11. Алгебра логики. Переменные и константы алгебры логики

Алгебра логики рассматривает высказывания и их взаимосвязь только с точки зрения их истинности либо ложности.

Если x – это высказывание, то в алгебре логики x = True (x = Истина) либо x = False (x = Ложь)

Два элемента булевой алгебры, а именно событие истинно и событие ложно, называются ее константами. Будем понимать под ними значения соответственно лог. 1 и лог. 0.

Для упрощения записей значения «Ложь» и «Истина» обозначают нулем и единицей (0 и 1).

Логические переменные могут принимать только эти два значения.

Примеры: x = 0, x1 = 0, x2 = 1, y = 0, Alpha = 1

Переменные – как обычные переменные.

А вообще, булева алгебра оперирует ансамблями, где каждая из переменных либо 1 либо 0. Любое значение может быть представлено при помощи ансамбля.

12. Законы и аксиомы алгебры логики. Логические функции

Аксиомы алгебры логики:

Законы алгебры логики:

Законы рефлексивности

a ∨ a = a

a ∧ a = a

Законы коммутативности

a ∨ b = b ∨ a

a ∧ b = b ∧ a

Законы ассоциативности

(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)

(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

Законы дистрибутивности

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Закон отрицания отрицания

¬ (¬ a) = a

Законы де Моргана

¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b

¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

Законы поглощения

a ∨ (a ∧ b) = a

a ∧ (a ∨ b) = a

Независимые высказывания называют аргументами. Высказывания, истинность либо ложность которых зависит от истинности либо ложности других высказываний, называют логическими функциями, зависящими от своих аргументов:

y = f(x), y = f(x1, x2, x3) и т.п.

Формы представления логических функций

• Таблица истинности

• Аналитическое выражение

• Логическая схема

Таблица истинности

Таблица истинности описывает значения логической функции на всех наборах ее аргументов. Для функции, зависящей от n аргументов, рассматривается N=2ⁿ значений.

Элементарные логические функции:

х	у	Дизъ-юнкция Х v Y или	Конъ-юнкция Х ^ Y Х & Y Х * Y	Булева сумма X + y	Экви-валентность X = y X ~ y	Импли-кация X -> y	Штрих шеффера X | y И-НЕ	Стрела Пирса X | y V ИЛИ-НЕ
0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1	0
1	0	1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	0
		Истина, когда хоть одно истина	Истина, когда все истина	Сумма по модулю (исключаю-щее или)	Совпадение	X -> y истина если х не больше у, если больше - ложь	Не являются истиной одновре-менно	Истина, если ни х, ни у, через эту фал можно выразить все