Глава9. Проблема на миллион долларов

Давноизвестна классическая формула репортёров:если собака укусила человека, это неновость; если человек укусил собаку -это новость. Сведения о том, чтопетербургский математик ГригорийПерельман решил великую математическуюпроблему, стоявшую более ста лет, началипоявляться в средствах массовойинформации с 2003 года. Но это была ещё неновость. Подлинной новостью, согласноприведённой формуле, стала сенсация,облетевшая СМИ и заметное времяудерживаемая ими летом 2006 года: Перельманотказался от всех присуждённых емунаград - в частности, от миллиона долларов.Корреспондентам, пытавшимся взять унего интервью, Перельман вежливо, норешительно отказал во встрече, сославшисьна неуместную шумиху, но прежде всегона то, что должен идти в лес по грибы, -эти причины отказа были названы им воглашённой по телевидению записителефонного разговора с домогающимисякорреспондентами. Одновременносообщалось, что проблема не толькотрудная и знаменитая, но и существеннаядля теоретической физики, а именно дляпонимания устройства окружающего насфизического пространства.

Пожалуй,со времени вхождения в общекультурныйоборот проблемы Ферма ни одна математическаяпроблема с сопровождающим её шлейфомобстоятельств не приобретала такоймассовой известности. Произошло вторжениематематической проблематики в общественноесознание. Следует ли закрепить величиевеликой проблемы тем, что оставить еёокружённой ореолом тайны, открытой лишьдля посвящённых и полностью недоступнойпониманию широкой публики? Не знаю;может быть, и стоит. Тем не менее в этойглаве мы попытаемся в самых общих чертахобъяснить читателю-нематематику, в чёмсостоит проблема.

Носперва о “шлейфе обстоятельств”.Григорию Яковлевичу Перельману,безработному кандидату физико-математическихнаук, в отличие от якобы доказавшихтеорему Ферма “академиков” (см. вышеглаву 2) и в самом деле решившему такназываемую проблему Пуанкаре, ещётолько предстоит отказаться (или неотказаться) от миллиона долларов.

До техпор, пока премия не будет ему предложена,Перельман, по его собственным словам,не намерен заниматься решением вопроса,принимать её или нет. Что касается самойэтой премии, то расположенный вМассачусетсе частный Математическийинститут Клэя (Clay Mathematics Institute) действительновключил проблему Пуанкаре в список изсеми математических “Проблем Тысячелетия”и за решение каждой из них обещаетвыплатить миллион. Но выплата происходитпо прошествии определённого срока ипосле специальной экспертизы. В случаепроблемы Пуанкаре ни то, ни другое,кажется, ещё не произошло. К тому же крассмотрению, как правило, принимаютсялишь решения, опубликованные в авторитетныхизданиях, реферируемых в специальныхреферативных журналах. Ни одно избумажных изданий Перельман не удостоили своё решение обнародовал лишь вИнтернете. От чего Перельман действительноотказался, так это от медали Филдса.

Математика,как известно, не входит в список наук,за которые присуждают Нобелевскиепремии. Существует забавная литература,посвящённая попыткам выяснить причинутого, почему математика не была включенав завещание Нобеля. Наиболее популярноеобъяснение сводится к cherchez la femme! -якобы Нобель не поделил женщину с некимзнаменитым шведским математиком и нехотел, чтобы тому досталась премия егоимени. Однако такие объяснения всеголишь привлекательны, но не слишкомдостоверны.

МедальФилдса по уровню престижа занимает вмире математиков примерно такое жеположение, какое занимает Нобелевскаяпремия в мире, скажем, физиков, и как бызаменяет собою эту премию. Имеются поменьшей мере три отличия филдсовскоймедали от Нобелевской премии. Нобелевскаяпремия присуждается ежегодно, филдсовскаямедаль - раз в четыре года; зато присуждаетсяот двух до четырёх медалей сразу. Внобелевском случае возраст лауреатаничем не ограничен, и премия зачастуюприсуждается за достижения весьма ивесьма давние. Возраст математическоголауреата ограничен 40 годами, и потомуУайлс, решивший проблему Ферма в возрасте41 года, медали не получил; вместо медалипредседатель Филдсовского комитетаторжественно вручил ему специальнуюсеребряную табличку. Наконец, хотямедаль и сопровождается некоей суммой,но сумма эта в несколько десятков разменьше Нобелевской премии. Медаливручают на происходящем раз в четырегода Международном конгрессе математиков.Президент Международного математическогосоюза специально прилетал в Петербург,чтобы уговорить Перельмана посетитьконгресс в Мадриде, предстоявший вавгусте 2006 года, и получить там медальиз рук короля Испании. Перельман осталсянепреклонен и на конгресс не поехал.

Это былпервый случай отказа от филдсовскоймедали. Проблемы и даже скандалы,сопровождавшие процедуры присужденияи вручения филдсовских медалей, возникалии раньше. Так, по причине Мировой войныне было ни конгрессов, ни присужденийв промежутке между 1936 и 1950 годами (в 1936году в Осло прошёл последний предвоенныйМеждународный конгресс математиков, ав 1950 году в Кембридже, что в Массачусетсе,- первый послевоенный). Все последующиепричины были порождены советскимивластями. Например, конгресс в Варшаве,намеченный на 1982 год, был перенесён наавгуст 1983 года из-за объявленного вПольше военного положения. В 1966 годуфранцузский математик АлександрГротендик, один из крупнейших математиковXX века, в знак протеста против советскойполитики в Восточной Европе не приехалв Москву на очередной конгресс, где емудолжны были вручить медаль. Церемониявручения проходила в Кремле, во Дворцесъездов; вручавший медали президентАкадемии наук М. В. Келдыш скороговоркойогласил список лауреатов и всех чохомпригласил на сцену для получения медалей;кто есть ху, понять из зала было невозможно.В 1970 и в 1978 годах конгрессы состоялись,соответственно, в Ницце и в Хельсинки.На них должны были получить свои медалидва математика из СССР: в Ницце - СергейПетрович Новиков (родился в 1938 году;кстати, племянник того самого Келдыша),а в Хельсинки - Григорий АлександровичМаргулис (родился в 1946 году). Их поездкибыли признаны, по советской бюрократическойтерминологии, “нецелесообразными”, асами они не были выпущены за пределыСССР. Маргулис был тогда кандидатомнаук, и в “Московском комсомольце”(едва ли не единственном издании,откликнувшемся на присуждение емувысшей математической награды) появиласьстатья с замечательной фразой: “и…[даже] докторская диссертация на подходе”.Владимир Игоревич Арнольд был номинированна медаль Филдса 1974 году. Далее - изложениерассказа самого Арнольда; надеюсь, чтопомню его правильно. Всё было на мази,Филдсовский комитет рекомендовалприсудить Арнольду медаль. Окончательноерешение должен был принять высший органМеждународного математического союза- его исполнительный комитет. В 1971 - 1974годах вице-президентом Исполнительногокомитета был один из крупнейших советских(да и мировых) математиков академик ЛевСемёнович Понтрягин. Накануне своейпоездки на заседание исполкома Понтрягинпригласил Арнольда к себе домой на обеди на беседу о его, Арнольда, работах. КакПонтрягин сообщил Арнольду, он получилзадание не допустить присуждение томуфилдсовской медали. В случае, еслиисполком с этим не согласится и всё жеприсудит Арнольду медаль, Понтрягинбыл уполномочен пригрозить неприездомсоветской делегации в Ванкувер наочередной Международный конгрессматематиков, а то и выходом СССР изМеждународного математического союза.Но чтобы суждения Понтрягина о работахАрнольда звучали убедительно, он,Понтрягин, по его словам, должен оченьхорошо их знать. Поэтому он и пригласилАрнольда, чтобы тот подробно рассказалему о своих работах. Что Арнольд и сделал.По словам Арнольда, задаваемые емуПонтрягиным вопросы были весьмасодержательны, беседа с ним - интересна,а обед - хорош. Не знаю, пришлось лиПонтрягину оглашать свою угрозу, нотолько филдсовскую медаль Арнольд тогдане получил - и было выдано две медаливместо намечавшихся трёх. К следующемуприсуждению медалей родившийся в 1937году Арнольд исчерпал возрастной лимит.В 1995 году Арнольд уже сам сталвице-президентом, и тогда он узнал, чтов 1974 году на членов исполкома большоевпечатление произвела глубина знакомстваПонтрягина с работами Арнольда.

Проблема,которую решил Перельман, состоит втребовании доказать гипотезу, выдвинутуюв 1904 году великим французским математикомАнри Пуанкаре (1854 - 1912) и носящую его имя.О роли Пуанкаре в математике трудносказать лучше, чем это сделано вэнциклопедии: “Труды Пуанкаре в областиматематики, с одной стороны, завершаютклассическое направление, а с другой -открывают пути к развитию новойматематики, где наряду с количественнымисоотношениями устанавливаются факты,имеющие качественный характер” (БСЭ,изд. 3-е, т. 2).

ГипотезаПуанкаре как раз и имеет качественныйхарактер - как и вся та область математики(а именно топология), к которой онаотносится и в создании которой Пуанкарепринял решающее участие.

Насовременном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязноекомпактное трёхмерное многообразиебез края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Вследующих абзацах мы постараемся хотябы частично и очень приблизительноразъяснить смысл этой устрашающейсловесной формулы.

Дляначала заметим, что обычная сфера,которая есть поверхность обычного шара,двумерна (а сам шар - тот трёхмерен).Двумерная сфера состоит из всехточек трёхмерного пространства,равноудалённых от некоторой выделеннойточки, называемой центром и сфере непринадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерногопространства, равноудалённых от своегоцентра (сфере не принадлежащего). Вотличие от двумерных сфер трёхмерныесферы недоступны нашему непосредственномунаблюдению, и нам представить себе ихтак же трудно, как Василию Ивановичу изизвестного анекдота квадратный трёхчлен.Не исключено, однако, что все мы как разв трёхмерной сфере и находимся, то естьчто наша Вселенная является трёхмернойсферой. В этом состоит значение результатаПерельмана для физики и астрономии.Термин “односвязное компактноетрёхмерное многообразие без края”содержит указания на предполагаемыесвойства нашей Вселенной. Термин“гомеоморфно” означает некую высокуюстепень сходства, в известном смысленеотличимость. Формулировка в целомозначает, следовательно, что если нашаВселенная обладает всеми свойствамиодносвязного компактного трёхмерногомногообразия без края, то она - в том жесамом “известном смысле” - и естьтрёхмерная сфера.

Понятиеодносвязности - довольно простое понятие.Представим себе канцелярскую резинку(то есть резиновую нить со склееннымиконцами) столь упругую, что она, если еёне удерживать, стянется в точку. От нашейрезинки мы потребуем ещё, чтобы пристягивании в точку она не выходила запределы той поверхности, на которой мыеё расположили. Если мы растянем такуюрезинку на плоскости и отпустим, онанемедленно стянется в точку. То жепроизойдёт, если мы расположим резинкуна поверхности глобуса, то есть на сфере.Для поверхности спасательного кругаситуация окажется совершенно иной:любезный читатель легко найдёт такиерасположения резинки на этой поверхности,при которой стянуть резинку в точку, невыходя за пределы рассматриваемойповерхности, невозможно. Геометрическаяфигура называется односвязной, если любой замкнутый контур, расположенныйв пределах этой фигуры, можно стянутьв точку, не выходя за названные пределы.Мы только что убедились, что плоскостьи сфера односвязны, а поверхностьспасательного круга не односвязна. Неодносвязна и плоскость с вырезанной вней дырой. Понятие односвязностиприменимо и к трёхмерным фигурам. Так,куб и шар односвязны: всякий находящийсяв их толще замкнутый контур можно стянутьв точку, причём в процессе стягиванияконтур будет всё время оставаться вэтой толще. А вот баранка не односвязна:в ней можно найти такой контур, которыйнельзя стянуть в точку так, чтобы впроцессе стягивания контур всё времянаходился в тесте баранки. Не односвязени крендель. Можно доказать, что трёхмернаясфера односвязна.

Надеемся,что читатель не забыл ещё разницу междуотрезком и интервалом, которой обучаютв школе. Отрезок имеет два конца,он состоит из этих концов и всех точек,расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех точек,расположенных между его концами, самиже концы в состав интервала не входят;можно сказать, что интервал - это отрезокс удалёнными из него концами, а отрезок-это интервал с добавленными к немуконцами. Интервал и отрезок являютсяпростейшими примерами одномерныхмногообразий, причём интервал естьмногообразие без края, а отрезок -многообразие с краем; край в случаеотрезка состоит из двух концов. Главноесвойство многообразий, лежащее в основеих определения, состоит в том, что вмногообразии окрестности всех точек,за исключением точек края (которогоможет и не быть), устроены совершенноодинаково. При этом окрестностью какой-либо точки A называетсясовокупность всех точек, расположенныхвблизи от этой точки A . Микроскопическоесущество, живущее в многообразии безкрая и способное видеть только ближайшиек себе точки этого многообразия, не всостоянии определить, в какой именноточке оно, существо, находится: вокругсебя оно всегда видит одно и то же. Ещёпримеры одномерных многообразий безкрая: вся прямая линия целиком, окружность.Примером одномерной фигуры, не являющейсямногообразием, может служить линия вформе буквы T : здесь есть особаяточка, окрестность которой не похожана окрестности других точек - это точка,где сходятся три отрезка. Другой примеродномерного не-многообразия - линия вформе восьмёрки; в особой точке здесьсходятся четыре линии. Плоскость, сфера,поверхность спасательного круга служатпримерами двумерных многообразий безкрая. Плоскость с вырезанной в ней дыройтакже будет многообразием - а вот с краемили без края, зависит от того, куда мыотносим контур дыры. Если мы относимего к дыре, получаем многообразие безкрая; если оставляем контур на плоскости,получаем многообразие с краем, каковыми будет служить этот контур. Разумеется,мы имели здесь в виду идеальноематематическое вырезание, а при реальномфизическом вырезании ножницами вопрос,куда относится контур, не имеет никакогосмысла.

Несколькослов о трёхмерных многообразиях. Шарвместе со сферой, служащей его поверхностью,представляет собою многообразие скраем; указанная сфера как раз и являетсяэтим краем. Если мы удалим этот шар изокружающего пространства, получиммногообразие без края. Если мы сдерёмс шара его поверхность, получится то,что на математическом жаргоне называется“ошкуренный шар”, а в более научномязыке - открытый шар . Если удалитьоткрытый шар из окружающего пространства,получится многообразие с краем, и краембудет служить та самая сфера, которуюмы содрали с шара. Баранка вместе сосвоей корочкой есть трёхмерноемногообразие с краем, а если отодратькорочку (которую мы трактуем какбесконечно тонкую, то есть как поверхность),получим многообразие без края в виде“ошкуренной баранки”. Всё пространствов целом, если понимать его так, как онопонимается в средней школе, естьтрёхмерное многообразие без края.

Математическоепонятие компактность отчастиотражает тот смысл, какой слово“компактный” имеет в повседневномрусском языке: ‘тесный’, ‘сжатый’.Геометрическая фигура называетсякомпактной, если при любом расположениибесконечного числа её точек онинакапливаются к одной из точек или комногим точкам этой же фигуры. Отрезоккомпактен: для любого бесконечногомножества его точек в отрезке найдётсяхотя бы одна так называемая предельнаяточка, любая окрестность которойсодержит бесконечно много элементоврассматриваемого множества. Интервалне компактен: можно указать такоемножество его точек, которое накапливаетсяк его концу, и только к нему, - но ведьконец не принадлежит интервалу! Занедостатком места мы ограничимся этимкомментарием. Скажем лишь, что израссмотренных нами примеров компактнымиявляются отрезок, окружность, сфера,поверхности баранки и кренделя, шар(вместе со своей сферой), баранка икрендель (вместе со своими корочками).Напротив, интервал, плоскость, ошкуренныешар, баранка и крендель не являютсякомпактными. Среди трёхмерных компактныхгеометрических фигур без края простейшейявляется трёхмерная сфера, но в нашемпривычном “школьном” пространстветакие фигуры не умещаются.

Самое,пожалуй, глубокое из тех понятий, которыесвязывает между собой гипотеза Пуанкаре,- это понятие гомеоморфии. Гомеоморфия- это наиболее высокая ступеньгеометрической одинаковости. Сейчасмы попытаемся дать приблизительноеразъяснение этому понятию путёмпостепенного к нему приближения.

Уже вшкольной геометрии мы встречаемся сдвумя видами одинаковости - с конгруэнтностьюфигур и с их подобием. Напомним, чтофигуры называются конгруэнтными, если они совпадают друг с другом приналожении. В школе конгруэнтные фигурыкак бы не различают, и потому конгруэнтностьназывают равенством. Конгруэнтныефигуры имеют одинаковые размеры во всехсвоих деталях. Подобие же, не требуяодинаковости размеров, означаетодинаковость пропорций этих размеров;поэтому подобие отражает более сущностноесходство фигур, нежели конгруэнтность.Геометрия в целом - более высокая ступеньабстракции, нежели физика, а физика -чем материаловедение. Возьмём, к примеру,шарик подшипника, биллиардный шар,крокетный шар и мяч. Физика не вникаетв такие детали, как материал, из которогоони сделаны, а интересуется лишь такимисвойствами, как объём, вес, электропроводностьи т. п. Для математики - все они шары,различающиеся только размерами. Еслишары имеют разные размеры, то ониразличаются для метрической геометрии, но все они одинаковы для геометрииподобия . С точки зрения геометрииподобия одинаковы и все шары, и все кубы,а вот шар и куб - не одинаковы.

А теперьпосмотрим на тор. Тор - эта та геометрическаяфигура, форму которой имеют баранка испасательный круг. Энциклопедияопределяет тор как фигуру, полученнуювращением круга вокруг оси, расположеннойвне этого круга. Призываем благосклонногочитателя осознать, что шар и куб “болееодинаковы” между собой, чем каждый изних с тором. Наполнить это интуитивноеосознание точным смыслом позволяетследующий мысленный эксперимент.Представим себе шар сделанным изматериала столь податливого, что егоможно изгибать, растягивать, сжиматьи, вообще, деформировать как угодно, -нельзя только ни разрывать, ни склеивать.Очевидно, что шар тогда можно превратитьв куб, но вот в тор превратить невозможно.Толковый словарь Ушакова определяеткрендель как выпечку (буквально: каксдобную витую булку) в форме буквы В.При всём уважении к этому замечательномусловарю, слова “в форме цифры 8 ”кажутся мне более точными; впрочем, стой точки зрения, которая выражена впонятии гомеоморфии, и выпечка в формецифры 8 , и выпечка в форме буквы В,и выпечка в форме фиты имеют одну и туже форму. Даже если предположить, чтохлебопёки сумели получить тесто,обладающее вышеуказанными свойствамиподатливости, колобок невозможно - безразрывов и склеиваний! - превратить нив баранку, ни в крендель, как и последниедве выпечки друг в друга. А вот превратитьшарообразный колобок в куб или в пирамиду- можно. Любезный читатель несомненносумеет найти и такую возможную формувыпечки, в которую нельзя превратитьни колобок, ни крендель, ни баранку.

Неназвав этого понятия, мы уже познакомилисьс гомеоморфией. Две фигуры называютсягомеоморфными, если одну можнопревратить в другую путём непрерывной(т. е. без разрывов и склеиваний) деформации;сами такие деформации называютсягомеоморфизмами . Мы только чтовыяснили, что шар гомеоморфен кубу ипирамиде, но не гомеоморфен ни тору, никренделю, а последние два тела негомеоморфны между собой. Просим читателяпонимать, что мы привели лишь приблизительноеописание понятия гомеоморфии, данноев терминах механического преобразования.

Коснёмсяфилософского аспекта понятия гомеоморфии.Представим себе мыслящее существо,живущее внутри какой-либо геометрическойфигуры и не обладающее возможностьюпосмотреть на эту фигуру извне, “состороны”. Для него фигура, в которойоно живёт, образует Вселенную. Представимсебе также, что когда объемлющая фигураподвергается непрерывной деформации,существо деформируется вместе с нею.Если фигура, о которой идёт речь, являетсяшаром, то существо никаким способом неможет различить, пребывает ли оно вшаре, в кубе или в пирамиде. Однако длянего не исключена возможность убедиться,что его Вселенная не имеет формы тораили кренделя. Вообще, существо можетустановить форму окружающего егопространства лишь с точностью догомеоморфии, то есть оно не в состоянииотличить одну форму от другой, кольскоро эти формы гомеоморфны.

Дляматематики значение гипотезы Пуанкаре,превратившейся теперь из гипотезы втеорему Пуанкаре - Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемыбыл предложен миллион долларов), равнокак огромно и значение найденногоПерельманом способа её доказательства,но объяснить это значение здесь - вненашего умения. Что же касаетсякосмологической стороны дела, то,возможно, значимость этого аспекта быланесколько преувеличена журналистами.Впрочем, некоторые авторитетныеспециалисты заявляют, что осуществлённыйПерельманом научный прорыв может помочьв исследовании процессов формированиячёрных дыр.

Чёрныедыры, кстати, служат прямым опровержениемположения о познаваемости мира - одногоиз центральных положений того самогопередового, единственно верного ивсесильного учения, которое 70 летнасильственно вдалбливалось в нашибедные головы. Ведь, как учит физика,никакие сигналы из этих дыр не могут кнам поступать в принципе, так что узнать,что там происходит, невозможно. О том,как устроена наша Вселенная в целом, мывообще знаем очень мало, и сомнительно,что когда-нибудь узнаем. Да и сам смыслвопроса о её устройстве не вполне ясен.Не исключено, что этот вопрос относитсяк числу тех, на которые, согласно учениюБудды, не существует ответа. Физикапредлагает лишь модели устройства,более или менее согласующиеся с известнымифактами. При этом физика, как правило,пользуется уже разработанными заготовками,предоставляемыми ей математикой.

Математикане претендует, разумеется, на то, чтобыустановить какие бы то ни былогеометрические свойства Вселенной. Ноона позволяет осмыслить те свойства,которые открыты другими науками. Болеетого. Она позволяет сделать болеепонятными некоторые такие свойства,которые трудно себе вообразить, онаобъясняет, как такое может быть. К числутаких возможных (подчеркнём: всего лишьвозможных!) свойств относятся конечностьВселенной и её неориентируемость.

Долгоевремя единственной мыслимой модельюгеометрического строения Вселеннойслужило трёхмерное евклидово пространство,то есть то пространство, которое известновсем и каждому из средней школы. Этопространство бесконечно; казалось, чтоникакие другие представления и невозможны;помыслить о конечности Вселеннойказалось безумием. Однако нынепредставление о конечности Вселеннойне менее законно, чем представление оеё бесконечности. В частности, конечнатрёхмерная сфера. От общения с физикамиу меня осталось впечатление, что одниотвечают “скорее всего, Вселеннаябесконечна”, другие же - “скорее всего,Вселенная конечна”.

Нижемы попытаемся объяснить теоретическуювозможность конечности Вселенной . Пока что заметим лишь, что конечностьВселенной не означает наличие у неёкрая, “стены”. Ведь само по себеотсутствие у геометрической фигурыконца и края ещё не означает еёбесконечности. Поверхность нашейпланеты, например, конечна, но края унеё нет. В детстве я, как и другие,наслаждался старинной картинкой, накоторой был изображён монах, дошедшийдо Края Земли и просунувший головусквозь небесный свод. Ещё более, чемупомянутая картинка, детское воображениеувлекала модная гипотеза (потом онакак-то заглохла), что некие две далёкиетуманности, наблюдаемые с Земли впротивоположных концах небосвода,являются на самом деле не различнымиастрономическими объектами, а одним итем же объектом, видимым с разных сторон.Если бы это подтвердилось, это было быдоказательством конечности Вселенной.Вот три мысленных эксперимента, способныезасвидетельствовать указанную конечность,если она действительно имеет место.Первый: экспериментатор отправляетсяв космическое путешествие и, двигаясьвсё время в одну сторону, возвращаетсяв исходную точку. Второй: обнаруживаетсяокружность, длина которой меньше той,которую сообщают нам в школе, то естьменьше двух пи, помноженных на длинурадиуса. Третий (предложен Эйнштейном):экспериментатор окружает себя сферой,сделанной из прочной и неограниченнорастягивающейся плёнки, и начинает этусферу раздувать; площадь поверхностисферы сперва будет возрастать, но начинаяс некоторого момента - уменьшаться, а витоге вся сфера стянется в точку - притом, что экспериментатор остаётся внутрисферы.

Чтобыпонять, как такое возможно, надо напрячьвоображение, а затем рассуждать поаналогии.

Вообразимсебе обычную двумерную сферу, населённуюдвумерными же существами; их принятоназывать флатландцами . Мы с вамиживём на сфере (на поверхностиЗемли), флатландцы же пребывают в теле сферы, в её “толще”; эта “толща”,конечно, не имеет толщины, но ведь ифлатландцы её не имеют. Органы чувствне позволяют флатландцам ощутитьчто-нибудь вне пределов этой сферы,которая для них составляет Вселенную.Сфера большая, а двумерные жители обитаютна небольшом её участке и - внимание! -полагают, что их Вселенная представляетсобою двумерное евклидово пространство,то есть плоскость. Посмотрим, что можетпоколебать их в этом убеждении. Еслисчитать, что флатландцы умеют видетьчрезвычайно далеко, то удалённый от нихобъект они видят с двух сторон: ведь вих Вселенной луч света идёт по сфере,огибая её. Космический путешественник,двигающийся всё время в одну сторону,возвращается, обогнув сферу, в исходнуюточку. Радиус окружности двумерныесущества проводят по сфере, и его длинаоказывается больше радиуса той жеокружности, проведённого в недоступномим “внешнем” пространстве, - а потомудлина окружности окажется меньшей,нежели та, которая вычисляется через“фатландский радиус” по нашей школьнойформуле. Посмотрим теперь, что произойдёт,если двумерный экспериментатор окружитсебя канцелярской резинкой, способнойнеограниченно растягиваться, придастей форму окружности и станет увеличиватьрадиус этой окружности. Сперва длинаокружности будет возрастать, а послепрохождения через “экватор” уменьшатьсяи в итоге уменьшится до нуля.

А теперькартину, только что изложенную нами длядвумерного мира, надо по аналогииперенести на мир трёхмерный. Мы, как ифлатландцы, убеждены, что пребываем в“прямом” евклидовом пространствешкольной геометрии. Однако не исключено,что на самом деле - в (не “на”, а “в”)сфере, только трёхмерной. И эту трёхмернуюсферу можно представлять себе расположеннойв евклидовом четырёхмерном пространстве- наподобие того, как двумерная сферарасположена в пространстве трёхмерном.Четырёхмерного пространства мы,разумеется, не воспринимаем своимиорганами чувств, но ведь и флатландцыне воспринимают пространства трёхмерного.Как и флатландцы, мы можем убедиться вкривизне мира, увидев какой-нибудьвесьма отдалённый предмет с двухпротивоположных сторон или сравниваядлину окружности с той, которая выражаетэту длину через радиус по стандартной,известной из школы формуле. Вместоэксперимента с канцелярской резинкойнадлежит произвести тот эксперимент срастягивающейся плёнкой, о котором былосказано выше.

Нередкопредставления об устройстве Вселенной,уже включённые наукой в переченьподтверждённых, кажутся парадоксальными;не исключено, что некоторые её свойствамогут оказаться ещё более парадоксальными.Пожалуй, сейчас уже всем известен такназываемый парадокс близнецов .Если один из двух близнецов совершаеткосмическое путешествие, а другойостаётся на Земле, то в момент возвращенияиз космоса космонавт непременно окажетсямоложе своего брата; если ускорения,которым подвергался космонавт во времяпутешествия, были достаточно велики идлительны, разница в возрасте будетзаметна на глаз. Сейчас мы опишем другоеявление - парадокс зеркального отражения . Встретится ли когда-либо названныйпарадокс в действительности, неизвестно;в отличие от парадокса близнецов,описывающего реальные (точнее сказать- общепризнанные) свойства мироздания,возможность осуществления зеркальногоотражения чисто теоретическая, онавсего лишь не опровергнута.

Итак,парадокс зеркального отражения . В1896 году Г. Дж. Уэллс написал свою “ИсториюПлаттнера” (“The Plattner story”) - ужеупоминавшийся рассказ о том, как школьныйучитель Готфрид Платтнер претерпеваетфантастическое путешествие, после чеговозвращается зеркально перевёрнутым.До путешествия он не был левшой и имелнормальное строение тела за исключениемлёгкой асимметрии: “Левый глаз немногобольше правого и челюсть чуть-чутьотвисает с левой стороны”. А вот какимон сделался после своего путешествия:“Правый глаз немного больше левого, иправая часть челюсти слегка тяжелеелевой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся справой стороны! ‹…› Все другиенесимметричные части его тела расположеныне на своих местах. Правая доля егопечени расположена с левой стороны,левая - с правой, аналогично перепутаныи лёгкие. ‹…› Он может писать тольколевой рукой, причём справа налево”.

Уэллсобъясняет происшедшие с Платтнеромизменения выходом в другой мир, вчетвёртое измерение: “Если вы вырежетеиз бумаги любую фигуру, имеющую правуюи левую стороны, вы можете легкопереместить эти стороны, если подыметеи перевернёте фигуру. Но с предметомобъёмным дело обстоит иначе.Теоретики-математики говорят нам, чтоединственный способ, посредствомкоторого правая и левая сторонакакого-нибудь твёрдого тела могутперемениться, - это если изъять тело изпространства (в том виде, в каком мыпонимаем пространство), вынуть его изобычных условий и переместить куда-товне пространства. ‹…› Случившаяся уПлаттнера перемена местами правой илевой частей есть не что иное, какдоказательство того, что он переходилиз нашего пространства в так называемоеЧетвёртое Измерение, а затем сновавернулся в Наш Мир”.

Здесьсущественна заключённая в скобкиоговорка: “…в том виде, в каком мыпонимаем пространство…” Имеется ввиду стандартное, школьное пониманиепространства. Математики, однако,обнаружили теоретическую возможностьтакой формы трёхмерного пространства,что поменять местами правую и левуючасти тела можно и без выхода за пределыэтого пространства. При стандартномшкольном понимании формы окружающегонас трёхмерного пространства действительноникаким перемещением в этом пространственевозможно превратить кисть правойруки в кисть левой руки. Но это невозможноименно при стандартном школьномпонимании. Существуют, однако, и иныеформы пространства, допускающие такоеперемещение. Попытаемся разъяснить,как такое может быть.

Каксправедливо замечает Уэллс, вырезанныйиз бумаги силуэт правой ладони невозможнопревратить в силуэт левой ладони,ограничиваясь перемещением по плоскойповерхности стола; чтобы это сделать,надо поднять силуэт над столом, то естьвыйти в третье измерение, перевернутьи снова положить на стол. Существует,однако, такая поверхность, перемещениемпо которой правое превращается в левое.Два немецких математика, Иоганн БенедиктЛистинг и Август Фердинанд Мёбиус,независимо друг от друга открыли её в1858 году. По имени одного из них поверхностьполучила название лист Мёбиуса .

Изображениелиста Мёбиуса можно встретить на обложкахматематических изданий и значкахматематических сообществ (в частности- на значке мехмата Московскогоуниверситета). Рекомендуем любезномучитателю самому изготовить эту знаменитуюповерхность. Сделать это просто. Есливзять бумажную ленту и склеить её торцы,то полученная поверхность будет боковойповерхностью цилиндра. Если же передсклеиванием ленту крутануть на 180градусов, как раз и получится листМёбиуса. Во избежание недоразуменийповторим сказанное на языке математики.Надо взять прямоугольник ABCD, у которогосторона AB параллельна стороне CD, асторона AD параллельна стороне BC, исклеить друг с другом стороны AD и BC(“торцы”). Склейку можно производитьразличными способами. Если сделать этобез перекрутки, точка A склеится с точкойB, а D - с C, и получится боковая поверхностьцилиндра. Если же A склеить с C, а D с B,получим лист Мёбиуса. Случается, что,подпоясавшись и застегнув ремень, выобнаруживаете, что ремень перекрутился;такой перекрученный и застёгнутыйремень может служить примером листаМёбиуса3.

ЛистМёбиуса обладает рядом замечательныхсвойств. Так, он имеет всего лишь однусторону. Чтобы убедиться в этом, проделаемтакой мысленный эксперимент. Представимсебе сделанный из прочного материалаи расположенный в невесомости листМёбиуса, поставим на него человека ипопросим этого человека прогуляться.Можно выбрать такой маршрут, что вкакой-то момент прогулки человек окажетсяв положении антипода по отношению ктому положению, какое он имел в исходныймомент. Ясно, что ни для боковой поверхностицилиндра, ни для плоскости, ни для сферытакая прогулка невозможна. Лист бумагиможно закрасить с одной стороны в чёрныйцвет, оставив другую его сторонунезакрашенной. Точно так же и поверхностьцилиндра, и сферу можно выкрасить содной стороны, оставив другую незакрашенной.Поступить так с листом Мёбиуса неудастся. И плоскость, и поверхностьцилиндра, и сфера суть поверхностидвусторонние . Лист же Мёбиусаявляется односторонней поверхностью.

Другоесвойство листа Мёбиуса особенно важнодля целей нашего изложения. Оно состоитв так называемой неориентируемости . Лист Мёбиуса, как и всякая поверхность,не имеет толщины. Если на листе изображёнсилуэт ладони, то невозможно сказать,правая она или левая, - это зависит оттого, с какой стороны посмотреть.(Читатель да не смутится употреблениемздесь слова “сторона”: лист Мёбиуса вцелом односторонен, но тот малый егоучасток, на котором изображена ладонь,двусторонен, и гуляющий по этому участкуне может стать своим антиподом.) Еслирядом изображены две ладони, то можносказать, одинаковы ли они или же однаесть зеркальное отражение другой. Таквот, можно совершить такое передвижениесилуэта ладони по листу Мёбиуса, прикотором этот силуэт вернётся на прежнееместо зеркально отражённым, а возможностьтакого передвижения и означаетнеориентируемость. Каждый может проверитьналичие указанной возможности; длянаглядности полезно представлять себелист Мёбиуса изготовленным изпромокательной бумаги, так что любойрисунок, нанесённый чернилами, проступаетнасквозь. Снова прибегнем к методуаналогии и перенесёмся из двумерногомира в трёхмерный. Очень трудно представитьсебе трёхмерную геометрическую фигуру,которая была бы неориентируемой, тоесть такой, внутри которой возможнатраектория, приводящая к зеркальномуотражению. В нашем обычном трёхмерномпространстве такие фигуры не умещаются.Те из них, которые компактны и не имеюткрая, не умещаются даже в “обычном”(то есть евклидовом) четырёхмерномпространстве - подобно тому, какнеориентируемые компактные поверхностибез края не умещаются в трёхмерномпространстве (умещающийся в трёхмерномпространстве лист Мёбиуса имеет край).Однако уже не вызывает протестапредположение о существовании такихфигур в высших измерениях - ведь идвумерный лист Мёбиуса, не умещаясь наплоскости, требует для своего размещениятрёхмерного пространства. И действительно,все неориентируемые трёхмерные телахорошо себя чувствуют в пятимерномевклидовом пространстве.

Итак,неориентируемая поверхность - этоповерхность, перемещая по которой силуэтправой ладони можно (без выхода запределы поверхности!) превратить его всилуэт левой ладони. Лист Мёбиуса - самаяизвестная и самая простая из неориентируемыхповерхностей. Из других наиболее известнатак называемая бутылка Клейна, названная по имени знаменитого немецкогоматематика Феликса Клейна, запустившегоеё в математический оборот в 1874 году.Представим себе бутылку с очень длинными очень гибким горлышком. Толщинойматериала, из которого изготовленабутылка, мы пренебрегаем, так что бутылкувоспринимаем как двумерную фигуру, тоесть как поверхность. Можно ли изогнутьгорлышко так, чтобы дотронуться им додна бутылки? Разумеется, можно;прикосновение при этом произойдёт снаружной стороны дна. Коснуться жегорлышком дна изнутри бутылки невозможно,для этого горлышку пришлось бы пройтисквозь стенку. Но вот если бы это удалось,как раз и получилась бы бутылка Клейна.

Такзачем же говорить о такой поверхности,которой нет и не может быть, возмутитсячитатель. А дело в том, что такаяповерхность есть, только “живёт” онав четырёхмерном пространстве. Чтобыпонять, как можно изготовить бутылкуКлейна при помощи четвёртого измерения,следует вновь обратиться к флатландскойаналогии. Обычная бутылка есть двумернаяповерхность в трёхмерном пространстве.Что является её аналогом на плоскости?Тень бутылки? Нет, аналог должен бытьна одно измерение меньше окружающегопространства, то есть в данном случаеодномерным. Обведём карандашом контуртени, сделав в этом обводе перерыв наместе отверстия горлышка. Полученнаялиния и является искомым одномерныманалогом двумерной бутылки. Представимсебе эту линию в виде тонкой и гибкойпроволоки. У этой проволочной фигурыможно выделить дно, горлышко и двестенки. Можно ли, не выходя за пределыплоскости, изогнуть горлышко так, чтобыкоснуться им дна? Разумеется, можно, нотолько с наружной стороны; коснуться свнутренней стороны (то есть со сторонытени) невозможно, для этого пришлось быпересечь одну из стенок. Однако можнокоснуться и с внутренней стороны, еслиразрешить выход за пределы плоскости:в том месте, где проволочное горлышкохочет пересечь проволочную стенку, надоприподнять горлышко над плоскостью,провести его над стенкой наподобиемоста, а затем снова опустить на ту жеплоскость - но уже внутри бутылки. Идотянуть горлышко до дна. А теперь,напрягая воображение и прибегая каналогии, можно постараться представитьсебе изгибание горлышка двумернойбутылки в четвёртом измерении - споследующим касанием дна изнутри.

Иевклидово пространство средней школы,и трёхмерная сфера ориентируемы. В нихотсутствуют траектории, приводящие кзеркальному отражению. Но теоретическиепредставления о возможной геометрическойструктуре Вселенной не исключают того,что она неориентируема. А тогдапутешествие, приводящее к зеркальномуотражению путешественника, может бытьосуществлено и без выхода из нашеготрёхмерного мира. Таким образом, невполне прав был поэт, сказавший:

Какаятяжкая обида

Существоватьи твёрдо знать,

Что изпустых пространств Евклида

Намникуда не убежать.

И намс тобою неужели

Идти вгрядущие года -

Как вбесконечность параллели,

Непересекшись никогда.

1Благодарю В. И. Беликова, подсказавшегоэто свидетельство.

2 В8-томнике В. А. Каверина (1980) фамилияперсонажа Ногин. (Примеч. ред.)

3 Этотмногим знакомый пример листа Мёбиусаавтор узнал от Г. Б. Шабата.

www.e-puzzle.ru

http://www.e-puzzle.ru

Спасибо, что скачали книгу в бесплатной электронной библиотеке Royallib.ru

Оставить отзыв о книге

Все книги автора