Глава7. Парадокс Галилея, эффект Кортасара ипонятие количества

В детствеменя иногда посещал следующий кошмар.Мне представлялось большое число стульев(наглядно - в виде стульев в партерелетнего театра). И вот их начинаютпересчитывать. Получают некотороечисло. Затем пересчитывают в другомпорядке и получают другое число. Кошмарзаключался в том, что при обоих подсчётахне было ошибки.

Тольков университете я узнал, что невозможностьописанного только что явления составляетпредмет особой, и притом не слишкомпросто доказываемой, теоремы математики.А потом я прочёл “Записи в блокноте”Хулио Кортасара. Там говорилось опроизведённой в 1946 или 1947 году операциипо учёту пассажиров на одной из линийметро Буэнос-Айреса: “‹…›Былоустановлено точное количество пассажиров,в течение недели ежедневно пользующихсяметро. ‹…› Учёт производился смаксимальной строгостью у каждого входаи выхода. ‹…› В среду результатыисследований были неожиданными: извошедших в метро 113 987 человек наповерхность вышли 113 983. Здравый смыслподсказывал, что в расчётах произошлаошибка, поэтому ответственные запроведение операции объехали все местаучёта, выискивая возможные упущения.‹…› Нет необходимости добавлять, чтоникто не обнаружил мнимой ошибки, из-закоторой предполагались (и одновременноисключались) четверо исчезнувшихпассажиров. В четверг все было в порядке:сто семь тысяч триста двадцать восемьжителей Буэнос-Айреса, как обычно,появились, готовые к временному погружениюв подземелье. В пятницу (теперь, послепринятых мер, считалось, что учёт ведетсябезошибочно) число людей, вышедших изметро, превышало на единицу числовошедших”.

Придальнейшем чтении я, к сожалению,обнаружил, что Кортасар предлагаетнекое рациональное объяснение изложенномуим парадоксу; вот тут очевидное отличиеКортасара от его старшего соотечественникаБорхеса (влияние коего Кортасар,несомненно, испытал): Борхес не стал быискать рационального оправдания. “Ксожалению” сказано потому, что поначалумне показалось, что здесь выраженаглубокая идея о возможности, хотя бы вфантазии, следующего эффекта: при оченьбольшом количестве предметов этоколичество не меняется при добавленииили убавлении сравнительно небольшогоих числа. И хотя, повторяю, приписываниеКортасару открытия и опубликованияэтого воображаемого эффекта оказалосьошибочным, я всё же буду называть егодля краткости эффектом Кортасара; тем более что такое название полностьюсоответствует так называемому принципуАрнольда, установленному нашимвыдающимся математиком ВладимиромИгоревичем Арнольдом: если какое-либоявление или утверждение носит чьё-либоимя, то это означает, что оно не имеетсвоим автором носителя этого имени.Предположение, что эффект Кортасараимеет отношение не только к воображению,но и к реальности, может показатьсябредом, но, как будет видно ниже,сформулированное в нём явлениедействительно имеет место, если оченьбольшое становится бесконечным.

Бесконечноевообще следует - в понятийном аспекте- трактовать как упрощённое представлениео конечном, но очень большом. А бываетли вообще бесконечное количествопредметов? Бывает ли оно в физическойреальности - этого никто не знает.Количество звёзд во Вселенной - конечнооно или бесконечно? Мнения расходятся,и проверить, кто прав, довольнозатруднительно. В реальности же идеальной- да, бывает. Например, бесконеченнатуральный ряд, то есть ряднатуральных чисел 1, 2, 3, 4,… Предупредимдля ясности, что в этой главе, вплоть доособого распоряжения, никаких другихчисел рассматриваться не будет, а потомунатуральные числа будут именоватьсяпросто числами .

Натуральныйряд представляет собой, пожалуй, наиболеепростой пример бесконечной совокупности,или, как говорят математики, бесконечногомножества . И уже в нём можно наблюдатьнекоторые парадоксальные явления, вчастности - нарушение древней философемы“Целое больше части”. На это обратилвнимание Галилей, описавший ситуациюс полной отчётливостью и наглядностью.В 1638 году вышла его книга “Беседы иматематические доказательства…”.Изложение, в духе тогдашнего времени,выглядело как запись бесед, которые втечение шести дней вели между собоювымышленные персонажи. В первый же деньбыла затронута тема бесконечности, втом числе применительно к натуральномуряду. Послушаем, что говорит один изучастников беседы, синьор Сальвиати:

“Сальвиати.‹…› Мне пришёл в голову пример, которыйя для большей ясности изложу в формевопросов, обращённых к синьору Симпличио,указавшему на затруднения. Я полагаю,что вы прекрасно знаете, какие числаявляются квадратами и какие нет.

Симпличио.Я прекрасно знаю, что квадратами являютсятакие числа, которые получаются отумножения какого-либо числа на самогосебя; таким образом числа четыре, девятьи т. д. суть квадраты, так как они получаютсяот умножения двух и соответственно трёхна самих себя.

Сальвиати.Великолепно. Вы знаете, конечно, и то,что как произведения чисел называютсяквадратами, так и образующие их, т. е.перемножаемые, числа носят названиесторон или корней; другие числа, неявляющиеся произведениями двух равныхмножителей, не суть квадраты. Теперь,если я скажу, что количество всех чиселвместе - квадратов и не квадратов -больше, нежели одних только квадратов,то такое утверждение будет правильным;не так ли?

Симпличио.Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати.Если я теперь спрошу вас, каково числоквадратов, то

можнопо справедливости ответить, что ихстолько же числом, сколько существуеткорней, так как каждый квадрат имеетсвой корень и каждый корень - свойквадрат; ни один квадрат не может иметьболее одного корня и ни один корень -более одного квадрата.

Симпличио.Совершенно верно.

Сальвиати.Но если я спрошу, далее, каково числокорней, то вы не станете отрицать, чтооно равно количеству всех чисел вообще,потому что нет ни одного числа, котороене могло бы быть корнем какого-либоквадрата; установив это, приходитсясказать, что число квадратов равняетсяобщему количеству всех чисел, так какименно таково количество корней, каковымиявляются все числа. А между тем ранеемы сказали, что общее количество всехчисел превышает число квадратов, таккак ббольшая часть их не являетсяквадратами”.

“Чтоже нужно сделать, чтобы найти выход изтакого положения?” - в растерянностиспрашивает еще один участник беседы,Сагредо. Возможны два выхода. Первыйсостоит в том, чтобы отказаться отсравнения бесконечных количеств по ихвеличине и признать, что в отношениидвух таких количеств не следует даже испрашивать, равны ли они, первое либольше второго, второе ли больше первого,- и то, и другое бесконечно, и этим всёсказано. Такой выход и предлагает Галилейустами Сальвиати. Но возможен и другойвыход. Можно предложить общую схемусравнения любых количеств по их величине.В случае конечных количеств эта схемане будет расходиться с нашими привычками.Для количеств бесконечных она тоже,если вдуматься, не будет им противоречить- хотя бы потому, что каких-либо привычекоперирования с бесконечностями у наснет. Именно этот второй выход и принятв математике. Забегая вперёд, укажем,что если к квадратам добавить сколькоугодно не-квадратов, то полученнаярасширенная совокупность чисел будетравна по количеству исходной совокупностиквадратов (эффект Кортасара). Можно, вчастности, добавить все не-квадраты иполучить тем самым совокупность всехчисел. Тем самым оказывается, чтоколичество всех чисел действительноравно количеству квадратов - хотяквадраты составляют только часть чисел.Это явление - равенство по количествусовокупности и её собственной части -для конечных совокупностей невозможно,для совокупностей же бесконечныхвозможно, и сама эта возможность можетслужить одним из определений бесконечности.

Толькочто изложенное свойство бесконечныхсовокупностей не столь трудно дляпонимания, как это может показаться. Исейчас мы попытаемся его объяснить.Сама логическая конструкция проста,изящна и поучительна. Мы надеемся, чточитатель согласится включить её в свойинтеллектуальный багаж, причём в качественосимой с собой ручной клади, а нетяжеловесного предмета, сдаваемого вбагажное отделение.

Дляначала перестанем избегать терминамножество, как это мы делали до сихпор, стыдливо заменяя его синонимом“совокупность”. Множество состоит изэлементов, которых не обязательно много.(Это в русском языке слова “множество”и “много” однокоренные, а вот английское“set” и французское “ensemble” не несут насебе вводящего в заблуждение оттенкамножественности.) Возможны множества,состоящие из одного только элемента, идаже пустое множество, вовсе неимеющее элементов. Зачем же рассматриватьтакие патологические образования, какпустое множество, спросит читатель. Имы ему ответим: это удобно. Удобно иметьправо говорить, например, о множествеслонов в зоопарке города N, не знаязаранее, есть ли в этом зоопарке хотябы один слон. Какое множество ни взять,среди его частей присутствует и пустоемножество: так, среди частей множествавсех слонов земного шара присутствуетне только множество слонов московскогозоопарка, но и множество слонов любогозоопарка, слонов не имеющего. Во избежаниенедоразумений заметим, что пустоемножество одно: пустое множество слонови пустое множество мух представляютсобою одно и то же множество. (Совершеннотак же, как стакан газированной водыбез вишневого сиропа не отличается отстакана газированной воды без апельсиновогосиропа; сравнение понятно для техчитателей старших поколений, которыеещё помнят торговлю газировкой на улицахсоветских городов.)

Учениео сравнении количеств элементов в любых,а не только конечных, множествах целикомпринадлежит великому немецкому математикуи философу Георгу Кантору (1843 - 1918). НазвавКантора немцем, мы всего лишь следовалиукоренившейся традиции. Не вполне ясно,как его следует называть. Его отецродился в Дании, мать - в России. Сам онтакже родился в России, а именно вСанкт-Петербурге; в этом городе он провелпервые одиннадцать лет своей жизни, окоторых вспоминал с ностальгией. Вот,скажем, Пьера Ферма, о котором говорилосьвыше, в главе 2, можно было, не испытываясомнений, назвать французом: он всегдажил во Франции, ей служил и говорилпо-французски; трудно представить, чтобыФерма ощущал себя кем-то иным, а нефранцузом. Кем ощущал себя Кантор -загадка. Его биографы указывают, чтохотя свою взрослую жизнь он и прожил вГермании, уютно ему там не было.

Выдающийсяроссийский математик Павел СергеевичАлександров (1896 - 1982) писал: “Думаю, чтово второй половине XIX века не существоваломатематика, оказавшего большее влияниена развитие математической науки, чемсоздатель абстрактной теории множествГеорг Кантор”.

Учениео бесконечном оказалось настолькотрудным, что привело его автора к тяжёлойнервной болезни. В 1884 году у Кантораначались приступы депрессии, а с 1897 годаон уже не публиковал научных работ. С1899 года Кантор становится пациентомнервных санаториев, а потом и клиник,проводя в них всё больше и больше времени.В одной из таких клиник он и скончался.Любезному читателю это не грозит,поскольку мы ограничимся началами.

ПостроенияКантора основаны на чрезвычайно простоймысли (которая, как и всякая гениальнаямысль, после своего осознания кажетсяочевидной): понятие количества являетсявторичным по отношению к понятиюравенства количеств. Не дболжно смущатьсятем, что в выражении “равенство количеств”слово “количество” уже присутствует:нас должна интересовать не лингвистическаяэтимология терминов, а логическаягенеалогия понятий. Для установленияравноколичественности двух множестввовсе не нужно пересчитывать их элементы,даже вообще можно не уметь считать. Дляпримера представим себе двух первобытныхлюдей, один из которых располагаетстадом коз, а другой - стадом овец. Онихотят обменяться своими стадами, но приусловии, что стада равноколичественны.Счёта они не знают. Но это им и не нужно.Нужно просто связать попарно овец икоз, так чтобы каждая коза была связанаровно с одной овцой, а каждая овца - ровнос одной козой. Успех процедуры и означаетравенство количеств.

Примериз первобытной жизни приводит нас кважнейшему понятию эквивалентностимножеств . Говорят, что два множестваэквивалентны, если можно таксопоставить друг с другом элементыпервого множества и элементы второгомножества, что каждый элемент первогомножества окажется сопоставленнымровно с одним элементом второго множестваи каждый элемент второго множестваокажется сопоставленным ровно с однимэлементом первого множества. Нашискотоводы как раз и установилиэквивалентность своих стад. А синьорСальвиати установил эквивалентностьмножества всех квадратов и множествавсех чисел; эту эквивалентность можнонаглядно показать посредством следующейтаблицы:

Чтобыпродемонстрировать эффект Кортасарана простом примере, добавим к множествуквадратов какие-нибудь три числа,квадратами не являюшихся, - ну, скажем,7, 23 и 111. Следующая таблица показываетэквивалентность множества квадратови расширенного множества, состоящегоиз всех квадратов и трёх указанныхне-квадратов:

Читательда благоволит изобразить на листе бумагилюбые два отрезка и, в качестве несложногоупражнения, убедиться, что множествоточек, расположенных на первом отрезке,и множество точек, расположенных навтором отрезке, являются эквивалентными.

Но неокажутся ли все вообще бесконечныемножества эквивалентны друг другу?Великое открытие Кантора состояло втом, что он обнаружил неэквивалентныебесконечности. Так, одна из егозамечательных теорем гласила, чтомножество всех точек прямой и множествовсех натуральных чисел неэквивалентны.Оказалось, что наиболее знакомые намбесконечные множества подразделяютсяна два основных рода, так что множествапервого рода эквивалентны друг другуи множества второго рода эквивалентныдруг другу, а множества разных родовдруг другу не эквивалентны. Множествапервого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любаябесконечная часть натурального ряда(например, множество всех квадратов),множество всех дробей, множество всехмыслимых комбинаций (как ведущих квыигрышу, так и проигрышных) пластинокиз четырёхчленого набора, заявленногов игре предыдущей главы. Множествавторой категории называются континуальными; таковы множество всех точек прямой,всех точек плоскости, всех окружностей,множество всех частей натуральногоряда. Бывают и такие бесконечныемножества, которые не являются нисчётными, ни континуальными, но в“математическом быту” такие множествапочти не встречаются.

Позволимсебе теперь рассматривать и другиечисла, помимо натуральных, - те, о которыхговорилось в главе 4 “Длины и числа”.Хотя каждое рациональное число можетбыть записано посредством многих дробей,а более точно - бесконечного их количества,множество рациональных чисел оказываетсяэквивалентным множеству дробей, то естьсчётным. С другой стороны, как известноиз средней школы, каждому действительномучислу можно поставить в соответствиенекоторую точку на прямой, и при этомкаждая точка будет сопоставлена ровнос одним числом, своей координатой; тем самым обнаруживается, что множествоточек прямой и множество действительныхчисел эквивалентны и, следовательно,множество действительных чиселконтинуально. Как было сообщено впредыдущем абзаце, континуальность исчётность не могут сочетаться в одноми том же множестве. Поэтому множестворациональных чисел не может совпастьс множеством всех действительных чисел,а отсюда следует, что существуют такиедействительные числа, которые не являютсярациональными; их называют иррациональными . Таким образом, сам факт существованияиррациональных чисел, без указаниякакого-либо конкретного иррациональногочисла, может быть получен из совершеннообщих рассуждений.

И ещёоб одном виде чисел - о так называемыхалгебраических числах . Действительноечисло называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либоалгебраического уравнения. Всякоеуравнение имеет две части, левую иправую, разделённые (или, если угодно,соединённые) знаком равенства.Алгебраическими называют уравненияособо простого вида: в правой частистоит число ноль, а левая есть многочленкакой-то степени с одним неизвестным ицелыми коэффициентами, которые могутбыть как положительными, так иотрицательными. Частный вид алгебраическихуравнений образуют те квадратныеуравнения, у которых все коэффициенты(при иксе в квадрате, при иксе, свободныйчлен) суть целые числа. Всякое рациональноечисло есть число алгебраическое (вопроск читателю: почему?), и алгебраическиечисла образуют как бы следующий зарациональными разряд чисел по шкале“от простого к сложному”. Математиковдолгое время интересовал вопрос, бываютли действительные числа, не являющиесяалгебраическими; такие числа называют“трансцендентными”. Существованиетрансцендентных чисел было установленов 1844 году путём приведения соответствующихдостаточно сложных примеров; лишь в1873 году и, соответственно, в 1882 году быладоказана трансцендентность известныхчисел e и . Однако, если нетребовать указания конкретных примеровтрансцендентных чисел, само существованиетаковых может быть установлено тем жеметодом, каким выше было установленосуществование чисел иррациональных.Именно, в 1874 году Кантор показал, чтомножество всех алгебраических уравненийсчётно, из чего уже несложно вывестисчётность множества алгебраическихчисел. А мы знаем, что множество всехдействительных чисел континуально, такчто оно никак не может состоять из однихтолько алгебраических чисел.

Понятиеэквивалентности служит основой длявозникновения понятия количестваэлементов множества. Количество -это то общее, что имеется у всехэквивалентных друг другу множеств. Длякаждой коллекции эквивалентных другдругу множеств это количество своё -одно и то же для всех множеств этойколлекции. Возьмём, например, множествочудес света, множество дней недели,множество нот гаммы, множество смертныхгрехов и множество федеральных округовРоссии. Все они эквивалентны. Просвещённыйчитатель добавит к ним множество городов,споривших за честь быть родиной Гомера,и множество земных душ “по”, присутствующих,согласно учению китайцев, в каждомчеловеке. И множество столбов того домамудрости, о котором говорится в “ПритчахСоломона”. И множество невест ефрейтораЗбруева. И множество пядей во лбу. Еслитеперь рассмотреть не только перечисленныетолько что множества, но и все мыслимыемножества, эквивалентные перечисленным,то обнаружим, что в них присутствуетнекая общность. Эта общность естьколичество элементов в каждом из них.В данном конкретном случае это количествоназывается, как всем известно, так: семь . А количество элементов, характерноедля множества планет Солнечной системыи всех эквивалентных ему множеств,теперь (после разжалования Плутона)называется так: восемь .

Надеемся,что читатель уже пришёл к выводу, чтовсе счётные множества обладают одними тем же количеством элементов. Вчастности, количество всех квадратовравно количеству всех натуральныхчисел. Количество элементов какого-либосчётного множества (а у всех счётныхмножеств количество элементов одно ито же!) называется счётной мощностью и обозначается буквой алеф с нижниминдексом ноль

(произноситсяалеф-ноль ). Вот и соответствующаяцитата из одноимённого рассказа Борхеса- кстати, с довольно отчётливойформулировкой эффекта Кортасара: “вMengenlehre Алеф - символ трансфинитныхмножеств, где целое не больше, чемкакая-либо из частей”.

Вматематике вообще количество элементовв каком-либо множестве называют мощностью, или кардинальным числом, этогомножества. В частности, все континуальныемножества имеют одну и ту же мощность,называемую континуальной ; онаобозначается посредством строчнойбуквы цэ из печатного готическогоалфавита.

Описанныйвыше способ, посредством которогосуществование иррациональных итрансцендентных чисел можно получитьиз общих соображений, без предъявленияконкретных примеров, мы вправе назватьколичественным, ибо он основан нанесовпадении количеств - счётногоколичества, присущего как множествурациональных, так и множеству алгебраическихчисел, и континуального количества,присущего множеству всех действительныхчисел.

Теперьо сравнении количеств. Два количествамогут быть равны или не равны. Давайтеосознаем, чтбо это означает. Каждоеколичество представлено коллекциейвсех мыслимых эквивалентных друг другумножеств. Равенство количеств означаетсовпадение соответствующих коллекций,а неравенство - их несовпадение. Семьпотому не равно восьми, что коллекциявсех множеств, эквивалентных множествусмертных грехов, не совпадает с коллекциейвсех множеств, эквивалентных множествупланет. Количество квадратов потомуравно количеству натуральных чисел,что коллекция всех множеств, эквивалентныхмножеству квадратов, совпадает сколлекцией всех множеств, эквивалентныхнатуральному ряду. Но хотелось бы иметьправо говорить не только о равенствеили неравенстве двух количеств, но и отом, которое из них больше, а котороеменьше. (Не запутайтесь: слова “больше”и “меньше” относятся к количествам, ане к представляющим их коллекцияммножеств!)

Спросимуже знакомых нам не умеющих считатьпервобытных скотоводов, могут ли ониопределить, в каком из их стад большеэлементов - в предположении, что стадаразличны по численности. Их ответ будетположительным. Если в стаде коз удастсявыделить такую часть, не совпадающуюсо всем стадом, которая окажетсяэквивалентной множеству овец, то ббольшимявляется количество коз. Если же в стадеовец удастся выделить такую часть, несовпадающую со всем стадом, котораяокажется эквивалентной множеству коз,то ббольшим будет количество овец. (Вматематике каждое множество считаетсячастью самого себя, поэтому оговорка онесовпадении существенна.) Однако, какмы видели, такой способ не годится вслучае бесконечных множеств. Действительно,в натуральном ряду можно выделить часть,с ним не совпадающую (а именно - множествоквадратов), которая эквивалентнамножеству квадратов; тем не менеенатуральный ряд и множество квадратов,как мы видели, эквивалентны. Что жеделать? Надо придумать такой критерий,который действует применительно к любыммножествам. Решение состоит в том, чтобык предложенной нашими скотоводамиформулировке добавить некую клаузулу,излишнюю (хотя и ничему не мешающую) вконечном случае, но необходимую в случаебесконечном. Клаузула состоит в требованиинеэквивалентности сравниваемых множеств.Полная формулировка того, что количествоэлементов первого множества большеколичества элементов второго множества,такова: множества неэквивалентны, но впервом множестве имеется часть,эквивалентная второму множеству.

Воттеперь мы можем сказать, что континуальнаямощность больше счётной. В самом деле,эти мощности различны, но в континуальноммножестве действительных чисел можновыделить счётную часть - например,натуральный ряд. Счётную часть можновыделить в любом бесконечном множестве,поэтому счётная мощность - наименьшаяиз всех бесконечных мощностей. Одна иззамечательных теорем Кантора утверждает,что количество всевозможных частейкакого-либо множества всегда больше,чем количество элементов в самом этоммножестве. (Читатель легко проверитэтот факт для конечных множеств; надотолько не забыть учесть пустую часть ичасть, совпадающую со всем множеством.)В частности, количество всех частейнатурального ряда больше счётногоколичества натуральных чисел, ононесчётно . А количество всех частейпрямой линии больше континуальногоколичества точек на ней.

Противопоставлениесчётных и несчётных бесконечных множествприводит к глубокому философскомупоследствию, лежащему на стыке семиотикии гносеологии. А именно: оказывается,что мыслимы сущности, которые нельзяназвать. Постараемся изложить ситуациюкак можно более ясно. Когда мы что-тоназываем, мы снабжаем это что-тоиндивидуальным (то есть присущим толькоэтому и ничему другому) именем. Всякоеже имя есть конечная цепочка знаков изнекоторого выбранного для данной системыимён конечного списка знаков. Любойконечный список знаков математикиназывают алфавитом, составляющиеего знаки - буквами, а всякую конечнуюцепочку букв - словом в данномалфавите. [В отличие от “языковедческого”слова, “математическое” слово можетбыть совершенно непроизносимым. Например,в русском переводе рассказа Лема“Вторжение с Альдебарана” встречаютсятакие имена альдебаранцев: НГТРКС и ПВГДРК; эти имена являются словамив русском алфавите. Возможно и такое,скажем, слово:)))=hgйъh=+(.] Нетрудно убедиться,что какой ни взять алфавит, множествовсех слов в этом алфавите будет счётным.Тем самым никак не больше счётной будетлюбая система имён, созданная на основеэтого алфавита; эта система может бытьлишь конечной или счётной. И если мыимеем дело с несчётным множествомобъектов, то в этом множестве непременновстретятся объекты - и даже очень многотаких объектов, - для которых врассматриваемой системе имён не найдётсяникакого имени. В частности, какуюсистему именований ни придумать, всегдаокажется, что существуют не имеющиеимени части натурального ряда, не имеющиеимени точки прямой, не имеющие именидействительные числа.

Толькочто приведённые соображения можноиспользовать для доказательствасчётности множества алгебраическихчисел и, следовательно, для доказательствасуществования трансцендентных чисел.Известно, что для всякого алгебраическогоуравнения множество его действительныхкорней, то есть таких действительныхчисел, которые служат корнями этогоуравнения, всегда конечно (оно можетбыть, в частности, и пустым). Расположимэто множество в порядке возрастания,тогда каждый корень получит свойпорядковый номер в этом расположении.Именем данного алгебраического числаобъявим запись, состоящую из записилюбого алгебраического уравнения,корнем которого данное число является(таких уравнений всегда много!), и записипорядкового номера этого корня средивсех корней этого уравнения. Общееколичество всех введённых таким способомимён счётно. Отсюда легко выводятся двафакта. Во-первых, оказывается счётнымколичество чисел, получивших имя, - аэто как раз и есть алгебраические числа.Во-вторых, многие действительные числане получат никакого имени - это и будуттрансцендентные числа.

Возникаетестественный вопрос, а бывают ли мощности,промежуточные между мощностями счётнойи континуальной. Иначе говоря, вопроссостоит в том, какое из двух альтернативныхутверждений справедливо:

(1) поколичеству элементов континуумдействительных чисел идёт сразу вследза натуральным рядом или же

(2) вуказанном континууме можно выделитьпромежуточное множество, то естьтакую бесконечную часть, которая неравномощна ни всему континууму, нинатуральному ряду.

Гипотезу,что справедливо первое из этих утверждений,называют гипотезой континуума иликонтинуум-гипотезой, а требованиедоказать или опровергнуть эту гипотезу- проблемой континуума . В 1877 годуКантор объявил, что континуум-гипотезапредставляет собою математическуюистину, и с 1879 года начал отдельнымипорциями публиковать трактат, имеющийцелью эту истину доказать. Статья сшестой порцией была завершена 15 ноября1883 года. Она содержала доказательствотого факта, что промежуточное множествозаведомо отсутствует в определённомклассе множеств (а именно в классезамкнутых множеств), а также обещаниев последующих статьях доказать, чтотакого множества вообще не существует,- то есть доказать гипотезу в её полномобъёме. Однако обещанных последующихстатей не последовало. Кантор осознал,что он не может доказать континуум-гипотезу,и в мае 1884 года у него случился первыйприступ нервной болезни. В середине XXвека было установлено, что ни доказать,ни опровергнуть континуум-гипотезуневозможно. Здесь мы остановимся изстраха повторить судьбу Кантора.

На языкелингвистики то, чем мы занимались в этойглаве, есть семантика количественныхчислительных. При этом выяснилось, чтопривычный бесконечный ряд “конечных”числительных: один, два, три,…, сороквосемь,…, две тысячи семь,… - может бытьдополнен “бесконечным” числительнымалеф-ноль -

Но ведьбывают и числительные порядковые:первый, второй, третий и т. д. Вкратцепоговорим и о них. Как количественноечислительное есть словесное выражение(имя) количественного числа (оно жекардинальное число, оно же мощность ), так порядковое числительное естьсловесное выражение (имя) порядковогочисла . Чтобы отличать порядковыечисла от количественных, будем обозначатьих - в конечном случае (а про бесконечныймы пока ничего не знаем) - римскимицифрами, как это и принято в русскойорфографии. Ведь мы пишем “Генрих VIII”,а не “Генрих 8”. Порядковое число - этоособая сущность, для которой сейчасбудет предложено не определение (чтоперегрузило бы изложение), а ассоциативнаяиллюстрация. С этой целью обращусь ксвоим детским ощущениям - ещё болееранним, чем кошмар, упомянутый в самомначале данной главы. В свои студенческиегоды я с изумлением узнал, что этиощущения испытал не только я.

Итак,раннее детство. Я размышляю, какой яплохой. Но тут же приходит в головумысль, что раз я это понял, значит, яхороший. Но если я считаю себя хорошим,то, значит, я плохой. Но тогда я хороший- и так далее. Какую замечательнуюбесконечную лестницу я выстроил, хвалюя себя. Какой я плохой, что себя хвалю.И так далее. Здесь иллюстрация понятияпорядкового числа. В самом деле,естественно называть ступени возникшейлестницы словами “первая”, “вторая”,“третья” и так далее. А можно сказатьи так: со ступенями соотносятся порядковыечисла I (“я плохой”), II (“я хороший,потому что осознал, что плохой”), III (“яплохой, потому что себя похвалил”) итак далее. С лестницей же в целом (“яхороший, потому что смог увидеть всюлестницу”) соотносится некоторое новое,бесконечное порядковое число (омега).Далее следуют + I (“я плохой, потому чтосебя похвалил”), + II, + III и так далее. Апотом, за ними всеми, +. Здесь мы остановимся,однако читатель волен продолжить эторяд и далее. Начиная с идут бесконечныепорядковые числа . Их именами служатвыражения “омега”, “омега плюс один”,“омега плюс два”, “омега плюс три” итак далее. С семантической точки зренияэти выражения представляют собоюпорядковые числительные. С синтаксическойточки зрения порядковые числительныедолжны быть похожи на прилагательные,и потому следовало бы говорить “омеговый”,“омега плюс первый” и так далее; но такпочему-то не говорят.

Читатель,желающий проверить себя на пониманиебесконечных порядковых чисел (а автора- на способность понятно изложить),благоволит выполнить такое упражнение.Возьмите множество, состоящее из числа3, числа 2, всех чисел 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и такдалее и всех чисел 1, 11/2, 12/3, 13/4, 14/5 и такдалее. Занумеруйте элементы этогомножества, в порядке их возрастания,порядковыми числами. Какие номера ониполучат? Ответ: первым, наименьшимэлементом является здесь 0 и он получитномер I, элемент 1/2 получит номер II,элемент 2/3 получит номер III, и так далее;далее, элемент 1 получит номер, элемент11/2 получит номер + I, элемент 12/3 получитномер + II, и так далее; наконец, элемент2 получит номер +, и элемент 3 получитномер ++ I.