141

2.5. Внутренне и внешне устойчивые множества вершин

Пусть G(V, E) – произвольный граф. Множество вершин V₁V графа G называется внутренне устойчивым (или независимым), если никакие две вершины из V₁ не смежны. Множество вершин V₂V графа G называется полностью зависимым (кликой), если любые две вершины v,wV₂, vw, смежны.

Подграф G₁=<V₁> графа G(V, E), порождённый внутренне устойчивым множеством вершин V₁, является нуль-графом. Подграф G₂=<V₂> обыкновенного неориентированного графа G(V, E), порождённый полностью зависимым множеством вершин V₂, является полным графом.

Очевидно, что если V₁ – внутренне устойчивое множество вершин и при этом V₁V₁, то V₁ также внутренне устойчиво. Независимое множество вершин называется максимальным, если оно не является собственным подмножеством никакого другого независимого множества. Иными словами, максимальное независимое множество теряет свойство внутренней устойчивости при добавлении к нему любой вершины. Наибольшее по мощности независимое множество называется наибольшим. Ясно, что набольшее независимое множество является максимальным. Обратное, вообще говоря, неверно.

К отысканию наибольшего независимого множества вершин в графе сводится, например, известная задача о восьми ферзях, которую связывают с именем К. Гаусса. Требуется так расставить на шахматной доске наибольшее число ферзей, чтобы они не атаковали друг друга. Таких ферзей, очевидно, может быть не более восьми, т.к. никакие два из них не должны находиться на одной вертикали или горизонтали. Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют клеткам доски, а рёбра – парам клеток, лежащих на одной вертикали, горизонтали или диагонали. Ясно, что требуемой в задаче расстановке ферзей соответствует наибольшее независимое множество в этом графе.

Теорема 2.5.1. Пусть G(V, E) – произвольный граф. Внутренне устойчивое множество вершин V₁ графа G является максимальным тогда и только тогда, когда каждая вершина vV\V₁, не имеющая петель, смежна с некоторой вершиной wV₁.

Необходимость. Пусть V₁ – максимальное внутренне устойчивое множество вершин. Предположим, что существует вершина vV\V₁, не смежная ни с какой вершиной из V₁, причём в вершине v нет петель. Тогда множество V₁{v} внутренне устойчиво, вопреки максимальности V₁. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть множество вершин V₁ обладает тем свойством, что каждая вершина vV\V₁, не имеющая петель, смежна с некоторой вершиной из V₁. Если V₁ не максимально, то существует вершина vV\V₁, такая, что в вершине v нет петель, и вершина v не смежна ни с какой вершиной из V₁. Полученное противоречие доказывает достаточность.

Число вершин в наибольшем независимом множестве графа G называется числом внутренней устойчивости (числом независимости, неплотностью) этого графа и обозначается через (G).

Например, для графа G, изображённого на рис. 2.5.1, (G)=4, множества вершин {1, 2, 3, 7}, {1, 2, 3, 8}, {2, 3, 5, 7} и {2, 3, 5, 8} являются наибольшими независимыми, а {4, 7} – максимальное независимое множество, не являющееся наибольшим.

Рис. 2.5.1

Содержанием большинства задач, связанных с понятием независимости, является определение числа независимости и отыскание наибольшего независимого множества.

Для изложения метода отыскания максимальных внутренне устойчивых множеств вершин в графе потребуется знание некоторых понятий и утверждений из алгебры логики.

Функцией алгебры логики (или логической функцией) от n (n – натуральное число) переменных называется функция f(x₁,…,x_n), принимающая значения 0, 1, аргументы которой также принимают значения 0, 1. Множество всех логических функций обозначается Р₂.

Всякая логическая функция n переменных может быть задана таблицей истинности, в левой части которой перечислены все 2ⁿ наборов значений переменных (т.е. двоичных векторов длиной n), а в правой части – значения функции на этих наборах.

Логических функций одной переменной четыре, они приведены в таблице 2.5.1. Функции ₀ и ₃ – константы 0 и 1 соответственно, ₁(x)=x – тождественная функция. Функция ₂ называется отрицанием x (или функцией НЕ) и обозначается илиx.

Таблица 2.5.1

x	0(x)	1(x)	2(x)	3(x)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Рассмотрим три важные логические функции двух переменных, таблица 2.5.2.

Таблица 2.5.2

x1	x2	0(x1, x2)	1(x1, x2)	2(x1, x2)
0	0	0	0	1
0	1	0	1	0
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

Функция ₀ называется конъюнкцией x₁ и x₂; её обозначения: x₁&x₂, x₁Λx₂, x₁x₂. Конъюнкцию часто называют логическим умножением или функцией И.

Функция ₁ называется дизъюнкцией x₁ и x₂; её обозначения: x₁Vx₂, x₁+x₂. Дизъюнкцию часто называют логическим сложением или функцией ИЛИ.

Функция ₂ называется эквивалентностью или равнозначностью. Её обозначения: x₁x₂, x₁x₂, x₁=x₂.

Суперпозицией функций f₁,…,f_m называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименования переменных, а формулой называется выражение, описывающее эту суперпозицию.

Формулы, содержащие кроме переменных (и, разумеется, скобок) только знаки функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, называются булевыми формулами (знак конъюнкции в формуле может быть опущен).

Теорема 2.5.2. Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Доказательство теоремы приводится, например, в [7].

Алгебра (Р₂, V, &, ), основным множеством которой является всё множество логических функций, а операциями – дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических функций. Операции булевой алгебры также часто называют булевыми операциями.

Правило старшинства логических операций. По аналогии с арифметическими операциями будем считать отрицание старшей логической операцией, конъюнкцию – действием второй ступени, а дизъюнкцию – младшей логической операцией.

Рассмотрим основные свойства булевых операций (свойства 1–8 доказываются с помощью таблиц истинности булевых функций).

1. а) x₁&(x₂&x₃)=(x₁&x₂)&x₃, б) (x₁Vx₂)Vx₃=(x₁Vx₂)x₃ – ассоциативность.

2. а) x₁&x₂=x₂&x₁, б) x₁Vx₂=x₂Vx₁ – коммутативность.

3. а) x₁&(x₂Vx₃)=(x₁&x₂)V(x₁&x₃) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

б) x₁V(x₂&x₃)=(x₁Vx₂)&(x₁Vx₃) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

4. а) x&x=x, б) xVx=x – идемпотентность.

5. =х – двойное отрицание.

6. а) x&1=x, б) x&0=0, в) xV1=1, г) xV0=x – свойства констант.

7. а) – законы де Моргана.

8. а) х=0 – закон противоречия, б) хV=1 – закон «исключённого третьего».

9. а) xV(x&y)=x – поглощение конъюнкции дизъюнкцией. Доказательство: xV(x&y)=(x&1)V(x&y)=x&(1Vy)=x&1=x.

б) x&(xVy)=x – поглощение дизъюнкции конъюнкцией. Доказательство: x&(xVy)=(xV0)&(xVy)=xV(0&y)=xV0=x.

Элементарными конъюнкциями (дизъюнкциями) называются конъюнкции (дизъюнкции) переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется формула, имеющая вид конъюнкции элементарных дизъюнкций. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные. Аналогично, совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это КНФ, каждая элементарная дизъюнкция которой содержит все переменные.

Всякую ДНФ можно привести к СДНФ расщеплением конъюнкций, которые содержат не все переменные:

Например,

Всякую КНФ можно привести к СКНФ расщеплением дизъюнкций, которые содержат не все переменные:

Например,

От ДНФ к КНФ можно перейти следующим образом. Пусть ДНФ F имеет вид F=k₁V…Vk_m, где k₁,…,k_m – элементарные конъюнкции. Формулу …приведём к ДНФ k₁V…Vk_l, где k₁,…,k_l – элементарные конъюнкции. Тогда

где – элементарные дизъюнкции. Аналогично, от КНФ можно перейти к ДНФ.

Пример 2.5.1.

Функция f называется импликантой функции g, если из равенства 1 (0) функции f на наборе значений переменных следует равенство 1 (0) функции g на наборе значений переменных, содержащем соответствующий набор значений переменных функции f. Таким образом, любая элементарная конъюнкция (дизъюнкция) любой ДНФ (КНФ) данной функции является импликантой этой функции. Функция f называется простой импликантой функции g, если формула f входит в состав формулы g и после удаления формулы f из формулы g f перестаёт быть импликантой для g.

Сокращённой ДНФ (КНФ) называется ДНФ (КНФ), состоящая только из элементарных конъюнкций (дизъюнкций), являющихся простыми импликантами данной функции. Сокращённую ДНФ (КНФ) можно получить из исходной, проделав всевозможные операции поглощения (свойство 9) и склеивания элементарных конъюнкций (дизъюнкций).

а) (склеивание конъюнкций);

б) (склеивание дизъюнкций).

Также для упрощения ДНФ (КНФ) можно пользоваться следующими тождествами:

ДНФ (КНФ) логической функции называется минимальной, если она содержит минимальное количество переменных или их отрицаний и знаков функций дизъюнкции и конъюнкции. Для функции может оказаться несколько минимальных ДНФ и КНФ.

Процесс нахождения минимальных ДНФ (КНФ) состоит, как правило, из двух этапов. На первом этапе получают сокращённую ДНФ (КНФ). Это можно сделать при помощи эквивалентных преобразований, описанных выше. На втором этапе из сокращённой формы получают минимальную (в настоящее время известно довольно много методов минимизации, например, метод импликантных матриц, испытания импликант, диаграмм Вейча [2]).

Если изначально не известна СДНФ (СКНФ) функции, можно пользоваться методом испытания импликант. Данный метод состоит в нахождении наборов переменных, на которых простая импликанта сокращённой ДНФ (КНФ) обращается в 1 (0) и проверке импликанты на простоту. Если импликанта оказывается непростой, то её можно исключить из ДНФ (КНФ). Затем в каждой форме, полученной после исключения одной импликанты, снова исключается одна непростая импликанта и т.д., пока исключение станет невозможным. В заключение из всех полученных таким образом ДНФ (КНФ) выбираются минимальные (их может быть несколько) согласно определению.