МетодК. Магу нахождения минимальных внешне устойчивых множеств вершин графа

Пусть G(V, E) – немультиграф, |V|=p и VV – некоторое подмножество вершин этого графа.

Введём булевы переменные y_i, соответствующие вершинам графа v_i, Рассмотрим оценку <₁,…,_p> списка переменных <y₁,…,y_p>: _i=1, если v_iV, и _i=0, если v_iV, Отметим, что для всех вершинv_i, принадлежащих внешне устойчивому множеству вершин V, можно записать

(2.5.4)

где a_ij – элемент матрицы смежности вершин графа G.

Действительно, либо v_iV и _i=1, либо v_iV, тогда _i=0 и должно существовать ребро, соединяющее вершину v_i с некоторой вершиной v_jV (дуга (v_j, v_i) в орграфе), поэтому _j=1. Условие (2.5.4) можно записать так:

(2.5.5)

Таким образом, справедлива

Теорема 2.5.4. Необходимым и достаточным условием внешней устойчивости множества вершин V немультиграфа G(V, E) является выполнение равенства (2.5.5).

Из данной теоремы следует, что внешне устойчивые множества вершин графа G и только они соответствуют оценкам списка переменных <y₁,…,y_p>, для которых выполняется равенство (2.5.5), что даёт простой способ выделения всех внешне устойчивых множеств.

Для определения всех внешне устойчивых множеств вершин графа приведём левую часть формулы (2.5.5) к ДНФ, а затем, используя любой метод минимизации, к минимальной ДНФ. Каждой элементарной конъюнкции полученного выражения соответствует минимальное внешне устойчивое множество вершин графа, которое содержит все вершины графа, оценки переменных которых вошли в это элементарное произведение.

Отыскание в графе наименьшего доминирующего множества является содержанием многих прикладных задач. Типичная ситуация, в которой возникает подобная задача, такова. Имеется множество населённых пунктов, связанных дорожной сетью. В некоторых из них надо разместить предприятия обслуживания так, чтобы расстояние от каждого из населённых пунктов до какого-либо из предприятий не превосходило заданной величины. Размещение надо выполнить так, чтобы обойтись минимальным количеством предприятий. Если поставить в соответствие населённым пунктам вершины графа, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда расстояние между соответствующими пунктами не превосходит заданной величины, то задача, очевидно, сводится к построению в графе наименьшего доминирующего множества.

Подмножество вершин графа, являющееся одновременно как внутренне устойчивым, так и внешне устойчивым, называется ядром графа.

Если граф G обладает ядром Q, то справедливо соотношение (G)|Q|(G).

Множества вершин {1, 2, 3, 7}, {1, 2, 3, 8}, {2, 3, 5, 7}, {2, 3, 5, 8}, {4, 7} являются ядрами графа, изображённого на рис. 2.5.1. Множество V₁=V₃={v₂} является ядром графа, изображённого на рис. 2.5.2.

Не в каждом орграфе есть ядро, в чём нетрудно убедиться, рассмотрев граф, изображённый на рис. 2.5.3.

Теорема 2.5.5. Если Q – ядро некоторого графа G(V, E), то Q является максимальным внутренне устойчивым множеством.

Предположим, что существует вершина vQ, такая что Q{v} – внутренне устойчивое множество. Т.к. множество Q внешне устойчиво, то существует ребро (дуга) eE, такое что e={v, w} (e=(w, v)), где wQ. Это противоречит внутренней устойчивости множества Q{v}.

Теорема 2.5.6. В неориентированном непсевдографе каждое максимальное внутренне устойчивое множество вершин является ядром.

Пусть Q – максимальное внутренне устойчивое множество в неориентированном непсевдографе G(V, E). Покажем, что Q внешне устойчиво. Действительно, если некоторая вершина vQ не смежна ни с какой вершиной из Q, то Q не является максимальным внутренне устойчивым множеством в силу теоремы 2.5.1. Итак, любая вершина vQ смежна с некоторой вершиной wQ, поэтому Q внешне устойчиво.

Следствие. Неориентированный граф без петель обладает ядром.

Ядро в неориентированном непсевдографе G(V, E) можно построить следующим образом. Берём произвольную вершину v₁V. Затем берём вершину v₂V\{v₁}, не смежную с v₁. Далее берём вершину v₃V\{v₁, v₂}, не смежную ни с v₁, ни с v₂, и т.д. Через конечное число шагов получим множество Q={v₁, v₂,…, v_n}, которое по построению является максимальным внутренне устойчивым множеством. В силу теоремы 2.5.6 множество Q – ядро графа G.

Согласно данному алгоритму, ядрами графа, изображённого на рис. 2.5.1, кроме вышеперечисленных, являются ещё множества вершин {4, 8}, {1, 2, 6}, {2, 5, 6}.