Глава4. Длины и числа

Длинаотрезка есть некое соотнесённое сотрезком число. Из теоремы о несоизмеримостинемедленно следует, что длина диагоналиединичного квадрата, то есть квадратасо стороной длины единица, не может бытьвыражена ни целым, ни дробным числом.Таким образом, возникает дилемма: илипризнать, что существуют отрезки, неимеющие длины, или изобрести какие-тоновые числа, помимо целых и дробных.Человечество выбрало второе. Ввидуважности сделанного выбора изъяснимсяболее подробно.

Давайтеосознаем, как возникает понятие длины- с логической точки зрения, но отчаститакже и с исторической. Прежде всего,вводится единица измерения, то естьотрезок, длиной которого объявляетсячисло единица. Этот отрезок называетсяединичным отрезком . Если теперьэтот единичный отрезок укладывается вкаком-то другом отрезке семь или семьдесятсемь раз, то этому другому отрезкуприписывается длина семь или,соответственно, семьдесят семь. Такимспособом приписываются целочисленныедлины всем отрезкам, такую длину имеющим.За бортом указанного процесса остаютсявсе те многочисленные отрезки, в которыхединичный отрезок не укладываетсяконечное число раз. Посмотрим, какобстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудьиз таких отрезков и предположим, что онсоизмерим с единичным. Пусть, для примера,их общая мера укладывается в нашемотрезке 18 раз, а в единичном отрезке 12раз. Тогда в нашем отрезке укладываетсявосемнадцать двенадцатых долей единичногоотрезка, и ему приписывается длинавосемнадцать двенадцатых. Если для двухотрезков найдена их общая мера, то дляних всегда можно указать и другие общиемеры - и при том в бесконечном количестве.Для рассматриваемого случая таковымибудут, скажем, мера, укладывающаяся визбранном отрезке 180 раз, а в единичном120 раз; а также мера, укладывающаяся визбранном отрезке 9 раз, а в единичном6 раз; а также мера, укладывающаяся визбранном отрезке 6 раз, а в единичном4 раза; а также мера, укладывающаяся визбранном отрезке 3 раза, а в единичном2 раза. Следовательно, нашему избранномуотрезку можно приписать и длину стовосемьдесят сто двадцатых, и длинудевять шестых, и длину шесть четвёртых,и длину три вторых. Именно поэтому дроби180/120, 18/12, 9/6, 6/4 и 3/2, будучи различнымидробями, выражают одно и то же число.Указанные дроби можно трактовать какимена этого числа, то есть как синонимы.Таким образом, длина у отрезка единственна,хотя и именоваться может по-разному.

Числа,выражаемые дробями, называются дробными . Целые и дробные числа объединяютсявместе под названием рациональныечисла . (Для простоты изложения мыничего не говорим об отрицательныхчислах; для наших целей они не нужны, ио них можно просто забыть.) Казалось бы,какие ещё могут быть числа? Но, как мызнаем, диагональ квадрата не имеет общеймеры с его стороной. Поэтому если взятьквадрат со стороной длины единица, тооказывается, что длина диагонали этогоквадрата никаким рациональным числомне выражается. Следовательно, у этойдиагонали либо вовсе нет длины, либоэта длина выражается числом какого-тонового типа, каковой тип ещё толькоподлежит введению в рассмотрение. Числаэтого нового типа называютсяиррациональными, вместе с рациональнымиони образуют систему действительных, или вещественных, чисел. Теперьуже каждый отрезок обретает длину ввиде некоторого действительного числа.

Надоиметь в виду, что изложенный взгляд напонятие числа, включающий в объём этогопонятия и иррациональные числа, естьвзгляд с современной точки зрения. Чтобыприйти к этой точке зрения, потребовалисьтысячелетия. В древности лишь натуральныечисла считались числами. Число понималоськак совокупность единиц. Очень постепеннов обиход входили дроби - сперва счислителем единица и небольшимзнаменателем, затем числителю ужеразрешалось быть ббольшим единицы, новсё-таки непременно меньшим знаменателя,и так далее. Но и дробь не сразу былапризнана выражающей число, поначалуона трактовалась иначе - как выражающаяотношение величин. Открытие явлениянесоизмеримости привело к осознаниютого поразительного факта, что не всякоеотношение величин может быть выраженодробью, и, в конечном счёте, к возникновениюпонятия действительного числа. Возможно,впервые ясное представление одействительных числах сформулировалвеликий арабский учёный и государственныйдеятель XIII века Насирэддин Тусби.Рассуждая об однородных величинах(таковыми являются длины, или веса, илиобъёмы и т. п.) и отношениях величинодного и того же рода, он писал: «Каждоеиз этих отношений может быть названочислом, которое определяется единицейтак же, как один из членов этого отношенияопределяется другим из этих членов». Инаконец, завершающую точку в развитииясного, хотя всё ещё интуитивного,представления о действительных числахпоставил Ньютон в своей «Всеобщейарифметике» (1707): «Под числом мы понимаемне столько множество единиц, сколькоотвлечённое отношение какой-нибудьвеличины к другой величине того же рода,принятой нами за единицу. Число бываеттрёх видов: целое, дробное и иррациональное.Целое есть то, что измеряется единицей;дробное есть кратное долей единицы;иррациональное число несоизмеримо сединицей».

Нормынаучной строгости со временем ужесточаются.Можно полагать, что формулировки Тусии Ньютона воспринимались современникамикак определения понятия действительногочисла. В наши дни они воспринимаютсякак всего лишь полезные комментарии.Заключённая в этих комментарияхвербализация свидетельствует, что вXIII - XVIII веках понятие действительногочисла уже с достаточной отчётливостьювоспринималось именно как понятие.Постепенно, однако, возрастала потребностьне только в интуитивном осознании, нои в исчерпывающих определениях.Формулировки Туси и Ньютона потому неявляются таковыми, что содержашиеся вних термины «величина» и «отношение»сами нуждаются в разъяснении. Теориидействительных чисел, отвечающиесегодняшним требованиям строгости,появились лишь около 1870 года. Первопроходцемздесь был почти забытый ныне французскийматематик Шарль Мерэ (Charles Mбeray; 1835 -1911). В его жизни было два события, каждоеиз которых поставило его на почётнейшеепервое место в некоторой значимой сфере.В 1854 году Мерэ оказался касбиком - тоесть первым среди принятых по конкурсув парижскую Высшую нормальную школу(каковую благополучно окончил в 1857 г.);в первоначальном своём значении словоcacique означает индейского племенноговождя в доколумбовой Латинской Америке.В 1869 году Мерэ опубликовал статью, вкоторой было впервые дано определениедействительного числа и впервые изложенаматематическая теория действительныхчисел. Не только первое, но и второе изэтих событий остались лишь фактами егобиографии. Мерэ имел статус уважаемого,но не ведущего математика своего времени,хотя имел основания числиться именнотаковым. Его идеи не были должным образомоценены современниками и никак неповлияли на развитие науки. На развитиенауки повлияли появившиеся черезнесколько лет публикации прославленных,в отличие от Мерэ, немецких математиковРихарда Дедекинда (1831 - 1916) и ГеоргаКантора (1845 - 1918), о котором мы ещё поговоримв главе 7. Каждый из них предложил некуюконструкцию, посредством которойдействительные числа строились на базечисел рациональных. Хотя нет сомнений,что конструкция Кантора была найденаим независимо, она повторяет конструкциюМерэ.

У насздесь нет возможности излагать теорииДедекинда и Мерэ - Кантора. Отметим лишь,что строительным материалом дляматематического понятия действительногочисла служат рациональные числа, каковые,в свою очередь, строятся на основе целыхчисел. Это обстоятельство дало возможностьвыдающемуся немецкому математикуЛеопольду Кбонекеру (1823 - 1891) произнестив 1886 году знаменитую фразу «Die ganzenZahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk» («Бог создал целые числа, всё остальноеесть дело рук человеческих»). Возможно,более точным переводом немецкого слова«ganzen» было бы здесь русское слово«натуральные» - потому что не вызываетсомнений, что Кронекер имел в виду невсе целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательнойчеловеческой деятельности строятсяотрицательные целые числа). Согласие сбожественным происхождением натуральныхчисел ещё не означает торжествакреационизма. Потому что ничто не мешаетсчитать, что натуральные числа появилисьв процессе исторической эволюции,оставляя при этом в стороне вопрос,управляется ли эволюция Господом Богомили происходит сама по себе. Став на этуточку зрения, приходим к выводу, чтонатуральные числа родились в процессахпересчитывания предметов, а также (и,надо полагать, позже) в процессахопределения количества предметов. Эторазные процессы, и они, с философскойточки зрения, приводят к различным (хотяи соотнесённым друг с другом) системамнатуральных чисел. Не знаю, как другиеязыки, но русский язык демонстрируетэто различие достаточно наглядно.Пересчёт мы начинаем обычно со слова«раз», а наименьшее возможное количествочего-нибудь есть ноль. Таким образом,наименьшее количественное числоесть число ноль, а наименьшее считательное число есть число раз (один, единица).Некоторые поэтому начинают натуральныйряд, то есть ряд натуральных чисел,с нуля, другие же - с единицы.

Упоминавшийсяуже Дедекинд называл числа свободнымитворениями человеческого духа (акнига Дедекинда, в которой былапровозглашена эта формула, сама имелапримечательное название: «Was sind und wassollen die Zahlen» - «Что такое числа и каковоих назначение»). Для понимания сущностичисел важно помнить, что число естьпонятие абстрактное. Никакое число,даже число, скажем, два, нельзя ни увидеть,ни услышать. Увидеть можно два столаили двух слонов, а услышать можно слово«два» - но это совсем другое дело. Полезноотметить, что абстрактность понятий неесть отличительная (и потому многихпугающая) черта математики. Есливдуматься, то, скажем, такие физическиепонятия, как электрон, протон и т. п.,весьма абстрактны. На память приходитвопрос, заданный на знаменитом семинареГельфанда, действовавшем намеханико-математическом факультетеМосковского университета, одним изучастников семинара: «Какой реальныйматематический смысл имеет эта физическаяабстракция?»

Вернёмся,однако, к проблемам, не имеющим решения.