Глава8. Параллельные прямые в мифологии, вреальности и в математике

То, чтообщественное сознание отчасти мифологично,давно перестало быть новостью. Всезнают, что во время Второй мировой войны,в период германской оккупации Дании,датский король надел жёлтую звезду. Насамом деле этого не было. Всем известныслова Ленина, что искусство должно бытьпонятно массам, и сетования Пушкина нато, что он родился в России с умом италантом. На самом деле Ленин (в беседес Кларой Цеткин) говорил не “понятномассам”, а “понято массами”, а Пушкин(в письме к жене) писал не “с умом”, а“с душою”. Замена понятности нанеобходимость понимания и ума на душув корне меняет смысл привычныхформулировок. Если искажение слов Ленинаможно списать на неправильный переводс немецкого (а подлинник текста Цеткинбыл доступен в России единицам), тослучай с Пушкиным требует более глубокогоанализа. Объяснение состоит здесь,по-видимому, в том, что наше сознаниеготово допустить неуместность в Россииума (которым, как известно, Россию непонять), но никак не души (это в России-то,этом заповеднике духовности и душевности!).Сила предубеждённости в этом вопросепоистине замечательна: ведь тиражизданий писем Пушкина исчисляетсясотнями тысяч! Тем не менее ошибку вцитате делают даже филологи весьмаизвестные. Вот ещё распространённыймиф - формула Обещаю говорить правду,только правду и ничего, кроме правды , якобы применяемая в американскомсудопроизводстве (формула довольностранная, поскольку смысл оборотов“только правду” и “ничего, кромеправды” один и тот же). На самом деле вАмерике говорят по-другому: “Обещаюговорить правду, всю правду и ничего,кроме правды, и да поможет мне Бог”(Promise to tell the truth, the whole truth, and nothing but thetruth, so help me God).

Математикаможет чувствовать себя польщённой тем,что к числу деталей, в которых мифологическаякартина мира отличается от картиныреальной, принадлежат и некоторыематематические сюжеты. Например,большинство убеждено, что в математикевсе понятия определяются и все утверждениядоказываются. Но ведь каждое понятиеопределяется через другие понятия, акаждое утверждение доказывается,опираясь на другие утверждения.Вспоминается риторический вопрос г-жиПростаковой: “Портной учился у другого,другой у третьего, да первой портной укого же учился?” Автору этих строкприходилось слышать и такое определениеплощади поверхности шара: “Площадьповерхности шара есть предел площадейповерхностей правильных многогранников,вписанных в этот шар, - при неограниченномвозрастании числа граней этихмногогранников”. Подобное представлениео площади поверхности явно возникло поаналогии с тем фактом, что длина окружностидействительно есть предел периметровправильных многоугольников, вписанныхв эту окружность, - при неограниченномвозрастании числа сторон этихмногоугольников. Но всё дело в том, чтов правильном многоугольнике может бытькакое угодно количество сторон, вправильном же многограннике количествомграней может служить лишь одно изследующих пяти чисел: четыре (у тетраэдра),шесть (у куба, он же гексаэдр), восемь (уоктаэдра), двенадцать (у додекаэдра) илидвадцать (у икосаэдра) - так что ни окаком неограниченном возрастании числаграней не может быть речи.

Самоеже замечательное явление связано сотражением в мифологическом сознанииучения о параллельных прямых.

Чтотакое параллельные прямые, знаютпрактически все. Практически все слышалии об аксиоме о параллельных прямых -ведь её проходят в школе. Никто из такназываемых “людей с улицы”, которых яспрашивал, в чём состоит аксиома опараллельных, не отговорился незнанием.Абсолютное большинство из опрошенныхотвечали так: аксиома о параллельныхсостоит в том, что параллельные прямыене пересекаются. Рекомендуем читателюсамому произвести опрос и убедиться,что именно такая формулировка аксиомыо параллельных входит в массовоесознание.

Получивуказанный выше ответ на вопрос осодержании аксиомы о параллельных,следует немедленно задать следующийвопрос: а что такое параллельные прямые?Скорее всего, вам ответят, что параллельныминазываются такие прямые, которые непересекаются. (Если даже клаузула “илежат в одной плоскости” не будетпроизнесена, этому не следует придаватьзначения: её необходимость понимаютвсе.) Многие сразу же осознают, что тутчто-то не так: ведь никакая аксиома неможет заключаться в том, что непересекающиесяпрямые не пересекаются. Многих из тех,кто не поймёт это сразу сам, удастся вэтом убедить. Останется незначительноеменьшинство, считающее аксиому онепересекаемости непересекающихсяпрямых вполне возможной. С представителямиэтого меньшинства договориться трудно- разговор происходит на разных языках.(Ведь параллельные прямые и в самом делене пересекаются. А возможна ли такаяаксиома: “Всякий зелёный предметявляется зелёным”? - спрашивал я. Конечновозможна, отвечали мне представителименьшинства; вот если сказать “Всякийзелёный предмет является красным”, тотакая аксиома невозможна.)

Замечательно,что присутствие в общественном сознанииложной формулировки аксиомы о параллельных(“параллельные прямые не пересекаются”)имеет интернациональный характер. Вэтом несколько неожиданном обстоятельствеавтор этих строк убедился следующимобразом. В марте 2006 года на симпозиумев Пекине, посвящённом проблемамматематического образования, я рассказало своих наблюдениях относительно аксиомыо параллельных - наблюдениях, полученныхна русскоязычном материале. Средиприсутствовавших был американскийпрофессор математики Веллеман (Daniel J.Velleman) из довольно известного АмхерстКолледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс.В тот же день он спросил свою жену Шелли(Shelley L. Velleman), бакалавра и магистранескольких гуманитарных наук, приехавшуювместе с ним в Пекин, в чём состоитаксиома о параллельных прямых. И получилответ: “В том, что параллельные прямыене пересекаются”. Тогда он спросил, ачто такое параллельные прямые. Ответомему был хохот: супруга профессора сразуже поняла бессмысленность своего ответа.Итак, хотя бы в этой детали русская иамериканская мифологические картинымира оказались одинаковы.

Но сюжетс параллельными прямыми на этом незаканчивается. Респондента, осознавшегоабсурдность своего ответа, можноспросить, в чём же всё-таки состоитаксиома о параллельных. На этом этапевы скорее всего получите такой ответ:“Через точку, не лежащую на заданнойпрямой, можно провести прямую, параллельнуюэтой заданной прямой”. Это уже значительнолучше, потому что такой ответ всего лишьневерен, но уже не абсурден. Неверен жеответ потому, что представляет собоюне аксиому, а теорему. (Теорема этадоказывается чрезвычайно просто: източки надо сперва опустить перпендикулярна заданную прямую, а затем из той жеточки восставить перпендикуляр копущенному перпендикуляру; тогдазаданная прямая и восставленныйперпендикуляр будут перпендикулярнык одной и той же прямой - а именно копущенному перпендикуляру - и потомупараллельны.) Подлинный же смысл аксиомыо параллельных не разрешительный, азапретительный: она утверждает не то,что нечто сделать можно, а то, что чего-тосделать нельзя, что чего-то не существует.Вот её правильная формулировка: Черезточку, не лежащую на заданной прямой,нельзя провести более одной прямой,параллельной этой заданной прямой .(Проницательный читатель усмотрит здесьаналогию с восемью из первых десятипоправок к американской конституции,известных в своей совокупности подназванием “Билль о правах”. В этихвосьми поправках свободы формулируютсяв терминах запретов: “Конгресс недолжен” в поправке I, “ни один солдатне должен” в поправке II и т. п.) Причинаискаженного восприятия аксиомы опараллельных, на наш взгляд, заключаетсяв следующем. В средней школе, для простоты,обычно внушают такую формулировку:…можно провести одну и только однупрямую …, не заостряя внимания натом, что оборот можно провести выражает здесь теорему, а можно провеститолько одну - аксиому. В результатев сознании остаётся более простая идеяо возможности, а более сложная (и болееглубокая) идея о единственности теряется.

Учениео параллельных - основа геометрииЛобачевского. Чем эта геометрия отличаетсяот обычной, евклидовой, будет сказанонесколькими абзацами ниже. А покаконстатируем, что Лобачевский, возможно,является единственным российскимматематиком, присутствующим в общественномсознании (а если брать всех математиков,а не только российских, то, скорее всего,один из двух; другой - Пифагор). Его местозакреплено в поэзии: “Пусть Лобачевскогокривые / Украсят города / Дугою ‹…›”,“И пусть пространство Лобачевского /Летит с знамён ночного Невского”, -призывает Хлебников в поэме “Ладомир”.Бродский, в стихотворении “Конецпрекрасной эпохи”, не призывает, ноконстатирует:

Жить вэпоху свершений, имея возвышенный нрав,

ксожалению, трудно. Красавице платьезадрав,

видишьто, что искал, а не новые дивные дивы.

И не точтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут,

нораздвинутый мир должен где-то сужаться,и тут -

тутконец перспективы.

Еслиспросить “человека с улицы”, в чёмсостоит вклад Лобачевского в науку, вподавляющем большинстве случаев ответбудет таким: “Лобачевский доказал, чтопараллельные прямые пересекаются” (вболее редком и изысканном варианте:“Лобачевский открыл, что параллельныепрямые могут и пересечься”). Тогда надонемедленно задать второй вопрос: “Ачто такое параллельные прямые?” - иполучить ответ “Параллельные - этотакие прямые, которые лежат в однойплоскости и не пересекаются”. Послечего можно пытаться (с успехом или безоного) убедить своего собеседника внесовместимости между собой двух егоответов. Намёк на схождение параллельныхв точку содержится уже в приведённойцитате из Бродского о сужении мира дофинального “конца перспективы”. Болеераннее свидетельство1 встречаем в романеВ. А. Каверина “Скандалист, или Вечерана Васильевском острове”. Открываемизданный в 1963 году первый том шеститомногоСобрания сочинений на страницах 447 и448. Герой романа Нагин2 просматриваетчитанную ранее “книгу по логике”, ивот “он внезапно наткнулся навопросительный знак, который былпоставлен на полях книги его рукою. Однастраница осталась непонятой при первомчтении курса. Вопросительный знак стоялнад теорией Лобачевского о скрещениипараллельных линий в пространстве”.Нагин собирается писать рассказ на этутему: “Он кусал себе ногти. „Параллели,параллели”, написал он здесь и там налисте ‹…›. „Нужно заставить ихвстретиться”, - начертал он крупно ‹…›”.Наконец, прямое указание находим вфольклоре (а ведь буквальное значениеслова folklore - ‘народная мудрость’):

ОднаждыЛобачевский думал, кутаясь в пальто:

Как мирпрямолинеен, видно, что-то здесь не то!

И онвгляделся пристальней в безоблачнуювысь,

И тамвсе параллельные его пересеклись.

(СообщеноН. М. Якубовой)

Имеютсяи более современные свидетельства.Каждое утро по будням, между 9 и 11 часами,на “Эхе Москвы” идёт интерактивнаяпрограмма “Разворот”. 15 февраля 2006года в рамках этой программы слушателямпредлагалось выразить своё отношениек идее провести в Москве парад геев.Ведущий Алексей Венедиктов, беседуя сочередным слушателем, призывал его ктолерантности и к признанию правакаждого иметь свою собственную точкузрения. Происходил такой диалог:

“Венедиктов.Вот вы скажите, параллельные прямыепересекаются?

Слушатель.Нет.

Венедиктов.А вот у Лобачевского пересекаются, тамдругая система отсчёта”.

Правда,как известно, у каждого своя, но истинаодна. Истина состоит в том, что параллельныепрямые не пересекаются даже у Лобачевского.

Природамифологического представления оботкрытии Лобачевского понятна: всезнают, что в его геометрии происходитчто-то необычное с параллельными прямыми;а что может быть необычнее их пересечения!Поражает всё же степень распространённостиэтого представления. Впрочем, апологетматематики вправе испытать и чувствозаконного удовлетворения: хоть какие-тосерьёзные математические представления,пусть даже ложные, в массовом сознанииприсутствуют!

Не винтересах правды, а в интересах истинысообщим, что же происходит в геометрииЛобачевского. Отличие геометрииЛобачевского от привычной, известнойиз школы евклидовой геометрии в следующем.В евклидовой геометрии через точкупроходит только одна прямая, параллельнаязаранее указанной прямой, а в геометрииЛобачевского - много таких прямых. Ваксиоме о параллельных, сформулированнойвыше, надо заменить слово “нельзя” наслово “можно”, и аксиома о параллельныхв версии Евклида превратится в аксиомуо параллельных в версии Лобачевского:Через точку, не лежащую на заданнойпрямой, можно провести более однойпрямой, параллельной этой заданнойпрямой .

Особоеположение аксиомы о параллельных вызванотем, что она не столь очевидна, как другиеаксиомы геометрии. Возьмём, например,аксиому о том, что через две любыеразличные точки проходит одна и толькоодна прямая. Её можно проверитьэкспериментально. Надо выбрать плоскийучасток, вбить два колышка и туго натянутьмежду ними нить - вот вам наглядноеподтверждение наличия прямой, проходящейчерез две точки. Если же мы возьмёмдругую натянутую нить, соединяющую теже колышки, то обе нити сольются в однулинию - на глаз, конечно, но вся нашапроверка и идёт “на глаз”; такподтверждается единственность прямой.А вот убедиться столь же просто, чтопроходящая через точку параллельнаявсегда только одна, невозможно. Мысленнопредставим себе, что мы провелипараллельную и, кроме того, через ту жеточку какую-то другую прямую под оченьмаленьким углом к этой параллельной.По евклидовой аксиоме эта другая прямаяобязана пересечь ту исходную прямую, ккоторой и была проведена наша параллельная.Но где она, эта точка пересечения? Онаведь может оказаться не только вневыбранного участка, доступного нашемуобозрению, но и астрономически далеко,вне нашей Галактики. И может не оказатьсяиного способа убедиться в том, что такаяточка существует, как просто поверитьв евклидову аксиому о параллельных. Нотакой, основанный на чистой вере, способподтверждения того факта (а лучше сказать- того предположения, той гипотезы), чтоаксиома о параллельных выполняется вреальном физическом пространстве, былне по душе математикам.

Поэтомув течение долгого времени предпринималисьпопытки доказать содержащееся в аксиомео параллельных утверждение, исходя изостальных аксиом, и тем самым как быпонизить статус этого утверждения,переведя его из аксиом в теоремы. Однаковсе эти попытки проваливались. Какправило, в каждое такое доказательствонезаметно проскальзывало какое-нибудьгеометрическое утверждение, не вызывающее,казалось бы, никаких сомнений, но насамом деле равносильное аксиоме опараллельных. Например, в “доказательстве”знаменитого французского математикаXVIII - XIX веков Лежандра использовалосьтакое вроде бы невинное предложение:через любую точку внутри угла можнопровести прямую, пересекающую обестороны угла. Оказалось, что этопредложение равносильно аксиоме опараллельных: оно не только опираетсяна эту аксиому, но и из него, в своюочередь, можно вывести самоё аксиому.

C большимтрудом в сознание математиков проникалоубеждение, что скорее всего сформулированноев аксиоме о параллельных утверждениевообще нельзя доказать. Осознать этобыло трудно ещё и потому, что вплоть досамого конца XIX века какой-либо чёткойсистемы аксиом геометрии вообще несуществовало. Для аксиомы о параллельныхрешающим оказалось третье десятилетиеXIX века. В этот период два великих геометра- российский математик Николай ИвановичЛобачевский и венгерский математикЯнош Бойаи (по-русски часто пишется“Больяй”) - совершенно независимо другот друга построили геометрическуютеорию, основанную на отрицании аксиомыо параллельных. Эту теорию называютгеометрией Лобачевского - Бойаи или же просто геометрией Лобачевского (предполагаю, что в Венгрии онаназывается геометрия Бойаи ). Первыепубликации по геометрии Лобачевскогопринадлежат её авторам: Лобачевскому- в 1829 году, Бойаи - в 1832 году. Ихпредшественником можно считать немецкогоюриста Швейкарта, который пришёл к мыслио возможности такой геометрии в 1818 году,но ничего не публиковал. “Корольматематиков” великий Гаусс, о которомуже было сказано в главе 5 о квадратурекруга, пришёл к этой мысли ещё раньше,но тоже ничего не публиковал, справедливополагая, что научная общественностьещё не готова воспринять столь смелыемысли. И действительно, геометрияЛобачевского не получила признаниясовременников (за исключением Гаусса,который её оценил и даже выучил русскийязык, чтобы читать сочинения Лобачевскогов подлиннике). Гениальность Лобачевскогои Бойаи была признана только после ихсмерти (случившейся соответственно в1856 и 1860 годах). Когда же, наконец,возможность неевклидовой геометриибыла осознана, это произвело переворотне только в математике, но и в философии.

Вгеометрии Лобачевского много непривычногодля нас, воспитанных на евклидовойгеометрии. Например: сумма угловтреугольника своя у каждого треугольникаи притом всегда меньше 180 градусов; еслитреугольники подобны, то они равны; небывает треугольников сколь угоднобольшой площади (это значит, что площадьтреугольника не может быть большенекоторого числа, зависящего, разумеется,от выбора единицы площади).

Кажетсяестественным вопрос, какая же из аксиомвсё же истинна - аксиома Евклида илиаксиома Лобачевского. Давайте разберёмся.Здесь мы вынуждены обратиться к проблемамфилософским. Прежде всего надо понять,что значит “истинна”. Казалось бы,ясно: истинна - значит, соответствуетреальному положению вещей. Как там, вреальном мире, - одна параллельная прямаяили много? А никак, потому что в реальноммире вообще нет прямых - как нет и другихобъектов геометрии. Геометрическихшаров, например, в природе не бывает, абывают лишь предметы, приближающиесяпо форме к геометрическому шару; приэтом арбуз в меньшей степени шар, чемволейбольный мяч, а мяч - в меньшейстепени шар, чем биллиардный шар илиподшипник. С прямыми дело обстоит ещёсложнее: ведь прямая бесконечна, а всепримеры, которые мы можем предъявить,будь то линия, начерченная на песке илибумаге, или натянутая нить, или границамежду стеной и потолком - все онидемонстрируют нам (опять-таки, разумеется,приблизительно) лишь ограниченные,конечные участки прямых линий, то естьто, что на языке современной геометрииназывается отрезками. Да даже и отрезковв точном геометрическом смысле в природене существует: самая тонкая нить имееттолщину, самая отшлифованная поверхностьлишь приближается к идеальной форме, апод электронным микроскопом выглядиткак рябь. Луч света - и тот искривляетсяв реальном пространстве. Для возникновенияже представления о бесконечной прямойодного только наглядного способанедостаточно - требуется ещё и воображение.От зарождения геометрии прошлитысячелетия, пока люди осознали, что мыне можем непосредственно наблюдатьточки, прямые, отрезки, плоскости, углы,шары и прочие геометрические объекты,и потому предметом геометрии служит нереальный мир, а мир воображаемый,населённый этими идеальными геометрическимиобъектами и который всего лишь похожна мир реальный (по терминологии некоторыхфилософских школ, является отражением реального мира).

“Поверхности,линии, точки, как их определяет Геометрия,существуют только в нашем воображении”,- писал в 1835 году Лобачевский во вступлениик своему сочинению “Новые началагеометрии с полной теорией параллельных”.Аксиомы геометрии как раз и уточняютсвойства этих существующих в нашемвоображении понятий. Значит ли это, чтомы можем написать какие угодно аксиомы?Нет, если мы хотим, чтобы геометрическиепонятия отражали наши представления ореальном физическом пространстве.Потому что хотя точки, прямые, поверхностине существуют реально, некие физическиеобъекты и явления, приводящие к этимпонятиям, безусловно существуют (есливообще признавать реальное существованиеокружающего нас мира). Поэтому вопроснадо ставить так: какая из аксиом, Евклидаили Лобачевского, точнее описывает тепредставления о структуре реальногофизического пространства, которыеотражаются в геометрических образах?Строгий ответ на это вопрос таков:неизвестно. Однако можно с уверенностьюутверждать, что в доступных нашемунаблюдению областях пространстваевклидова геометрия соблюдается свысокой степенью точности. Так что когдамы говорим о неизвестности, мы имеем ввиду очень большие области пространства.Дело в том, что в геометрии Лобачевскогоотличие суммы углов треугольника от180 градусов тем больше, чем длиннеестороны этого треугольника; поэтомучем больше треугольник, тем большенадежды заметить это отличие - и темсамым подтвердить на практике аксиомуЛобачевского. Отсюда возникает мысльизмерять треугольники с вершинами взвёздах (упомянутый выше Швейкартупотреблял для геометрии, впоследствиипредложенной Лобачевским, названиезвёздная геометрия) . Такимиизмерениями занимался сам Лобачевский(“И он вгляделся пристальней в безоблачнуювысь…”), но точность измерительныхприборов оказалась недостаточной, чтобыуловить отклонение суммы угловтреугольника от суммы двух прямых углов,даже если таковое отклонение и существует.

Чтобыпояснить, как это может быть, что дляменьших участков пространства действуетодна геометрия, а для ббольших другая,воспользуемся следующей аналогией. Присоставлении плана местности нет нуждыучитывать шарообразность Земли - именнопотому, что участок, план которогоснимается, небольшой. Поэтому длясравнительно небольших участков разумноисходить из того, что Земля плоская -именно поэтому это заблуждение такдолго держалось. При составлении жекарты России необходимо учитыватьшарообразность Земли, а при тонкихрасчётах - то, что Земля есть эллипсоид(а точнее - геоид). При ружейной стрельбеможно проследить на карте местноститраекторию пули, приложив линейку кдвум точкам: к положению стрелка и кцели. Но маршрут самолёта, совершающегодальний перелёт по кратчайшей линии,на плоской карте выглядит как дуга.Аналогично, евклидова геометрия хорошоработает “в малом”, то есть в доступныхнам участках пространства. Мы не знаем,что происходит “в очень большом”. Врассказе Уэллса “История Платтнера”его герой Готфрид Платтнер претерпеваетнекое фантастическое путешествие, послечего возвращается зеркально перевёрнутым.Уэллс объясняет это явление выходом вдругой мир, в четвёртое измерение.Теоретические представления о возможнойгеометрической структуре Вселенной неисключают того, что путешествие,приводящее к зеркальному отражениюпутешественника, может быть осуществленои без выхода из нашего трёхмерного мира.Мы вернёмся к этому в следующей главенашего очерка.

Но чтоже представляют из себя идеальныегеометрические объекты: точки, прямые,углы, плоскости и тому подобные, -отражающие наши представления офизической реальности? И в каком смыслеони подчиняются аксиомам? Проще всегообъяснить это с помощью хотя иискусственной, но поучительной аналогии.Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Длякаждых двух куздр существует бокр,которого они будлают.

(2) Дверазличные куздры не могут будлать вместеболее одного бокра.

(3)Существуют три куздры, для которых неттакого бокра, которого все они будлают.

(4)Каждого бокра будлают по меньшей мередве куздры.

Ни чтотакое куздры, ни что такое бокры, ни чтотакое будлать - всё это оставляетсянеразъяснённым. Оказывается, однако,что разъяснения и не требуются дляполучения из этих утверждений определённыхзаключений - то есть таких утверждений,которые непременно являются истиннымипри условии истинности всех утвержденийнашего исходного квартета. Убедимся,например, что (5) два различных бокране могут одновременно быть будлаемыболее чем одной куздрой. В самом деле,если бы таких куздр было две, то онисовместно будлали бы двух наших бокров,что запрещено утверждением (2). Длясобственного развлечения читательможет доказать, например, такой факт:(6) для каждых двух куздр найдётся такаятретья куздра, что нет бокра, которогобудлали бы все эти три куздры .

Итак,что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты(в данном случае - куздры и бокры) иотношения между ними (в данном случае- отношение будлания). Относительно этихобъектов и отношений нам не известноничего, кроме некоторых их свойств,сформулированных в заявленныхутверждениях, в данном случае - вутверждениях (1) - (4). Эти заявленныеутверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае - аксиомы куздроведения).Они используются для того, чтобы, принимаяих в качестве истин, выводить из нихтеоремы, то есть дальнейшиеутверждения о наших объектах и отношениях(одну теорему куздроведения мы доказали,другую предложили доказать читателю).Так строится любая аксиоматическаятеория, в частности - геометрия. Ограничимсядля простоты планиметрией, то естьгеометрией плоскости, без выхода втрёхмерное пространство. Основныеобъекты планиметрии суть точки и прямые.Основных отношений четыре:

1.Отношение инцидентности междуточками и прямыми: точка и прямая могутбыть или не быть инцидентны другдругу. В школьной геометрии употребляетсяболее приземлённая терминология: когдаточка и прямая инцидентны, говорят“точка лежит на прямой” или же“прямая проходит через точку”.

2.Отношение ‘между’, связывающее тройкиточек: из трёх точек одна может лежатьили не лежать между двумя другими.

3-4.Отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов: два отрезка или два угла могут быть илине быть конгруэнтны друг другу.Когда-то в наших школах не боялись слова“конгруэнтны”; сейчас, к сожалению,там велено заменить это слово на слово“равны”. Почему “к сожалению”? Апотому, что ведь имеется в виду отношениене между длинами отрезков или междувеличинами углов (и те, и другиедействительно равны, если соответствующиеотрезки или углы конгруэнтны), а междуотрезками и между углами как геометрическимифигурами. А каждая сущность, геометрическаяфигура в частности, может быть равнатолько самой себе.

Аксиоматическоепостроение геометрии не предполагаетразъяснения того, чтбо такое точки,прямые и названные отношения. Вместоэтого формулируются аксиомы, в которыхуказывается, каким законам подчиняютсяточки, прямые, инцидентность, отношение‘между’, конгруэнтность отрезков иконгруэнтность углов. Из этих аксиом ивыводятся теоремы геометрии. Говоряформально, аксиомы могут быть какимиугодно, лишь бы они не противоречилидруг другу. Но ежели мы желаем, чтобытеория описывала реальность, то, какуже отмечалось, и аксиомы, связывающиеидеальные объекты и отношения теории,должны отражать свойства тех сущностейреального, физического мира, отражениемкаковых и служат указанные идеальныеобъекты и отношения, положенные в основутеории. В частности, отношениеконгруэнтности геометрических фигурдолжно отражать возможность однойфигуры быть совмещённой с другойпосредством перемещения.

Напримере куздр, бокров и будлания мыпопытались вкратце изложить сутьаксиоматического метода. Несколькозаключительных замечаний относительноэтого примера. Заменим в вышеприведённыхаксиомах (1) - (4) слово “куздра” на слово“точка”, слово “бокр” на слово “прямая”,слово “будлать” на выражение “лежатьна”. Аксиома (4) превратится тогда втакое утверждение (!4): На каждой прямойлежат по меньшей мере две точки .Аналогично, аксиомы (1), (2) и (3) превратятсяв утверждения (!1), (!2) и (!3), которые мыпросим любезного читателя образоватьсамостоятельно. Утверждения (!1), (!2), (!3)и (!4) составляют в своей совокупностигруппу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точкисвязаны с прямыми. Читатель может теперьперевести аксиому о параллельных наязык куздр: Для куздры, не будлающейзаданного бокра, существует не болееодного бокра… (благоволите продолжить).И последнее - странные эти слова мызаимствовали у выдающегося отечественногоязыковеда Льва Владимировича Щербы,который в двадцатых годах XX века училстудентов извлекать максимумлингвистической информации из фразы:Глокая куздра штеко будланула бокраи курдячит бокрёнка .