Примечания к пояснению 2
1 – Предложения 16 и 27 первой книги Начал.
2 – Здесь ничего не говорится о том, могут ли быть параллельными, прямые, которые пересекают некоторую под разными углами.
рисунок 25
3 – Надо добавить, что продолжаясь они встретятся с той стороны, с которой внешний угол больше внутреннего угол2 > угол1.
рисунок 25
Ясно, что если угол2 > угол1, то так как угол3 = 2∟* - угол1, а угол4 = 2∟ - угол2, то угол3 > угол4 . Если же с некоторой стороны внешний угол больше внутреннего, то с другой стороны угол6 > угол5 (внутренний больше внешнего) так как угол6 = угол2, угол5 = угол1.
*2∟ - символ, обозначающий угловую величину равную двум прямым углам (или π в радианной мере) . Если некоторая прямая (E) восставлена на некоторой (F) то она всегда образует углы α и β вместе равные двум прямым углам (двум прямым).
рисунок 26
4 – Имеется ввиду меньше двух прямых углов, взятых вместе, или в сумме.
5 – Общая геометрия – так будем называть ту часть геометрии, доказательства которой не зависят от одиннадцатой аксиомы и которая служит основой для познания и геометрии Евклида и геометрии Лобачевского.
6 – Двадцать четвёртое предложение Начал, как и все первые 28 предложений, - имеют свои аналоги и в геометрии Лобачевского, так, что их можно использовать при доказательствах теорем общей геометрии.
7 – Здесь и далее имею ввиду – двум прямым углам, взятым вместе.
8 – Точнее на неограниченную линию E получающуюся из линии AB продолжением AB в обе стороны.
9 – То есть такой, что его меньшая сторона превысит любую, наперёд заданную величину.
10 – Кроме прямых A и KD.
11 – Имеется ввиду предыдущий рисунок
12 – Это можно проиллюстрировать рисунком. Имеется ввиду угол1 = угол2, а угол3 = угол4.
рисунок 50
13 – γ1 = ∟ /2 так как ∑∆(DA1K) = 2∟, то есть уголFDK + α1 + γ1 = 2∟, а уголFDK = ∟ → α1 + γ1 = ∟, но α1 = γ1 → γ1 = ∟ /2)
14 – Имеется ввиду утверждение заменяющее в геометрии Лобачевского одиннадцатую аксиому и названное мной в самом начале этого пояснения «непохожим утверждением».
Пояснение 2.1
Линии геометрии Лобачевского или линии Лобачевского – так будем называть объекты, выполняющие в геометрии Лобачевского роль прямых. Для них выполняется, например, девятая аксиома (1) Евклида (а точнее аналогичное её утверждение), а также теоремы аналогичные всем теоремам Евклидовой геометрии, доказанным без обращения к одиннадцатой аксиоме. Далее я поясню, почему и какие их свойства отличаются от тех, которые мы мыслим в понятии прямой.
Надо заметить, что Н. И. Лобачевский иногда называет их прямыми, а иногда просто линиями (2), мы же будем их всегда называть линиями Лобачевского или обозначать – «линии», чтобы сохранить в понятии прямой исходный, интуитивно ясный смысл, связанный с пространственным представлением, и различением прямых и кривых линий. (3)
Пояснение 2.2
Так, если заменить одиннадцатую аксиому альтернативным утверждением (4) и продолжать доказательства – получается геометрия Лобачевского. «Прямые» - такой геометрии, конечно, не есть прямые в полном смысле этого слова. Как отличаются их свойства от свойств прямых можно понять на таком примере: Возьмём две некоторые параллельные прямые (перпендикуляры к некоторой – как показано на рисунке)
рисунок 53
И взяв на прямой B точку t, соединим её с точкой m прямой N. Тогда поскольку параллельные (A и B) пересекаются некоторой N, то угол1 = угол2 .
Это можно также видеть и из следующего – поскольку прямые A и B отличаются от некоторой (прямой C) на одинаковый угол в одну сторону
рисунок 54
то друг от друга они не отличаются ни на какой угол. Для обозначения углов между прямыми я нарисовал стрелки. (В данном случае углы прямые, но как видно из рисунка это справедливо и в общем случае)
Теперь поскольку прямая N отличается от прямой A на угол 1, а прямая A от прямой B не отличается ни на какой угол, то прямая N и от прямой B должна отличаться на тот же угол в ту же сторону, то есть угол2 = угол1.
рисунок 55
То есть угол пересечения прямых определяется углом между ними как таковыми и обратно.
Выполним теперь такое же построение в геометрии Лобачевского.
рисунок 56
Так как сумма углов всякого треугольника у Лобачевского меньше двух прямых углов (меньше π) (мы дальше докажем это) то значит углы 5 и 4 взятые вместе с углом 3 меньше, (5) чем они же взятые вместе с углом 1 (угол5 + угол4 + угол3 < угол5 + угол4 + угол1). (6) А значит и угол 3 меньше угла 1, и угол 2 меньше угла 1. (7) Значит угол2 < угол1
рисунок 58
то есть в геометрии Лобачевского угол между линиями, как таковой отсутствует и есть лишь угол пересечения «линий». – в частности поэтому их можно назвать в некотором смысле кривыми линиями – по аналогии с тем, что между обычными кривыми линиями также не существует определённого угла. (8) Вообще же мне думается, что это некоторые абстрактные – непредставимые, но допускаемые нами объекты. (9) Изображения же их я думаю нужно понимать вот как: рисуя их, мы рисуем обычные – представимые объекты – линии, которые имеют ту же конфигурацию (например, в виде буквы Н, с прямыми углами в пересечениях, как на первом рисунке, где я рисовал линии Лобачевского) , что и линии в непредставимом пространстве. Или, например, такую конфигурацию.
рисунок 59
Эти рассуждения остаются неизменными и если бы мы выполнили построение не перпендикуляров, а просто линий (прямых или линий Лобачевского) под произвольными но равными углами к некоторой. (внешним и внутренним конечно.)