1.5.3 Переходные процессы в электрических цепях с последовательно соединёнными резисторами и катушками.
ПОДКЛЮЧЕНИЕ КАТУШКИ С r и L К СЕТИ С ПОСТОЯННЫМ НАПРЯЖЕНИЕМ
Схема замещения реальной катушки (рис. а) представляет собой последовательно соединённые резистивный r и индуктивный L элементы.
После включения выключателя (рис. а) в цепи возникают ток и ЭДС самоиндукции. Уравнение для цепи, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид :
е = ir – U
Выразив в уравнении е через :
е = -Ldi/dt,
получим :
е = -Ldi/dt = ir – U
Разделив почленно полученное выражение на r, получим :
или
где Т = L/r - электромагнитная постоянная времени, с.
Уравнение тока в цепи с г, L
𝑖=
где
уст
= U/r
— установившийся
ток в цепи после окончания
переходного
процесса.
Уравнение ЭДС самоиндукции e, возникающей в индуктивности:
На рисунке ,б изображены графики тока i(t) и ЭДС e(t) при включении цепи (рисунок а).
Легко показать, что касательная, проведённая к кривой тока в начале координат, отсекает отрезок на линии установившегося значения тока, равный постоянной времени цепи Т. Действительно, при t = 0 и i = 0
Где
После подстановки получим
Отсюда
Постоянная времени характеризует темп нарастания тока в цепи. Она зависит только от параметров цепи и позволяет без расчёта и построения графиков оценить длительность переходного процесса.
Длительность переходного процесса, как видно из выражений 𝑖=
и теоретически равна бесконечности. Практически же
при
t
=ЗT
i =0,95
при t = 4T i = 0,98 ;
при t = 5T i = 0,993 .
Обычно cчитают, что длительность переходного процесса составляет
t =(3-4)T.
Подключение катушки с r и l к сети с синусоидальным напряжением
Зависимости i(t) iycт(t), icв(t) u(t) (б) при подключении цепи r, L (а) к сети с синусоидальным напряжением
iсв - свободный ток - ток, действующий только в течение времени переходного процесса.
Уравнение для цепи на рисунке а, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид
е = ir - u.
Выразив напряжение u через амплитудное значение и ЭДС е - через индуктивность и скорость изменения тока, получим дифференциальное уравнение
Решение дифференциального уравнения для свободного тока
имеет вид
Показатель степени р определяют из характеристического уравнения
Где –постоянная времени цепи.
Ток в цепи в переходный период
Принуждённый ток в цепи после окончания переходного процесса определяют по закону Ома:
Где
Значение А определяют из с помощью первого закона коммутации:
при t = 0+ i(0+) = i(0-) = 0 и
Откуда
После подстановки А в получим
Из вышеуказанного анализа вытекает, что характер переходного процесса зависит от 𝜓 и φ. На рисунке б) изображены графики мгновенных значений напряжения, установившегося, свободного и полного токов при включении цепи а). Следует отметить, что если в момент включения при t= 0+. 𝜓 – φ =0 , или 𝜓 = φ то принуждённый ток равен нулю, поэтому свободный ток не возникает и в цепи после включения сразу наступает установившийся режим.