндра затем разворачивается в плоскость. На карте в такой проекции параллели и меридианы - прямые параллельные линии. При этом меридианы равно отстоят друг от друга, а расстояния между параллелями возрастают в направлении от экватора к полюсам, т.е. масштаб изображения на карте меняется в зависимости от удалённости от экватора. По этой причине, например, Гренландия, которая на глобусе меньше Африки, на карте в меркаторской проекции практически соизмерима с ней.

Однако для геодезии и картографии более удобной оказалась другая равноугольная проекция - поперечно-цилиндрическая Гаусса, предложенная в 1820 г. немецким астрономом и геодезистом Карлом Фридрихом Гауссом. Математический аппарат этой проекции был разработан немецким математиком Крюгером.

В 1928 г. на III геодезическом совещании для всех геодезических и топографических работ в СССР была принята проекция Гаусса-Крюгера на эллипсоиде Бесселя. В этой проекции начали создавать топографические карты масштабов крупнее 1:500 000, а с 1939 г. проекция Гаусса-Крюгера стала применяться и для карты масштаба 1:500 000. В апреле 1946 г. постановлением правительства были утверждены размеры референц-эллипсоида Красовского и новые исходные координаты, характеризующие систему координат 1942 г.

В этой проекции земной эллипсоид тоже проектируется на боковую поверхность цилиндра, но его образующие перпендикулярны оси вращения Земли.

При такой ориентировке цилиндр и эллипсоид имеют один общий меридиан, а все остальные меридианы при проектировании на цилиндр искажаются, т.е. увеличиваются по длине. Причем, эти искажения тем больше, чем дальше меридианы расположены от общего меридиана эллипсоида и цилиндра. Если затем цилиндр разрезать по образующим, проходящим через полюсы, и разрезанные части развернуть в плоскости, то в результате на плоскости образуется фигура - изображение сфероидического двуугольника, называемое "зоной".

Если же взять много цилиндров и на каждый из них проектировать ограниченные зоны, расположенные между меридианами, то искажения могут быть уменьшены и приближены к погрешностям высокоточных геодезических измерений.

В географическом отношении такая проекция не имеет практического значения, так как она даёт не сплошное изображение всей земной поверхности, а с разрывами, увеличивающимися к полюсам. Ценность этой проекции в другом:

- позволяет выбирать системы плоских прямоугольных координат по всей поверхности Земли с единым началом координат для каждой данной зоны;

- даёт возможность находить по географическим координатам любой точки земного шара или сфероида прямоугольные координаты её изображения и, наоборот, - по данным плоским прямоугольным координатам точки в этой проекции вычислять соответствующие им географические координаты;

- главное, обеспечивает получение искажений, соизмеримых с погрешностями геодезических измерений, что, фактически, сближает карту с планом.

Правда формулы для перевычисления координат или, другими словами, математический аппарат данной проекции довольно сложен.

В результате специальных исследований были определены оптимальные размеры полосы, которую целесообразно перенести на конкретный касательный цилиндр: сфероидический двуугольник, ограниченный меридианами с разностью долгот 6⁰. В этом случае для территорий, расположенных в полосе широт от 30 до 70⁰, (т.е. для нашей страны в том числе) относительные погрешности от искажения длин линий при проектировании колеблются от 1:1000 до 1:6000. В случаях, когда указанные погрешности недопустимы для построения карт и планов, используют не шестиградусные, а трёхградусные зоны.

Таким образом, поверхность земного эллипсоида разбивается на 60 зон, вокруг центрального (осевого) меридиана каждой из которых описывается свой касательный цилиндр. На поверхности цилиндров конформно (т.е. с сохранением углов) проектируются соответствующие части сфероида в пределах данной зоны.

При этом в каждой зоне выбирается начало системы прямоугольных координат - точка пересечения осевого меридиана данной зоны с экватором. Осевой меридиан принимается за ось Х, изображение земного экватора, перпендикулярного к осевому меридиану, служит осью У. Координаты Х точек, расположенных к северу от экватора, считаются положительными, а к югу - отрицательными. Координаты У точек, находящихся к востоку от осевого меридиана, считаются положительными, к западу - отрицательными.

Западный граничный меридиан первой зоны совпадает с Гринвичским меридианом. Долгота осевого меридиана какой-либо зоны определяется по формуле:

L⁰ = 6 N - 3⁰, (3)

где N - номер зоны.

Территория России находится в северном полушарии, поэтому координаты Х всех точек имеют положительные значения. Значения же координат У могут быть как положительными, так и отрицательными, что представляет известные неудобства при решении различных задач геодезии и маркшейдерского дела. Для того, чтобы не иметь дело с отрицательными значениями ординат, в каждой зоне к началу координат искусственно добавляется значение ординаты, равное 500 км. В итоге образованные таким образом ординаты принято называть приведенными.

Например, если ординаты двух точек восьмой зоны относительно осевого меридиана равны

у₁=23 730.00 м и у₂=-102 280.00 м ,

то приведенные ординаты соответственно будут

у₁=23 730.00 + 500 000.00 = 523 730.00 м и

у₂=-102 280.00 + 500 000.00 = 397 720.00 м.

В связи с тем, что одинаковые ординаты точек могут повторяться в каждой из 60 зон, введено правило, определяющее отнесение ординат к определенной зоне, для чего впереди ординаты ставится цифра, обозначающая номер зоны.

Например, если в приведенном выше случае точки располагаются в 8-ой зоне, то их ординаты записываются следующим образом:

у₁=8 523 730.00 м и

у₂=8 397 720.00 м.

В качестве примера рассмотрим лист карты масштаба 1:200 000. Здесь, кроме меридианов 32⁰00`-34<sup>0</sup>00` и параллелей 68⁰00`-68<sup>0</sup>40` нанесена километровая сетка линий, параллельных и перпендикулярных осевому меридиану данной зоны. Эти линии называют вертикальными и горизонтальными линиями километровой сетки. Нижняя линия сетки, перпендикулярная осевому меридиану, имеет надпись 7548, это означает, что все точки данной линии отстоят от экватора на 7548 км по осевому меридиану. Первая километровая линия, параллельная осевому меридиану, имеет надпись 6460. Здесь цифра 6 обозначает номер зоны, а три остальные цифры выражают в километрах увеличенную на 500 ординату точек этой линии, т.ч. её ордината равна

460 - 500= -40 км

следовательно, данная километровая линия расположена к западу от осевого меридиана 6-ой зоны на расстоянии 40 км.

II тип - равновеликие, в которых сохраняются соотношения площадей, но искажаются углы и очертания фигур.

Эти проекции хорошо приспособлены для определения площадей (например, размеров государств, земельных угодий и т.д.). Поэтому их часто применяют для политических карт мира и отдельных государств.

III тип - произвольные, когда искажаются и углы и площади, но в некоторых, заранее оговорённых пределах, считающихся допустимыми. Например, выбирают проекции с минимальными искажениями в центральной части, зато при этом резко возрастают искажения по краям карты.

Среди произвольных проекций выделяются равнопромежуточные, в которых искажения длин отсутствуют по одному из направлений - либо вдоль меридиана, либо вдоль параллели.

По виду нормальной сетки картографические проекции подразделяют на следующие классы:

- цилиндрические;

- конические;

- азимутальные (перспективные);

- псевдоцилиндрические;

- псевдоконические;

- поликонические;

- псевдоазимутальные;

- круговые;

- производные.

Наиболее простую картографическую сетку имеют нормальные цилиндрические проекции. Меридианы и параллели в этой проекции изображаются двумя системами взаимно перпендикулярных прямых (см. проекцию Меркатора).

Масштабы и искажения в этих проекциях являются функциями только широты, поэтому изоколы совпадают с параллелями и имеют вид прямых.

В нормальных конических проекциях меридианы - прямые линии, сходящиеся в одной точке под углами, пропорциональными разности соответствующих долгот; параллели - дуги концентрических окружностей, центр которых находится в точке схода меридианов. В этих проекциях тоже, как и в первом случае, масштабы и искажения зависят только от широты, поэтому изоколы совпадают с параллелями и имеют вид дуг концентрических окружностей.

Если представить, что точка схода меридианов удалилась в бесконечность, то параллели превратятся в прямые линии, а вместо конической проекции получим цилиндрическую.

В азимутальных проекциях меридианы нормальной сетки, как и в конической проекции - прямые линии, пересекающиеся в одной точке, но в отличие от конической проекции они пересекаются под углами, равными разности соответствующих долгот. Параллели - концентрические окружности с центром в точке пересечения меридианов. Как уже говорилось, азимутальные проекции могут быть получены путём перспективы на плоскость, параллельную плоскости экватора, с центром проектирования из центра Земли.

Масштабы и искажения в азимутальных проекциях - функции только широты, поэтому изоколы совпадают с параллелями и имеют вид окружностей.

Рассмотренные цилиндрические, конические и азимутальные проекции удобны для изображения отдельных частей земной поверхности. В частности, нормальные азимутальные проекции рекомендуются для создания карт полярных территорий; нормальные конические - для изображения территорий в средних широтах, а нормальные цилиндрические - для экваториальных районов.

В псевдоцилиндрических проекциях параллели - прямые линии, перпендикулярные прямолинейному осевому меридиану, остальные меридианы - кривые (чаще всего синусоиды или эллипсы), расположенные симметрично относительно осевого. В этих проекциях изоколы, характеризующие искажения длины параллелей и площадей, совпадают с параллелями и являются прямыми линиями, а изоколы, характеризующие искажения длины меридианов и углов, имеют вид гиперболических кривых, симметричных относительно осевого меридиана и экватора.

В отличие от ранее рассмотренных случаев сетка псевдоцилиндрических проекций неортогональна, поэтому по характеру искажений они могут быть только равновеликими или произвольными.

Псевдоцилиндрические проекции применяют при создании карт океанов мелкого масштаба или при изображении какой-либо картографируемой поверхности, которую принимают за шар.

Нормальная сетка псевдоконических проекций имеет следующий вид: параллели - дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно осевого прямолинейного меридиана. Сетка проекций неортогональна, поэтому по характеру искажений они могут быть только равновеликими или произвольными; ортогональность сохраняется только на осевом меридиане и на какой-то из средних параллелей. Изоколы имеют вид кривых, симметричных попарно относительно осевого меридиана.

Псевдоконические проекции широко применялись для создания карт различных масштабов на территории отдельных государств в конце 19 - начале 20 веков; сейчас эти проекции применяют редко.

Поликонические проекции широко применяются для создания карт мира. В этих проекциях параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей, центры которых находятся на осевом меридиане; меридианы - кривые, симметричные относительно осевого прямолинейного меридиана и экватора.

Среди поликонических проекций наибольшую известность получила простая поликоническая проекция, которая положена в основу проекции Международной карты мира масштаба 1:1 000 000.

По характеру искажений поликонические проекции могут быть различными, но наиболее часто применяют произвольные поликонические проекции. Изоколы в этих проекциях имеют вид сложных кривых, симметричных относительно осевого меридиана и экватора; их форма зависит от дополнительных условий, поставленных при получении проекций.

По виду нормальной сетки произвольные поликонические проекции приближаются к круговым проекциям, в которых не только параллели, но и меридианы изображаются дугами эксцентрических окружностей.

Псевдоазимутальные проекции появились в картографии сравнительно недавно. Это проекции, у которых изоколы имеют овальную форму. Параллели нормальной сетки имеют вид концентрических окружностей, а меридианы - кривые, за исключением двух взаимноперпендикулярных, которые служат осями симметрии.

Кроме рассмотренных классов существует класс производных проекций, который получают видоизменением имеющихся проекций или решением заданных условий. Этот класс проекций непрерывно пополняется.

В заключение ещё раз подчеркнём, что выработана определённая практика применения тех или иных проекций для различных по назначению и содержанию карт.

Уже упоминалось, что для карт мира чаще всего применяют цилиндрические и различные условные проекции, обладающие наименьшими искажениями в области экватора и средних широт.

Для карт России обычно выбирают конические проекции, в которых воображаемый конус сечёт земной шар по двум параллелям, - это, так называемые, линии нулевых искажений. Вблизи этих параллелей искажения невелики и это удобно, поскольку между указанными параллелями располагаются основные хозяйственные зоны страны и здесь сосредоточена максимальная нагрузка карт.

Зато в конических проекциях сильно искажаются районы, лежащие в высоких широтах и акватория Северного Ледовитого океана.

На мелкомасштабных картах указывается главный масштаб - который сохраняется только на линиях и в точках нулевых искажений. Во всех остальных частях карты масштаб отличается от главного в сторону как увеличения, так и уменьшения.

Для определения частного масштаба в любом месте карты проводят специальные расчёты, сопоставляя реальные расстояния с длинами соответствующих отрезков на карте.

Под топографическим планом понимается изображение на плоскости в ортогональной проекции в крупном масштабе ограниченного участка местности, в пределах которого кривизна уровенной поверхности не учитывается.

Масштаб плана является постоянным (во всех его частях).

Поскольку очень часто в быту смешивают понятия "карта" и "план", остановимся подробнее на их отличиях.

Основной особенностью карт, отличающей их от планов, как уже указывалось, является то, что карта выполняется в специальной картографической проекции, а план - в ортогональной проекции на плоскость.

Отсюда масштаб карт, особенно тех, которые изображают большую часть поверхности Земли или всю её поверхность, не является постоянным, а изменяется не только в различных частях карты, но и по различным направлениям. При этом на картах имеются направления (обычно одна из параллелей или один из меридианов), по которым масштаб остается постоянным. Масштаб по таким направлениям называется главным и указывается на карте. В остальных частях карты масштабы отличаются от главного и называются частными. Чем крупнее масштаб карты, тем меньше будут отличаться частные масштабы от главных и тем ближе такая карта к плану.