Эллипсоид ф.Н.Красовского.

В геодезии земной эллипсоид, принятый для обработки геодезических измерений и установления системы геодезических координат, принято называть референц-эллипсоидом. Его размеры устанавливаются путем прямых (градусных) измерений длин дуг меридиана вблизи экватора и у полюсов.

В нашей стране многие годы (до 1946 г.) использовался референц-эллипсоид, полученный немецким математиком Бесселем ещё в 1841 г. В 1946 г. постановлением Совета Министров СССР были введены для обязательного использования размеры земного эллипсоида, вычисленные в ЦНИИГАиК в 1940 г. под руководством Ф.Н.Красовского:

большая полуось а = 6 378 245 м;

малая полуось b = 6 356 863 м;

полярное сжатие a = 1:298.3;

радиус шара, поверхность которого равна

поверхности эллипсоида Красовского R = 6 371 116 м.

В последние годы спутниковая геодезия позволила уточнить размеры референц-эллипсоида Ф.Н.Красовского. Оказалось, что разница между экваториальным и полярным диаметрами составляет 42.77 км (в эллипсоиде Ф.Н.Красовского - 42 764 м), а сжатие равно 1:298.26.

Эти цифры свидетельствуют, что во многих практических случаях, а именно при расстояниях между отдельными пунктами менее 100 км, в качестве математической поверхности можно принимать не поверхность эллипсоида, а поверхность сферы. В этом случае радиус Земли принимают равным 6371 км.

Для подтверждения и наглядности высказанного положения можно привести такое пример. Если выполнить эллипсоидальную модель Земли подобно обычному школьному глобусу в масштабе 1:50 000 000, то длины большой и малой осей будут разниться менее, чем на 1 мм. В то же время рельефные изображения наиболее высоких гор или глубоких океанических впадин имели бы в этом масштабе абсолютные размеры всего около 0.2 мм.

В случаях, когда Земля принимается за шар, широты и долготы точек на шаре просто приравнивают к таковым для соответствующих точек на эллипсоиде. При этом допущении для карт полушарий и мира искажения длин и площадей могут доходить до 0.5%, а искажения углов до 0.5 градуса.

Между тем проектирование Земной поверхности на плоскость, что выполняется с помощью картографических проекций, сопровождается неизбежными искажениями, которые для карт больших частей земной поверхности достигают многих десятков и даже сотен процентов.

При ещё меньших размерах снимаемых площадей (при расстояниях менее 10 км) поверхность геоида можно считать плоскостью, в этом случае погрешность в вычислениях при замене дуги окружности отрезком касательной будет выражаться (без вывода):

d³

Dd =-----------,

3 R²

где d - расстояние между точками земной поверхности;

R=6 371 км - радиус Земли.

Принимая d=10 км, получаем Dd=1 см и Dd/d=1:1 000 000.

Поскольку в настоящее время самые точные измерения расстояний на земной поверхности производятся с предельной относительной ошибкой 1:1 000 000 подобная замена при указанных расстояниях вполне допустима. Однако с увеличением расстояний погрешность возрастает очень быстро, так как она пропорциональна кубу расстояния.

Влияние кривизны Земли на определение высот пунктов сказывается значительно сильнее. Здесь величина погрешности выражается формулой:

d²

Dh=------- .

2 R

Уже при расстоянии 500 м замена реальной криволинейной поверхности плоскостью приводит к ошибке 2 см, при 1 км - 8 см, при 2 км - 31 см и т.д.

Для инженерных целей высоты точек земной поверхности необходимо определять с точностью не менее 2 см на 1 км. Отсюда следует, что при измерении превышений нельзя пренебрегать кривизной Земли даже при небольших горизонтальных расстояниях между точками.