Глава5. Квадратура круга

Выражение«квадратура круга» прочно вошло в языкв качестве красивого обозначения всякойне имеющей решения задачи. В таком своёмзначении это выражение используется врасширенном смысле - как метафора. Вузком же, буквальном смысле квадратуракруга означает некую пришедшую к намиз античности геометрическую задачу,относящуюся к задачам на построение .

Не однотысячелетие задача о квадратуре кругаоставалась костью в горле математики:не получалось ни её решения, нидоказательства отсутствия такового.Постепенно укреплялось мнение оневозможности решения, и в XVIII веке этомнение превратилось в убеждение настолькотвёрдое, что академии наук разных странзаявили о прекращении приёма к рассмотрениютрактатов, претендующих на решение.Наконец, в конце XIX века вопрос былзакрыт: развитие математики позволилодоказать, что решения и в самом деле несуществует. Понимание того, в чём состоятзадачи на построение, и в частностидревняя задача о квадратуре круга,входит, на наш взгляд, в общекультурныйминимум. Чтобы дать возможность читателюсогласиться или не согласиться с этимтезисом, напомним необходимые сведения.

Геометриятребует чертежа, и античные математикиделали такие чертежи. Самым удобным идешёвым способом было чертить на песке.Архимед, величайший учёный древности(да и не только древности!), был убитримским солдатом в 212 году до н. э., вовремя Второй пунической войны, наСицилии, в своих родных Сиракузах. Попреданию, солдат застал его на песчаномпляже и, взбешённый его словами «Нетрогай мои чертежи!», зарубил мечом.Основными элементами чертежей служилипрямые линии и окружности. Для ихвычерчивания имелись специальныеинструменты. Таких инструментов былодва: линейка, позволяющая проводитьпрямые, и циркуль, позволяющий проводитьокружности. Под термином циркуль условимся понимать любое устройство,пригодное для заданной цели. Скореевсего, древнейший циркуль состоял издвух палок, соединенных верёвкой; однапалка («игла») втыкалась в песок в центренамеченной окружности, верёвканатягивалась, и второй палкой («писалом»,«чертилом», «стилом») чертилась окружностьс радиусом, равным длине верёвки. Задачана построение состояла в том, чтобыпостроить, то есть начертить, геометрическуюфигуру с требуемыми свойствами. Вотпростейший пример такой задачи: длязаданного отрезка требуется построитьего середину. Решение: для каждого изконцов отрезка проводим окружность сцентром в этом конце и с радиусом, равнымдлине отрезка; далее проводим прямуючерез те две точки, в которых нашиокружности пересеклись; эта прямаяпересечёт заданный отрезок в егосередине. А вот формулировка задачи оквадратуре круга: для заданного кругатребуется построить квадрат, равновеликий(то есть равный по площади) этому кругу.Неразрешимость квадратуры круга доказалв 1882 году немецкий математик ФердинандЛиндеман. Рассказывают, что он завершилдоказательство 12 апреля, в день своеготридцатилетия, и, спрошенный друзьями,отчего это он сияет так, словно решилпроблему квадратуры круга, отвечал, чтотак оно и есть. Жена Линдемана быланедовольна, что муж удовлетворен тойславой, которую заслуженно принеслаему задача о квадратуре круга, и заставлялаего доказывать Великую теорему Ферма.Он страдал, но вынужден был подчиняться.Он скончался в 1939 году и, пока был всилах, занимался Проблемой Ферма.Результатом были слабые публикации наэту тему.

Мы,разумеется, не собираемся здесь доказыватьнеразрешимость задачи о квадратурекруга. Можно было бы попытаться вдоступных терминах наметить общеенаправление доказательства - но мы иэтого делать не будем, потому что этовывело бы нас за пределы того, что мысчитаем общекультурным математическимминимумом. А вот самоё формулировкуобсудим. Казалось бы, что тут обсуждать,формулировка достаточно ясная. Сейчасмы увидим, что на самом деле её смыслнуждается в разъяснении. Приносимизвинения тому читателю, который почтётэти разъяснения занудными и излишними.Но надеемся встретить и иного читателя,который найдет здесь пищу для размышленийи оценит то обстоятельство, что именноматематика является поставщиком такойпищи.

Каждаязадача на построение предполагаетналичие некоторой исходной геометрическойфигуры и состоит в требовании указатьспособ, позволяющий построить новуюфигуру, связанную с исходной указаннымив задаче соотношениями. Так, в задаче осередине отрезка исходной фигурой былотрезок, а новой фигурой - точка, являющаясяего серединой; в задаче о квадратурекруга исходная фигура - круг, а новая -квадрат, имеющий ту же площадь. Вот ещёпример: по данной стороне построитьправильный треугольник (то есть такойтреугольник, у которого одинаковы всестороны и все углы). Исходной фигуройздесь служит отрезок, а новой фигурой- треугольник, у которого все стороныконгруэнтны этому отрезку. Надеемся,что читатель легко решит эту задачу.Можно построить и правильныйсемнадцатиугольник, но это уже не стольпросто. А вот аналогичная задача опостроении правильного семиугольникане имеет решения - это в конце XVIII векадоказал один из величайших математиковвсех времён Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855). До Гаусса существование таких задачна построение, решить которые невозможно,было лишь правдоподобной гипотезой. Онже указал способ построения правильного17-угольника. Вот ещё пример весьмаизвестной и древней задачи на построение:задача о трисекции угла . В нейтребуется для каждого угла построитьдругой угол, составляющий треть исходного.Для некоторых углов специального вида- например, для прямого угла - построениетрети не составляет труда. Однако всередине XIX века про некоторые углы былодоказано, что, оперируя линейкой ициркулем, построить их невозможно.Оказалось, в частности, что невозможнопостроить углы в 10 и 20 градусов и,следовательно, осуществить трисекциюуглов в 30 и 60 градусов. Тем самым былаустановлена неразрешимость задачи отрисекции угла .

Итак,в каждой задаче на построение требуетсяуказать некоторый способ построения.Когда такой способ предъявляется, какэто было для задачи о середине отрезка,он, способ, обычно не вызывает сомнений.Но когда утверждается, что такого способанет, как это утверждается для квадратурыкруга или для трисекции угла, возникаетнеобходимость уточнить, чего именнонет.

Всякийспособ построения состоит в указаниинекоторой последовательности разрешённыхопераций. Последовательность эта - своядля каждой задачи. Сам же переченьразрешённых операций один и тот же длявсех задач на построение. Он весьманевелик, и мы сейчас с ним познакомимся.

Преждевсего, это операции, связанные с линейкой.Читателя может удивить множественноечисло. Что ещё можно делать с линейкой,как не чертить прямую? А вот что: чертитьлуч, то есть полупрямую; чертить отрезок.Более точно: разрешается, приложивлинейку к двум уже построенным точкам,начертить отрезок между этими точками;или луч, начинающийся в одной из этихточек и проходящий через другую; илипрямую, проходящую через эти две точки.Господи! - воскликнет читатель, да этоже и так ясно, стоило ли тратить слована такую очевидность. Я благодаренчитателю за это восклицание, потому чтооно даёт возможность объяснить, почемустоило. Для этого рассмотрим ещё однуоперацию, не менее простую для исполнения,чем проведение прямой через две точки,но, однако же, не входящую в переченьразрешённых: через данную точку провестикасательную к данной окружности. Начертивокружность и взяв точку вне круга,читатель убедится, как легко провестикасательную, используя реальную,деревянную или металлическую, линейку.Тем не менее в перечень разрешённыхопераций проведение касательной невключено. Мы только что прибегли кважному, как нам кажется, приёму обученияпонятиям: надо не только приводитьпримеры вещей, входящих в объём вводимогопонятия, но и контрпримеры вещей, вуказанный объём не входящих. Так, чтобына примерах объяснить, что такое чётноечисло, надо не только сказать, что числа0, 2, 4, 6 и так далее являются чётными, нои сказать, что числа 1, 3, 5, 7 и так далеетаковыми не являются; чтобы объяснитьмарсианину, что такое кошка, надопредъявить ему не только несколькокошек, но также и несколько собак, сказав,что они кошками не являются.

Сциркулем связана такая операция.Установив иглу циркуля в уже построеннуюточку, а стило в другую уже построеннуюточку, разрешается начертить окружность.И даже более общо: установив иглу и стилов две уже построенные точки, разрешается,не меняя раствора циркуля, перенестииглу в третью уже построенную точку иначертить окружность.

Разрешаетсянаходить пересечения друг с другом ужепостроенных прямых, лучей, отрезков,окружностей и дуг окружностей (но невсяких дуг, а расположенных между двумяуже построенными точками).

Наконец,разрешается совершать так называемыйвыбор произвольной точки . Этозначит, что разрешается нанести стиломточку в любом месте плоскости, а такжев любом месте уже построенной фигуры ииспользовать эту точку в дальнейшихпостроениях. (Термин «фигура» обозначаетздесь отрезок, луч, прямую, окружность,дугу окружности, а также участокплоскости, граница которой составленаиз перечисленных только что простейшихфигур.)

Толькотеперь, после описания всех разрешённыхопераций, обретает точный смыслутверждение о нерешимости той или инойзадачи на построение, в частности задачио квадратуре круга. Отсутствие решенияозначает здесь отсутствие такой цепочкиразрешённых операций, которая приводилабы от круга к квадрату той же площади.

Заметим,что сам перечень разрешённых операцийв значительной степени обусловленисторическими причинами и, вообщеговоря, мог бы быть другим. Например,можно было бы включить в число разрешённыхопераций операцию построения касательной,о которой говорилось выше (заметим,кстати, что это не дало бы ничегопринципиально нового, потому чтокасательную можно построить, подобравподходящую цепочку разрешённых операцийиз старого перечня). Можно было бывключить в число разрешённых операцийвычерчивание эллипса - ведь устройстводля вычерчивания эллипса лишь немногимсложнее циркуля (достаточно вбить двагвоздя в фокусы эллипса и протянутьмежду ними нить, более длинную, нежелирасстояние между фокусами; зацепим нитьстилом и натянем; тогда, перемещая стилотак, чтобы нить оставалась натянутой,получим эллипс). Да даже и не надозаботиться о лёгкости выполненияразрешённой операции: строго говоря,мы вправе объявить разрешённой любуюоперацию по нашему усмотрению. Переченьразрешённых операций, с чисто логическойточки зрения, достаточно произволен.Однако, коль скоро он выбран, он уже неменяется. Полезная аналогия: сводюридических актов. С чисто логической,опять же, точки зрения, законы произвольноустанавливаются законодателем, но,будучи принятыми, они уже - хотя бы наопределённый период - не меняются; вовсяком случае, так должно быть.

Объяснимтеперь, почему задачам на построениебыло уделено здесь такое внимание.Причина в том, что на примере этих задачмы пытались продемонстрировать некоторыематематические представленияпринципиального характера, представления,которые можно отнести к философииматематики, а то и к философии вообще.Перечислим эти представления.

Во-первых,был ещё раз проиллюстрирован тезис, чтозадача, или проблема, всегдаесть требование что-то найти, указать,построить.

Во-вторых,была показана необходимость уточнениятого, в пределах какого класса объектовищется решение задачи. Иногда этот класссостоит из объектов довольно простой(честнее было бы сказать: довольнопривычной) природы - троек чисел впроблеме Ферма, отрезков в проблемесоизмеримости, но иногда он состоит издовольно-таки специальных объектов,подобно цепочкам операций в задачах напостроение.

В-третьих,уточнение, о котором только что шларечь, особенно необходимо в случае, еслизадача оказывается нерешимой.

В-четвёртых,представление о разрешённой операции,в его общем виде, шире сферы задач напостроение. Оно существенно и длякомпьютерной науки (Computer Science), и длякомпьютерной практики, а именно дляпрограммирования. Каждый компьютеримеет свой набор разрешённых операций,а каждая компьютерная программа естьнекоторая цепочка операций, выбранныхиз этого набора.

Именнов силу своего философского аспектазадачи на построение должны заниматьдостойное место в школьном курсегеометрии. Мы не имеем в виду сложныхзадач, требующих зачастую большойизобретательности, - такие задачи должныизучаться в специализированныхматематических классах. Нет, мы имеемв виду самые простые задачи вроде задачио построении правильного треугольникаили задачи о нахождении середины отрезка.