Реверсивные коды

Наиболее распространёнными кодами являются реверсивные коды. Реверсивные коды относятся к разряду модифицированных БЧХ-кодов.

Определение Реверсивным называется код который задается проверочной матрицей гдепримитивный элемент поля для

Каждый элемент матрицы есть двоичныйразрядный вектор. Таким образом,это двоичнаяматрица, ранг которой равен

В проверочной матрице реверсивного кода подматрицасовпадает с такой же подматрицей проверочной матрицы БЧХ-кода, а вторая подматрицапредставляет собой запись элементов первой строки, но в обратном порядке. Поэтому такой код и называют реверсивным.

Минимальным или кодовым расстоянием кода называется наименьшее из расстояний между попарно различными векторами кода.

Значение кодового расстояния определяет следующая – фундаментальная в помехоустойчивом кодировании

Теорема Если минимальное расстояние кода равноили, то кодможет обнаружить доошибок и исправить доошибок в каждом принятом векторе-слове длиной.

Теорема При чётных значениях реверсивный код имеет минимальное расстояние три, а при нечётных - пять.

Из теоремы следует, что перспективным для приложений является реверсивный код который может исправлять двойные ошибки.

Синдром ошибки

Пусть при передаче вектора-сообщения в цифровой системе связи с данным кодомна сообщение наложился вектор-ошибкавесом 2 с ненулевыми координатами на неизвестных позицияхи. Это означает, что приёмное устройство связи приняло сообщение.

Синдром ошибок в принятом сообщении вычисляется по формуле:гдепроверочная матрица кода. Если вычисления показывают, чтоСледовательно, сообщениесодержит ошибки.

В соответствии со свойствами и структурой матрицы синдром, где. Величиныинеизвестные элементы поля Галуа. Обозначим их черезисоответственно. Эти величины – решения системы уравнений

Для проведения вычислений необходимо иметь под рукой сформированное поле Галуа, а именно, таблицу степеней корня полинома и их полиномиальных эквивалентов. Данная система сводится к квадратному. Непосредственным подбором (методом Чэня) можно убедиться в правильности найденных корней.

Определение двойной ошибки по синдрому для бчх-кода

Пусть при передаче вектора-сообщения в цифровой системе связи с данным кодомна сообщение наложился вектор-ошибкавесом 2 с ненулевыми координатами на неизвестных позицияхи. Это означает, что приёмное устройство связи приняло сообщение. В соответствии со свойствами и структурой матрицысиндром, где. Величиныипока неизвестные элементы поля Галуа. Обозначим их черезисоответственно. Эти величины – решения системы уравнений

Для проведения вычислений необходимо иметь под рукой сформированное поле Галуа, а именно, таблицу степеней корня полинома и их полиномиальных эквивалентов. Все кодовые слова(и только они) составляют ядро проверочной матрицы:Еслито сообщениеявно содержит ошибки, синдром которой

Система (*) сводится к квадратному уравнению и находятся корни данной системы. Непосредственным подбором (методом Чэня) можно проверить правильность найденной ошибки.