5. Методы расчёта магнитных полей

5.1. Основные формулы

1. Магнитный момент рамки с током

.

2. Вращающий момент, действующий на рамку с током:

.

3. Вектор индукции и вектор напряжённости магнитного поля и их циркуляции по замкнутому контуру:

, ,

, ,

,

где - магнитная постоянная вакуума, H/A²; - магнитная проницаемость вещества, - алгебраическая сумма токов, охватываемых замкнутым контуром, - намагниченность вещества.

4. Поток вектора через замкнутую поверхность

.

5. Некоторые соотношения для магнетиков:

,

,

где - восприимчивость вещества.

6. Граничные условия для векторов и :

, ,

, , ,

где - нормальная составляющая вектора , - тангенциальная составляющая вектора , - углы между векторами и перпендикуляром к поверхности границы раздела в разных средах.

7. Принцип суперпозиции для векторов

,

где - индукция от полей, созданных различными источниками.

,

если источники магнитных полей расположены непрерывно .

8. Индукция магнитного поля движущегося заряда

.

9. Индукция магнитного поля элемента тока (закон Био-Савара-Лапласа)

.

10. Индукция магнитного поля прямолинейного проводника с током бесконечной и конечной длины соответственно

, .

11. Индукция магнитного поля в центре и на оси кругового тока соответственно

, .

12. Индукция магнитного поля внутри соленоида и тороида соответственно

, ,

где N - общее число витков, - длина. Длина тороида , где - радиус средней линии тороида.

5.2. Примеры решения задач

Задача 1. Бесконечно длинный проводник с током 5 А делает петлю, лежащую в перпендикулярной току плоскости. Найти напряженность магнитного поля в центре петли, если её радиус 0,5 м.

Решение в центре петли (точка а) магнитное поле создаётся бесконечно длинным током и круговым током (рис. 5.1).

Дано:

I = 5 A

R = 0,5м

H - ?

Направление вектора индукции магнитного поля в обоих случаях определяем по правилу буравчика: от бесконечно длинного тока вектор В₁ направлен к нам, а от кругового тока вектор В₂ направлен справа налево по оси кругового тока

(рис. 5.1а). В₁ и В₂ перпендикулярны друг к другу. Результирующий вектор В направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах В₁ и В₂

(рис. 5.1б). Числовое значение В находим по теореме Пифагора

, (1)

причём величины и находим по соответствующим формулам:

, . (2)

В вакууме напряжённость Н и индукция В связаны соотношением

. (3)

Подставляя (3) и (2) в (1), для напряжённости получим формулу

.

Подставим числовые значения:

A/м.

Задача 2. Ток 5 А течёт по тонкому изогнутому проводнику (рис. 5.2). Радиус изогнутой части проводника R = 12 см, угол . Найти индукцию магнитного поля в точке O.

Д ано: I = 5 A R = 12 см = 0,12 м В - ?

Р ешение

Индукция магнитного поля в точке О является векторной суммой индукций В₁ и В₂, создаваемых током, протекающим по круговому и прямолинейному участкам проводника. Все элементы тока создают в точке О магнитные поля, векторы индукции которых направлены в одну сторону (перпендикулярно плоскости (рис. 5.2), “от нас”). Поэтому от векторной суммы можно перейти к алгебраической, т.е.

.

В ычислим индукцию , создаваемую участком кругового тока, используя закон Био-Савара-Лапласа :

.

Для всех участков кругового тока угол между и равен , а элемент длины . Угол при интегрировании по участку кругового тока изменяется от 0 до . Вычисление интеграла даёт следующее выражение:

.

Для вычисления индукции , создаваемой прямолинейным участком тока BCA, можно воспользоваться выражением, определяющим индукцию магнитного поля прямого тока:

.

Для данной задачи ; ; (из треугольников AOC и COB) . Подстановка значений даёт

.

Учитывая, что , для величины B окончательно получим

.

Подставим числовые значения:

мкКл.

Задача 3. Тонкий непроводящий диск радиусом R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти: а) индукцию магнитного поля в центре диска; б) магнитный момент диска. (рис. 5.3).

Д

Выделим на расстоянии r от центра диска кольцевую полоску шириной dr . На этой полоске находится заряд . Вследствие вращения данный заряд создаёт электрический круговой ток силой .

ано: Решение

R



Круговой ток создаёт в центре диска магнитное поле с индукцией dB. Используя принцип суперпозиции и учитывая, что все элементарные кольцевые токи dI создают в центре диска магнитные поля одного направления, получим

.

.

Магнитный момент тока dI

.

.

Задача 4. По круглому однородному прямому проводу радиусом 2 см течёт постоянный ток плотностью j = 10А/м. Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих внутри и вне соленоида на расстояниях 1 и 5 см соответственно. Построить график B(r).

Дано: R = 2 A/м см см В1 -? В2 - ?

Решение Величина индукции зависит только от расстояния до оси провода (рис. 5.4). Вектор направлен к силовой линии, которая представляет собой окружность с центром на оси провода. Для вычисления магнитной индукции используем теорему о циркуляции: циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охваченных этим контуром, умноженным на величину : .

Рис. 5.4

Рассмотрим область точек, лежащих внутри провода . В качестве контура интегрирования выберем окружность радиусом r. Направление обхода и направление вектора j свяжем правилом буравчика. По теореме о циркуляции вектора В

.

(1)

Для точек, лежащих вне провода , решение задачи аналогично предыдущему случаю. Контур интегрирования теперь охватывает площадь сечения проводника, поэтому сила тока

.

По теореме о циркуляции вектора В

,

(2)

Произведём расчёт формул (1) и (2) .

нТл,

нТл.

Г рафик зависимости магнитной индукции B от расстояния r представлен на рис. 5.5.

Рис. 5.5

Задача 5. Постоянный ток 10 А течёт по прямому проводнику круглого сечения длиной 50 см (рис. 5.6). Найти поток вектора магнитной индукции через одну из половин осевого сечения.

Д ано: Решение

I = 10 А

см м

Ф - ?

Рис. 5.6

Поток вектора индукции определяется интегралом

,

где - проекция вектора на нормаль к площадке. В нашем случае , т.к. вектор совпадает по направлению с вектором . Из решения предыдущей задачи для точек, лежащих внутри проводника, индукция зависит от расстояния.

.

Выделим в сечении полоску шириной dr и длиной , находящуюся на расстоянии r от оси провода. В пределах площадки dS величину индукции можно считать постоянной, тогда элементарный поток вектора магнитной индукции через неё

.

Полный поток магнитной индукции

.

Учитывая, что , получим

.

Подставим числовые значения:

нВб.

Задача 6. Сколько ампер-витков необходимо для получения индукции величиной 1,4 Тл в электромагните с железным сердечником длиной 90 см и воздушным промежутком длиной 5 мм. Рассеянием магнитного потока в воздушном промежутке пренебречь (рис. 5.7).

Д ано: Решение

Тл

см м

см

I∙N - ?

Исходя из граничных условий на границе раздела воздух-железо, в области воздушного зазора можно записать, что нормальные составляющие вектора магнитной индукции в двух средах не изменяются. Тогда

.

Применим к данной задаче теорему о циркуляции для магнетика

или

. (1)

Величину напряжённости поля в магнетике найдём по графику зависимости , которая конкретна для каждого сорта железного магнетика. На рис. 5.8 представлена такая зависимость. При значении B = 1,4 Тл напряжённость

H = 1700 .

В воздушном зазоре величины B и H связаны соотношением . Тогда из формулы (1) число ампер-витков

.

Подставим числовые значения:

Задача 7. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током 10 А. Сторона рамки 1м. Ближайшая к проводнику сторона рамки расположена от него на расстоянии 0,5 м. Найти поток вектора через площадь рамки.

Д

Магнитное поле бесконечного прямого тока - неоднородное. Величина индукции уменьшается с увеличением расстояния r.

. (1)

ано: Решение

м

м

Ф - ?

Вектор направлен по касательной к силовой линии, а направление тока I и направление силовой линии связаны правилом буравчика. На рис. 5.9 крестики означают, что вектор направлен от нас. Нормаль к поверхности S также направлена от нас.

В пределах рамки магнитное поле неоднородное, поэтому плоскость рамки разделим на элементарные полоски площадью Они настолько малы, что в пределах dS индукцию B можно считать постоянной величиной. Тогда воспользуемся формулой элементарного потока :

. (2)

П одставим в (2) формулу (1) и учтём, что угол .

Тогда

.

Полный поток вектора через поверхность S рамки равен алгебраической сумме элементарных потоков :

.

Подставим числовые значения:

мкВб.