О теории параллельных линий

Здесь я не хотел бы пока подробно рассматривать вопрос о том, как именно и откуда наш разум заимствует геометрические аксиомы – так как в этом для меня ещё много неясного. Пока же ограничимся чисто математическим исследованием.

К некоторым геометрическим понятиям я сделаю пояснения со сноской в квадратных скобках [ ].

Сначала проясним ту роль, которую одиннадцатая аксиома (пятый постулат) играет в теории Евклида. Из неё можно доказать (и обратно) следующую теорему (1) : две параллельные [1] прямые, если и пересекаются некоторой третьей прямой,

рисунок 1

то пересекаются ею под одинаковыми углами [2] (как показано на следующем рисунке - то есть одинаковыми – внешним и внутренним с одной стороны)

рисунок 2

Эта теорема играет очень важную роль в теории параллельных - она служит для узнавания углов пересечения прямых. Так, например, если у нас есть две прямые проведённые к некоторой под одинаковыми углами (рисунок 3.1)

рисунки 3.1 3.2 3.3

то мы знаем что они параллельны. Пусть теперь прямую B пересекает ещё и прямая C под углом β (рисунок 3.2). Благодаря установленной теореме, мы знаем, что прямая C, продолжаясь, и прямую A пересечёт под тем же углом β (рисунок 3.3). (То, что прямая C пересечёт прямую A следует из одиннадцатой аксиомы) (2) Или, например, такой случай: пусть прямые A и B пересекаются с некоторой D под разными, известными нам углами α и β.

рисунок 4

Тогда, согласно одиннадцатой аксиоме, продолжаясь они пересекутся и между собой – и пусть угол α меньше угла β (тогда прямые, продолжаясь, пересекутся со стороны углов α и β, а не с противоположной – то есть так, как показано на рисунке 5)

рисунок 5

А так как сумма углов получившегося треугольника (как и любого) нам известна и равна π (3), то найдём внутренний угол пересечения прямых ν (далее просто угол пересечения прямых по продолжении) вычитая из π (суммы углов треугольника) углы α и γ.

ν = ∑∆ - α - γ = π – α – γ = 2∟- α – γ ( ∑∆ - сумма углов треугольника )

Значит благодаря тому, что сумма углов всех прямолинейных треугольников одинакова (4) и равна π, в Евклидовой геометрии – угол пересечения прямых (A и B) – по продолжении – (угол ν) – определяется только углами их (прямых A и B) пересечения с прямой D – углами α и γ и выражается через них.

Значит угол пересечения прямых (пересекающих некоторую) между собой – полностью определяется их углами пересечения с некоторой.

рисунок 8

Рассмотрим теперь, выполняется ли аналогичный закон в геометрии Лобачевского. Пусть к некоторой «линии» A в точке m построен перпендикуляр B, а в точке t1 – «линия» C под углом α – как показано на рисунке. (И пусть по продолжении «линия» С пересекает B.)

рисунок 9

рисунок 10

И пусть теперь из точки t2 будет под углом α2 = α построена «линия» D и продолжена до пересечения (5) с «линией» B. Выполняя подобное построение в геометрии Евклида мы всегда будем иметь угол ν2 равным ν (6) – независимо от положения точки t2 на прямой A – и это и есть, если можно так сказать Евклидовость пространства. (7) В геометрии же Лобачевского углы ν и ν2 не будут равны. Это видно из следующего – во первых, угол ν2 будет меньше чем он был бы в геометрии Евклида. Так, пусть сумма углов треугольника (t2 m n2) будет меньше двух прямых на величину ε1. Эта величина в геометрии Лобачевского называется дефектом треугольника. Значит ∑∆(t2 m n2) = 2∟ - ε1, а угол ν2 = ∑∆(t2 m n2) - ∟ - α2 = 2∟ - ε1 - ∟ - α2 = ∟ - α2 – ε1. (В Евклидовой геометрии он был бы равен 2∟ - ∟ - α2 = ∟ - α2) – Значит он (угол ν2) меньше своего значения, которое он имел бы в геометрии Евклида как раз на дефект треугольника (t2 m n2). Докажем теперь одну важную теорему: если некоторый треугольник разбит на два других треугольника (как на рисунке) то его дефект равен сумме дефектов этих треугольников. (8)

рисунок 11

Это ясно из следующего:

рисунок 12

из рисунка видно, что суммы углов треугольников ADC и DBC → (угол1 + угол2 + угол6) и (угол3 + угол4 + угол5) вместе, (но если из них, вычесть углы 6 и 5) составляют сумму углов треугольника ABC → (угол1 + угол2 + угол3 + угол4) то есть справедливо соотношение ∑∆ADC + ∑∆DBC – угол5 – угол6 = ∑∆ABC. Но углы 5 и 6 вместе составляют два прямых (примем, что во всякой геометрии линия восставленная на некоторой

рисунок 13

образует углы α и β вместе равные двум прямым. Значит это соотношение перепишется в виде: ∑∆ADC + ∑∆DBC – 2∟ = ∑∆ABC. Значит (исходя из этого соотношения) если каждый из треугольником ADC и DBC имеет сумму углов 2∟, то их общая сумма будет 4∟ и вычитая из неё 2∟ (согласно приведённому соотношению), мы получим сумму углов треугольника ABC равную двум прямым. Если же каждый из треугольников ADC и DBC имеет дефект (соответственно ε1 и ε2) то их общая сумма углов (треугольников ADC и DBC) будет меньше четырёх прямых на сумму их дефектов. Значит и вычитая из неё 2∟ (согласно формуле) мы будем иметь величину меньшую двух прямых на сумму дефектов (ε1 + ε2). Эта же величина есть ∑∆ABC. Значит ∑∆ABC меньше двух прямых на (ε1 + ε2). Значит дефект треугольника ABC равен сумме дефектов треугольников его составляющих. Значит дефект всякого треугольника, разделённого на два некоторых, равен сумме их дефектов – то есть дефект аддитивен.*

*{

Ещё доказательство этой теоремы может быть записано так:

Пусть ∑∆ADC = 2∟ - ε1 и ∑∆DBC = 2∟ - ε2,

Тогда угол1 + угол2 + угол6 = 2∟ - ε1, а угол3 + угол4 +угол5 = 2∟ - ε2

значит угол1 + угол2 + угол6 + угол3 + угол4 +угол5 = 2∟ - ε1 + 2∟ - ε2

Но угол5 + угол6 = 2∟ значит

угол1 + угол2 + угол3 + угол4 = 2∟ - ε1 – ε2 (вычли из левой части углы 5 и 6, а из правой 2∟ )

Но угол1 + угол2 + угол3 + угол4 = ∑∆ABC

Значит ∑∆ABC = 2∟ - ε1 – ε2

Или так: ∑∆ABC = ∑∆ADC + ∑∆DBC – 2∟ = (2∟ - ε1 + 2∟ - ε2) - 2∟ = (4∟ - ε1 – ε2) - 2∟ = 2∟ - ε1 – ε2

}

Вернёмся теперь к нашему построению и соединим точки t1 и n2 .

рисунок 14

Тогда если дефект треугольника (t2 m n2) равен ε1 ( Д∆(t2 m n2) ), а дефект треугольника (t1 t2 n2) равен ε2, то дефект (t1 m n2) равен ε1 + ε2. Рассмотрим теперь треугольник (t1 m n1) – он состоит из треугольников (t1 m n2) и (t1 n2 n1). И пусть теперь дефект треугольника (t1 n2 n1) равен какой-нибудь величине ε3. Тогда раз Д∆(t1 m n2) = ε1 + ε2, а Д∆(t1 n2 n1) = ε3, то Д∆(t1 m n1) = Д∆(t1 m n2) + Д∆(t1 n2 n1) = ε1 + ε2 + ε3. Значит Д∆(t1 m n1) = ε1 + ε2 + ε3.

Значит поскольку дефект, это величина, на которую сумма углов треугольника меньше двух прямых, то ∑∆(t1 m n1) = 2∟ - ε1 – ε2 – ε3.

А поскольку угол ν = ∑∆(t1 m n1) – α - ∟ то,

ν = 2∟ - (ε1 + ε2 + ε3) – α - ∟ = ∟ - α - (ε1 + ε2 + ε3)

Угол же ν2 равен ∑∆(t2 m n2) – α - ∟ = 2∟ - ε1 – α - ∟ = ∟ - α – ε1

Значит ν = ∟ - α - ε1 - ε2 - ε3 , а ν2 = ∟ - α – ε1 то есть ν < ν2 на величину ε2 + ε3 и возвращаясь к первоначальному построению можно сказать, что «линия» D, продолжаясь пересечёт «линию» B не под тем же углом что и «линия» С. (ν2 > ν)

рисунок 15

Значит из того, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника отличается от двух прямых (менее двух прямых) следует и то, что в ней не все треугольники имеют одинаковую сумму углов. (9)

Рассмотрим теперь случай более общий, чем рассматриваемые в общей геометрии – пусть сумма углов треугольника будет не обязательно меньше 2∟ - и докажем следующую теорему: геометрия в которой сумма углов всех треугольников одинакова и равна 2∟ является единственной геометрией в которой сумма углов всех треугольников одинакова.

Пусть существует некоторая геометрия в которой сумма углов всех треугольников одинакова и равна H.

И пусть в ней некоторый треугольник ABC разделён на два других (ADC и DBC, как показано на рисунке)

рисунок 18

Тогда проведём ещё раз доказательство формулы ∑∆(ABC) = ∑∆(ADC) + ∑∆(DBC) – 2∟ *

*{ ∑∆(ADC) = угол1 + угол2 + угол6, а ∑∆(DBC) = угол3 + угол4 + угол5

∑∆(ADC) + ∑∆(DBC) = угол1 + угол2 + угол6 + угол3 + угол4 + угол5

Но ∑∆(ABC) = угол1 + угол 2 + угол3 + угол4

Значит ∑∆(ABC) = ∑∆(ADC) + ∑∆(DBC) – угол5 – угол6

а так как угол5 + угол6 = 2∟

то ∑∆(ABC) = ∑∆(ADC) + ∑∆(DBC) – 2∟

}

Значит в любой геометрии сумма углов треугольника, разделённого на два некоторых, выражается через их суммы следующим образом:

∑∆(ABC) = ∑∆(ADC) + ∑∆(DBC) – 2∟

рисунок 19

Пусть теперь в нашей геометрии сумма углов всех треугольников одинакова и равна H,

тогда ∑∆(ABC) = ∑∆(ADC) = ∑∆(DBC) = H и уравнение перепишется в виде

H = H + H - 2∟ → H = H + x → x = 0 → H - 2∟= 0 → H = 2∟

Значит мы доказали, что геометрия Евклида (геометрия в которой сумма углов всех треугольников одинакова и равна двум прямым) является не просто частным случаем более общей геометрической системы, открытой Н. И. Лобачевским, но и единственной геометрической системой в которой сумма углов всех треугольников одна и та же.

ПОЯСНЕНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ

Нас интересует, может ли существовать геометрия в которой суммы углов всех треугольников одинаковы и равны (каждая) при этом некоторой величине H - не равной двум прямым. Если такая геометрия существует, то величина H либо больше двух прямых, либо меньше. Пусть H < 2∟. Примем также, что всякий треугольник может быть разделён на два других - так на любой его стороне, произвольным образом берётся точка и соединяется с противоположной вершиной.

рисунок 20

Тогда суммы углов треугольников его составляющих одинаковы (равны H) и каждая меньше двух прямых на некоторый (один и тот же) дефект ε1. Тогда дефект целого треугольника (разделённого на эти два) равен ε1 + ε2 и значит его сумма углов отличается от двух прямых не на ту же величину, что и сумма углов каждого из составляющих его треугольников. Значит, его сумма углов отличается от суммы углов каждого из составляющих его треугольников. Значит, в данной геометрии существуют треугольники с разной суммой углов. Подобным же образом это доказывается и для случая H > 2∟. Там используется теорема аналогичная теореме об аддитивности дефектов треугольников.