Башня сома
Автор куба мне не известен.
Цель головоломки — собрать куб на площадке, огороженной столбиками.
В этой версии куба элементы имеют необычную форму, благодаря чему решать ее будет еще интереснее. В каждом элементе кубики соединяются не полными гранями, а со смещением по горизонтали, примерно на треть грани.
На рисунке ниже показаны элементы «Башни сома» рядом с классическими элементами.
Поленница
Автор куба — Михаил Захаров.
Вместо кубиков — цилиндрики-«бревнышки».
Цель головоломки — собрать куб, чтобы получилось 9 длинных «бревен» (каждое из трех маленьких «бревнышек»), уложенных накрест друг на друга.
* * *
Фокус с элементом №3
Если отложить элемент №3, то из шести остальных элементов можно составить фигуру в точности такой же формы, что и элемент №3, но вдвое больших размеров.
* * *
Экстремальные фигуры
(Автор — Владимир Шибинский)
Рассмотрим композицию трёх классов экстремальных симметричных фигур: имеющих максимальную длину, занимающих максимальную площадь и максимальный объём. Примем за габариты а, b, с фигуры размеры (измеряются в кубиках) минимальной по объёму содержащей её коробочки, рёбра которой параллельны рёбрам кубиков фигуры. Заметим, что а, b, с — натуральные числа. Такой параллелепипед назовём занимаемым фигурой. Рассмотрим также величины: I = max (а, b, с), S = max(ab, ас, Ьс), V = abc, где I — длина, S — площадь, V — объём параллелепипеда, занимаемого фигурой. Поставим три задачи композиции: построить фигуры с максимальными значениями I, S и V.
Наиболее проста из них первая задача. Примеры её решения — фигуры 1 и 2, имеющие длину 17.
Действительно, максимальные габариты (длины) элементов в порядке их следования: 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, а сумма длин — 17. Тем самым максимальность длины фигур 1 и 2 доказана. Длинные фигуры складывать легко, так как элементы в них выстраиваются в последовательность, и по внешнему виду фигуры достаточно легко угадывается её структура.
Приводим фигуры 3 и 4, 5 и 6, построенные в попытках достичь максимума занимаемых фигурами площади и объёма соответственно.
Фигура 3 имеет габариты 9х11х2 и занимает площадь 9х11=99, фигура 4 — габариты 11х10х2 и площадь 11х10=110. Фигура 5 имеет габариты 8х9х6 и занимает объём 432, фигура 6 — габариты 11х7х6 и объём 462.
* * *
Экстремальные пористые фигуры
(Автор — Владимир Шибинский)
Рассмотрим симметричные фигуры, которые имеют одно или несколько сквозных отверстий. Назовём такие фигуры пористыми.
При композиции пористых фигур встают две задачи на экстремум, в некотором смысле противоположные. Либо, строя фигуры с одним отверстием, сделать это отверстие максимальным по площади, либо увеличить до максимума число отверстий. Примеры первых — фигуры 3 и 4, вторых — фигуры 1, 2, 5-9. Но сначала уточним понятие сквозного отверстия, обратившись к фигурам 1 и 2.
Если у фигуры 1 все четыре отверстия отделены друг от друга кубиками, то у фигуры 2 — только рёбрами кубиков. Если фигуры рассматривать как открытые множества (не включать в состав фигур точки их границы — поверхности), то у фигуры 2 отверстий нет. Они не отделены друг от друга и выходят за пределы фигуры. Если допустить, что фигуры — замкнутые множества (включают в себя поверхность), то у фигуры 2 четыре отверстия. С точки зрения композиции целесообразно принять вторую точку зрения и назвать отверстия фигур 1 и 2 отверстиями первого и второго рода соответственно. Тем самым мы удваиваем число задач композиции экстремальных пористых фигур, не допуская и допуская у фигур отверстия второго рода.
В данной подборке фигур рекордными значениями служат: максимальная площадь отверстия — шестнадцать граней кубиков (фигура 3) и пять отверстий (фигуры 6-9). У фигур 1-4 число и площади отверстий очевидны, но у фигур 5-9 число отверстий определяется нетривиально.
Фигура 5 получается из куба 3х3х3 переносом вовне его центрального кубика и центральных кубиков четырёх граней (кроме нижней и задней). Фигуры 6-9 отличаются дополнительным переносом вовне ещё и центральных кубиков нижней и задней граней. Фигуры 6-9, таким образом, состоят из каркаса куба, то есть из 20 кубиков, расположенных по его рёбрам и в вершинах, и 7 кубиков, симметрично размещённых вне каркаса. Для примера приводим на рисунке структуру фигуры 6.
Сколько отверстий у фигур 6-9? Кажется, что их три (они проходят между центрами противоположных граней), с другой стороны отверстия проходят между центрами любой пары граней и в этом смысле их 6х5/2=15. Корректен топологический подход: любая собранная по правилам фигура топологически эквивалентна (гомеоморфна) шару, если у неё нет отверстий, или шару с n0 ручками, если у неё n0 отверстий. Напомним, что гомеоморфизм — это взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение. Нетрудно установить, что фигуры 6-9 топологически эквивалентны шару с пятью ручками. Переход путём непрерывной деформации (а это разновидность гомеоморфизма) от любой из фигур 6-9 до шара с пятью ручками показан на рисунке.
Получаем куб с отверстиями (каркас куба). Затем — тор с четырьмя радиально расположенными отверстиями. Выворачиваем его в направлении стрелок, делая отверстия параллельными, получаем шар с пятью отверстиями. И, наконец, переносим отверстия, размещая их в пяти ручках. Аналогично устанавливается, что у фигуры 5 три отверстия.
Фигура № 4 — максимально возможная симметричная «развёртка» кубика ЗхЗхЗ.
* * *