Арифметика эвм. Представление чисел в форме с фиксированной точкой.
Отличие машинной арифметики от арифметики обычной состоит в том, что разрядность чисел в машине конечна.
Ограниченность чисел обусловлена ограниченностью разрядной сетки (разрядности процессора).
Бесконечная числовая ось в машине отображается конечным множеством точек. N = 2n (n – разрядность)
Информация в памяти ЭВМ хранится и обрабатывается в двоичной системе счисления. Неделимой наименьшей единицей хранения информации является один бит, т.е.. двоичный разряд, который может принимать значения 0 или 1.
Группа из 8 битов называется байтом. Вся оперативная память состоит из байтов, которые нумеруются с 0. Последовательность в 1024 байта называется 1килобайт (1 кбайт = 1024 байта); 1 мегабайт = 1024 Кбайт, 1 гигабайт = 1024 Мбайт, 1 терабайт = 1024 Гбайт, 1 петабайт = 1024 Тбайт, 1экзабайт = 1024 Пбайта.
Адресом любого данного считается адрес (номер) самого первого байта поля памяти, выделенной для его хранения.
Форма записи данных в памяти ЭВМ называется внутренним представлением данных. В ЭВМ применяют две формы представления чисел: с фиксированной и с плавающей точкой.
Хранение чисел с фиксированной точкой
Для хранения информации в оперативной памяти служит ячейка. Существуют ЭВМ, в которых ячейка имеет постоянную длину, в ПК – переменную. Наименьшая длина – 1 байт. Есть ячейки в 2, 4, 6, 8, 10 байт. Ячейка в 2 байта называется словом, в 4 – двойным словом, в 1 байт – полусловом. Будем считать, что байты размещаются так(k=2, 4, 6, 8, 10):
При представлении чисел с фиксированной точкой местонахождение точки фиксируется в конкретном месте ячейки относительно разряда числа.
Каждый бит имеет свой вес в байте. Если в байте точка зафиксирована справа и используется беззнаковая форма хранения целых положительных чисел, то биты имеют вес в соответствии со схемой:
Для представления целых чисел используют два варианта: со знаком и без знака. В первом случае выделяют «знаковый» разряд (обычно крайний слева) и сохраняют там 0 («+») или 1 («-»)
Если местонахождение точки фиксируется перед старшим разрядом, то вес разрядов в байте будет другим:
В этом формате могут быть числа – правильные дроби.
Для представления целых числе в форме с фиксированной точкой со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды. Идея такова: код трактуется как число без знака, а диапазон чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из них дает положительные числа, а другой – отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к диапазону определялась максимально просто.
Очень удобно формировать коды так, чтобы значение старшего разряда показывало на знак числа
Формат с фиксированной запятой:
используется ПК или ДК (чаще),
числа расположены равномерно по числовой оси,
дискретность (расстояние между соседними числами) постоянная на всем диапазоне.
Сложение в формате с фиксированной точкой. Переполнение.
Таблица сложения для двоичной арифметики:
Сложение осуществляется довольно просто, но при сложении больших чисел может возникнуть переполнение разрядной сетки и компьютеру важно его обнаружить и предупредить.
Обнаружение переполнения разрядной сетки при сложении может производиться несколькими способами.
Самый простой способ – использование модифицированного кода (с двумя знаковыми разрядами).
Старший знаковый разряд даже при переполнении сохраняет информацию о знаке результата («Разряд знака»).
Младший – «Разряд переполнения». Комбинация знаков при «положительном» переполнении – 01, при «отрицательном» – 10.
Недостаток способа модифицированного кода — расширение разрядной сетки на один разряд.
Второй способ обнаружения переполнения - сравнение переносов в знаковый разряд и из знакового разряда. Переполнение - при несовпадении этих переносов. Фактически здесь тоже «задействован» модифицированный дополнительный код.
Случай А. Неотрицательные операнды.
Правило сравнения переносов дает значение признака переполнения:
φр = 0 X = X (переполнение при X = 1).
Слева от штриховой черты показаны значения воображаемого модифицированного дополнительного кода. Правило этого способа дает такое же значение признака переполнения:
φм = 0 X = X
Третий способ - сравнение знаков. Реализуется программно (микропрограммно). Сначала проверяется, имеют ли операнды одинаковые знаки. И, если имеют, совпадает ли с этими знаками знак результата. Переполнение соответствует несовпадению (рис. 4).
