Векторний простір

Лінійні Відображення

Дійсні числа

Комплексні числа

Збіжні послідовності та їх властивості

Теорема 3.1. Якщо границя числової послідовності існує, то вона єдина.

Доведення (Від протилежного). Припустимо протилежне, а саме: у збіжної послідовності дві різні границі:   ,  . Оскільки за означенням   може бути довільним додатним числом, візьмемо   .

У такому випадку   - околи точок   і   не перетинаються :   . Нехай за означенням границі, починаючи з номера   , члени послідовності належать   , а починаючи з  , належать   . Розглянемо член послідовності з номером   . Оскільки   , то   , але також   , отже,   , тобто перетин цих околів містить принаймні одне число   :   . Отримано протиріччя, яке встановлює правильність твердження теореми.

 

Теорема 3.2. Будь-яка збіжна послідовність є обмеженою.

Доведення. Нехай   . Візьмемо   . За означенням   . З останньої нерівності випливає, що, починаючи з номера   , члени послідовності належать проміжку   і тільки перші   членів можуть лежати поза цим проміжком. Позначимо  та   . Тоді для всіх членів виконується нерівність:   і, отже, за означенням, послідовність є обмеженою.

Зауваження. Теорема встановлює необхідну умову збіжності, а саме: якщо послідовність збіжна, то вона обмежена, але не будь-яка обмежена послідовність є збіжною.

Приклад. Розглянемо послідовність:   . Її члени дорівнюють +1, або   , тобто вона є обмеженою. Але ця послідовність не має границі. Дійсно, візьмемо   , тоді для будь-якої точки   , її   -окіл або не містить членів послідовності, або містить нескінченну їх кількість, але поза цим околом також знаходиться нескінченна множина членів послідовності, тобто, жодне число   не може бути границею цієї послідовності.

 

Означення 3.25. Числова послідовність називається нескінченно малою послідовністю, якщо її границя дорівнює нулю.

 

Теорема 3.3 Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай дано дві нескінченно малі послідовності:   . За означенням, для будь-якого  існує номер   такий, що   , або:   . Аналогічно, для будь-якого   існує номер   такий, що   , або:   .

Тоді   :   . Отже, границя суми дорівнює нулю, послідовність є нескінченно малою.

Зауваження. Асоціативний закон, якому підпорядкована операція додавання, дозволяє розповсюдити теорему на суму скінченої кількості послідовностей.

 

Теорема 3.4. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай   - нескінченно мала послідовність (   ),

 - обмежена послідовність (   ). За означенням, для будь-якого   існує номер   такий, що   , або:   . Тоді   :   . Отже,   , тобто добуток є нескінченно малою послідовністю.

 

 

Теорема 3.5. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай   дві нескінченно малі послідовності. Розглянемо їх добуток. Оскільки перша з них є збіжною, то за теоремою 3.2. вона є обмеженою. Отже, ми маємо добуток нескінченно малої послідовності на обмежену, і за теоремою 3.4. цей добуток є нескінченно малою послідовністю.

 

Зауваження. Асоціативний закон, якому підпорядкована операція множення, дозволяє розповсюдити теорему на добуток скінченої кількості послідовностей.

Теорема 3.6. Для того щоб послідовність   мала границею число   , необхідно і достатньо, щоб послідовність   була нескінченно малою.

Знаходження границь послідовностей

Похідна та її обчислення

Похідна, її геометричний, механічний та фізичний зміст. Диференційовність та неперервність. Правила диференціювання. Похідні елементарних функцій. Похідна складеної функції.

Основні теоретичні відомості

1. Деякі задачі, які приводять до поняття похідної

	Миттєва швидкість нерівномірного руху.				Припустимо, що деяке тіло починає
			.	Нехай шлях, пройдений тілом за
рухатися у момент часу t = 0 по прямій лінії
час t		визначається формулою
S =		f (t) . Функцію S f (t) називають законом руху тіла. Розглянемо шлях,

пройдений тілом за відрізок часу [t;t t]; він дорівнює

S f (x t) f (t) .

Якщо тіло рухається рівномірно, то відношення пройденого шляху до часу

S		f (x t) f (t)
t		t

є швидкістю руху і не залежить від t і Δt. У випадку нерівномірного руху це відношення залежить як від вибраного моменту часу t , так і від приросту Δt і виражає середню швидкість руху у проміжку часу t, t t . Чим менший проміжок часу Δt, тим з більшою підставою можна вважати, що рух протягом часу від t до t t рівномірний.

Границя

lim	S	lim	f (x t) f (t)	v(t) ,
t 0 t		t 0	t

якщо вона існує, і називається миттєвою швидкістю в момент часу t .

2. Означення похідної

Нехай на проміжку (a, b) визначена деяка функція y = f ( x) . Візьмемо будь–

яке значення x з цього проміжку і надамо йому приросту x . Різницю

f f (x t) f (t)

називають приростом функції в точці x. Приріст аргументу x 0 може

набувати як додатних , так і від’ємних значень, але так, що значення x x не

виходить за межі області визначення функції f ( x) .

Похідною функції y = f ( x) в точці x називають границю (якщо вона існує)

відношення приросту функції f f (x t) f (t) до приросту аргументу x , коли останній прямує до нуля, тобто

f '(x) lim	f (x t) f (t)
	t
t 0

Функцію, яка має скінчену похідну в точці x , називають диференційовною в цій точці. Обчислення похідної називають диференціюванням.

Позначення похідної: y^' (x), f ^' (x) ( за Лагранжем) або ^dy , ^df (за Лейбніцем).

dx	dx
З означення похідної випливає, що похідна y' (x) в точці x	є числом. Але якщо

таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку (a, b) , то похідну можна розглядати як функцію точки x з даного проміжку.

Якщо

lim

f (x t) f (t)

, тоді функція f ( x) має в точці x

нескінченну

t 0

t

похідну.

3. Геометричний, фізичний та механічний зміст похідної

y = f ( x) в

Дамо геометричне тлумачення похідної. Розглянемо графік функції

(x0 ; f ( x0 )) ,

а P – точка

графіка

з координатами x0 x; f (x0 x) . Пряму, проведену

через точки P0

і P , називають січною. Якщо при необмеженому наближенні точки

P за графіком функції y = f ( x)

до точки P0 січна P0P наближається

до певного

граничного положення (

пряма

P0K ), то це граничне положення січної називають

дотичною до кривої y =

f (x) в точці P0 .

Нехай α– кут,

який утворює дотична з додатним напрямом осі Ox, а β– кут між

січною P0P і віссюOx. З прямокутного трикутника P0QP випливає, що

tg

PQ

y

f (x0 x) f (x0 )

P0Q

x

x

Тоді існує границя

y'(x0 ) lim

f (x0 x) f (x0 )

lim tg tg

xx 0

x

x 0

P P0

Геометричний зміст похідної такий

: похідна функції y = f (x)

у точці x0

дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто

	f		( x0 ) tg
де –			кут, який утворює дотична до графіка функції в точці x0 з додатним

напрямом осі Ox.

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції y = f ( x) у точці P₀ ( x₀ , y₀ ) має вигляд

	y y 0 f ( x 0 )( x x0 )						де y0 = f ( x0 ) .
	Нормаллю до кривої						називають пряму, що проходить через точку дотику,
перпендикулярно до дотичної ( на рисунку 1– це пряма P0 N ). Рівняння нормалі:
	y y0			1		(x x0 )
			f
				' (x0 )
Якщо		функція			y = f ( x)		описує деякий фізичний процес, то похідна y' є
швидкістю зміни цього процесу. В цьому полягає фізичний зміст похідної.
	у	N					y=f(x)
							P
f(x0+Δx)
								К
	y
	f(x0)				P0			Q
						x		х

• ^{x 0} x₀+Δx

Рис.1

Іншими словами, яку б залежність не відображала функція y = f (x) , відношення

y

можна розглядати як середню

швидкість

зміни

функції

y відносно

x

аргументу x , а похідну f ' (x) – миттєву швидкість зміни цієї функції.

Механічний зміст похідної. Якщо

S = S(t) –

закон

руху матеріальної точки

від часу t ), то похідна

( тобто задається залежність пройденого точкою шляху

S

S' (t) –

це швидкість v точки в момент часу t ;

друга похідна

S''(t)

– миттєве

прискорення a точки в момент t , тобто

v(t) S'(t) ,

a(t) v'(t) S''(t) .

4. Основні правила диференціювання. Нехай

u(x),

v(x), –

диференційовні в

точці х функції, С – стала.

u v

u v

u v u v v u

u

u v v u

C u C u

v2

v

3