Глава3. Проблемы нерешённые и проблемынерешимые

Проблема- это всегда требование что-то найти,указать. Это «что-то» может иметь самуюразличную природу: это может быть ответна заданный вопрос, законопроект,доказательство теоремы, число (прирешении уравнений), последовательностьгеометрических построений (при решениигеометрических задач на построение).Опыт математики позволяет провеститочную грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми . Первыеждут своего решения, вторые же решенияне имеют и иметь не могут, у них решенияпросто-напросто не существует.

К числупервых долгое время относилась проблемаФерма. В математике таких проблем много,но абсолютное большинство из них требуетдля понимания их формулировок специальногообразования. Нерешённых проблем спростыми формулировками гораздо меньше.Из них наиболее известны, пожалуй,следующие четыре проблемы теории чисел.Теория чисел (в ортодоксальном пониманииэтого термина) занимается толькоположительными целыми числами. Поэтомутолько такие числа разумеются здесьпод словом «число».

Двепроблемы о совершенных числах . Число6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 - эти числа1, 2, 3, 6 суть делители числа 6. Еслииз списка делителей числа 6 мы удалимсамо это число, а остальные сложим,получим 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Темже свойством обладает число 28. Eгоделителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28. Еслиих все, кроме 28, сложить, получим как раз28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI векедо н. э. это редкое свойство чисел вызываломистический восторг у Пифагора и егоучеников: по их мнению, оно свидетельствовалооб особом совершенстве числа, обладающеготаким свойством. А потому каждое число,совпадающее с суммой своих делителей,отличных от самого этого числа, получилотитул совершенного . Первые четыресовершенных числа (6, 28, 496 и 8128) былиизвестны уже во II веке н. э. А в сентябре2006 года было обнаружено сорок четвёртоесовершенное число; оно колоссально, вего десятичной записи около двадцатимиллионов знаков. Все найденныесовершенные числа оказались чётными.И вот две простые по формулировке, ноне решённые до сих пор проблемы. Существуютли нечётные совершенные числа? Конечнаили бесконечна совокупность всехсовершенных чисел? Эквивалентнаяформулировка второй проблемы: существуетли наибольшее совершенное число?

Двепроблемы о простых числах . Напомним(мы говорим «напомним», потому чтотеоретически это должно быть известноиз средней школы), что простым называется такое число, которое,во-первых, больше единицы, а во-вторых,не имеет других делителей, кроме единицыи самого себя. Ещё в III веке до н. э. в«Началах» Евклида было установлено,что среди простых чисел нет наибольшего,их ряд 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. никогда некончается; иными словами, совокупностьпростых чисел бесконечна. Предложение20 девятой книги «Начал» гласит, чтопростых чисел больше, чем в любомпредъявленном списке таковых;доказательство же этого предложениясостоит в описании способа, позволяющегодля любого списка простых чисел указатьпростое число, в этом списке несодержащееся. Отметим, что Евклид нигдене говорит о совокупности простых чиселв целом - само представление о бесконечныхсовокупностях как об особых сущностяхпоявилось значительно позже. Когда-тоизучение простых чисел рассматривалоськак чистая игра ума; оказалось, что онииграют решающую роль во многих практическихзадачах криптографии.

Срединерешённых проблем, связанных с простымичислами, приведём две: проблемуГольдбаха - Эйлера и проблемублизнецов .

Перваябыла поставлена в 1742 году великимЛеонардом Эйлером в его переписке сХристианом Гольдбахом. Основнаядеятельность обоих протекала в России;в 1764 году Гольдбах был похоронен вМоскве, а Эйлер в 1783 году - в Петербурге.

Ктоесть Эйлер, один из самых великихматематиков за всю историю человечества,и в чём заключается его величие - всёэто легко узнать, если заглянуть, каквстарь, в энциклопедический словарь.Сведения же о том, что собой представляетГольдбах, словари дают скупо; такиесведения следует искать в специальнойлитературе или же в Интернете; некоторыеиз фактов заслуживают того, чтобы здесьих изложить. Хотя математические статьи,опубликованные Гольдбахом в научныхжурналах, и не оставили сколько-нибудьзаметного следа в математике, он былпризнанным членом математическогосообщества своего времени. Он был личнознаком или состоял в переписке с рядомвыдающихся умов, в том числе с Лейбницеми с Эйлером; переписка с Эйлеромпродолжалась 35 лет и прекратилась лишьсо смертью Гольдбаха. Один из историковнауки (кстати, правнук Эйлера и непременныйсекретарь Петербургской академии наук)писал: «Его [Гольдбаха] перепискапоказывает, что если он не прославилсяни в одной специальности, то это следуетприписать большой универсальности егопознаний. То мы видим его обсуждающим‹…› кропотливые вопросы классическойи восточной филологии; то он пускаетсяв нескончаемые археологические споры‹…›». В своих письмах Гольдбах предстаёткак человек, наделённый и интуицией, испособностью чувствовать новое. ПроблемаГольдбаха - Эйлера, например, возниклакак реакция Эйлера на некое предположение,сообщённое ему Гольдбахом (предположениесостояло в том, что всякое целое число,большее, чем 2, разлагается в сумму трёхслагаемых, каждое из коих есть либопростое число, либо единица). В России,куда он приехал в 1725 году в тридцатипятилетнемвозрасте, Гольдбах сделал головокружительнуюкарьеру. Он сразу получил место секретаря,а также историографа организуемой воисполнение замысла Петра I Императорскойакадемии наук; именно он вёл (на латинскомязыке) первые протоколы Академии. С 1737по 1740 год он был одним из двух лиц,осуществлявших административноеуправление Академией (другим был Шумахер;обоим по этому случаю был присвоен рангколлежского советника). В конце 1727 годаон был назначен наставником двенадцатилетнегоимператора Петра II. Рассказывают, чторуководство по обучению царских детей,составленное Гольдбахом в 1760 году,применялось на практике в течение стапоследующих лет. В 1742 году Гольдбахсделался ответственным работникомминистерства иностранных дел (каксказали бы теперь), стал получать награды,земли и чины и к 1760 году дослужился дочина тайного советника. Чин этот довольноточно отражал его обязанности, посколькуГольдбах состоял в должности криптографа.Эйлеру тоже захотелось чина. ОднакоЕкатерина II, благосклонно встретившаяпожелания Эйлера относительно жалованья,казённой квартиры и обеспечения еготрёх сыновей позициями и доходами,весьма дипломатично отказала: «Я далабы, когда он хочет, чин, если бы неопасалась, что этот чин сравняет его смножеством людей, которые не стоят г.Эйлера. Поистине его известность лучшечина для оказания ему должного уважения».

Перейдем,однако, к сути названных проблем.

Непосредственноенаблюдение подсказывает, что всякоечётное число, большее двух, удаётсяпредставить в виде суммы двух слагаемых,каждое из которых является простымчислом: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 +7,…, 24 = 5 + 19,…, 38 = 7 + 31 и т. д. Однако проверкеможет быть подвергнуто лишь ограниченноеколичество чётных чисел, а всего ихбесконечно много. Имеющиеся свидетельства,полученные от просмотра конечного(пусть гигантского) количества примеров,не могут гарантировать, что когда-нибудьв будущем не появится астрономическибольшого чётного числа, для которогоразложение на два простых слагаемыхневозможно. А ведь современные компьютерыпозволяют строить и использовать дляважных практических целей числа ссотнями десятичных знаков. Вот и встаётвопрос: всякое ли чётное число,большее двух, можно представить каксумму двух простых слагаемых? Проблемаотыскания ответа на это вопрос и естьпроблема Гольдбаха - Эйлера.

Теперьо проблеме близнецов. Заметим, чтовстречаются очень близко расположенныедруг к другу простые числа, а именнотакие, расстояние между которыми равно2. Пример: 41 и 43. Такие числа называютсяблизнецами . Начнём последовательновыписывать пары близнецов: (3, 5); (5, 7);(11, 13); (17, 19); и. т. д. Спрашивается, закончитсяли когда-нибудь этот ряд пар? Наступитли момент, когда будет выписана последняяпара и список близнецов окажетсяисчерпанным, или же ряд близнецовых парпродолжается неограниченно и ихсовокупность бесконечна (как бесконечнасовокупность простых чисел)? Проблемаотыскания ответа на этот вопрос и естьпроблема близнецов.

Осознаниетого, что есть простые по формулировкевопросы, столетиями ждущие ответа,представляется поучительным. Не менеепоучительно осознание того, что есть ипроблемы другого типа, не ждущие решенияпо причине того, что решения не существуетв принципе.

Принятосчитать, что первой по времени проблемой,относительно которой доказанопринципиальное отсутствие решения,была приписываемая школе Пифагорапроблема нахождения общей меры двухотрезков. Осторожные выражения «принятосчитать» и «приписываемая» означают,что как о бесспорных датировках, так ио бесспорном авторстве идей, относящихсяк столь глубокой древности, говоритьзатруднительно. Мы всё же будемпридерживаться традиционной версии, ктому же она достаточно правдоподобна.

Пифагори пифагорейцы, с их мистическим отношениемк числам, считали натуральные числамерилом всех вещей, выразителями мировогопорядка и основой материального бытия.Их занимала мысль об универсальнойединице измерения длин. То есть о такомедином отрезке, который в каждом другомотрезке укладывался бы целое число раз.Прежде всего они пришли к пониманию,что такого единого отрезка не существует.Это сейчас его отсутствие кажетсяочевидным, тогда же осознание этогофакта было подлинным открытием. Нооставался вопрос, существует ли подобныйизмеряющий отрезок не для всех отрезковсразу, а свой для каждых двух отрезков.Для ясности сформулируем проблему болееразвёрнуто. Представим себе два каких-тоотрезка. Их общей мерой называетсятакой отрезок, который в каждом из нихукладывается целое число раз. Скажем,если второй из наших двух отрезковсоставляет треть первого, то этот второйотрезок и будет общей мерой: действительно,в первом отрезке он укладывается трираза, а во втором - один. Отрезок,составляющий одну шестую нашего первогоотрезка, будет укладываться в нём шестьраз, а во втором два раза, так что онтакже будет их общей мерой. Легкопредъявить пару отрезков, для которыхих общая мера будет укладываться впервом отрезке шесть раз, а во втором -пять; другая общая мера тех же отрезковбудет укладываться в первом из нихвосемнадцать, а в другом пятнадцатьраз. Теперь спросим себя, для любых лидвух отрезков существует их общая мера.Ответ неочевиден. В школе Пифагора былполучен следующий поразительныйрезультат: если взять какой-либо квадрат,а в нём его сторону и его диагональ, тоокажется, что эта сторона и эта диагональне имеют общей меры! Говорят, что диагональквадрата и его сторона несоизмеримы . А соизмеримыми как раз и называютсятакие два отрезка, которые имеют общуюмеру.

Сегоднятрудно себе представить силу эмоциональногопотрясения, испытанного, по дошедшимдо нас из глубины веков сведениям,пифагорейцами, когда они обнаружили,что бывают несоизмеримые отрезки.Рассказывают, что они принесли вблагодарственную жертву богам околосотни быков (и с тех пор, как выразилсякто-то, скоты всегда ревут, когдаоткрывается новая истина). Рассказываюттакже, что пифагорейцы поклялись никомуне сообщать о своём открытии. (Современнаяаналогия: по распространённому мнению,в наши дни велено скрывать от публикисвидетельства о летающих тарелках. Яотносил это мнение к числу предрассудков- и был неправ: в марте 2007 года былообъявлено, что Франция рассекречиваетсобиравшиеся десятилетиями данные онеопознанных летающих объектах.) Поодной из легенд - возможно, придуманнойсамими пифагорейцами в острастку другимнарушителям, - нашёлся преступившийклятву, и он был убит.

Оцениваяоткрытие несоизмеримых отрезков ссовременных позиций, по прошествии двухс половиной тысяч лет, можно усмотретьдва имеющих общекультурное значениеаспекта этого открытия.

Первыйобщекультурный аспект открытиянесоизмеримости заключается в том, чтовпервые было доказательно установленоотсутствие чего-то - в данном конкретномслучае общей меры стороны и диагоналиодного и того же квадрата. Произошёлодин из самых принципиальных поворотовв интеллектуальном развитии человечества.В самом деле, доказать, что что-тосуществует, можно, предъявив это «что-то».Например, если бы гипотеза Ферма оказаласьневерна, то для её опровержения достаточнобыло бы предъявить тройку Ферма. Но какдоказать, что чего-то нет? Если искомое«что-то» заведомо содержится в известнойи ограниченной совокупности, то, вообщеговоря, можно перебрать все элементыэтой совокупности и убедиться, что ниодин из них нам не подходит. Но чтоделать, если искать наше «что-то» надлежитв совокупности необозримой? А именноэта ситуация и имеет место при поискеобщей меры: ведь искать её приходитсяв необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остаётся единственныйспособ: доказывать отсутствие не путёмнепосредственного наблюдения, а путёмлогического рассуждения. Такой способи был применён пифагорейцами.

Сегоднятрудно сказать, как именно рассуждалив школе Пифагора, доказывая несоизмеримостьстороны квадрата и его диагонали. Отстарых времён дошло до нас чистогеометрическое, и притом чрезвычайноизящное, доказательство отсутствияобщей меры, но является ли оно тем самымпервоначальным доказательством - этонеизвестно. Сейчас наиболее популярносведбение вопроса к вопросу из теориичисел. Именно используя прямую и обратнуютеоремы Пифагора, легко обнаружить, чтонесоизмеримость стороны и диагоналиквадрата равносильна невозможностирешить в целых числах уравнение 2x 2= y 2. (Мы говорим здесь лишь оположительных целых числах; разумеется,нулевые значения икса и игрека даютрешение.) Боюсь, что в нашей среднейшколе эту равносильность не разъясняют,а очень надо бы: на этом примередемонстрируется и соотношение междупрямой и обратной теоремами, и то, какодна невозможность перетекает в другую.Доказательство же указанной равносильностипроисходит очень просто и состоит, каки доказательство любой равносильности,из двух частей. В первой части доказывается,что если бы диагональ и сторона квадратабыли соизмеримы, то существовали бытакие целые числа x и y , что 2x 2 = y 2. Во второй части доказываетсяобратное утверждение: если бы такиечисла существовали, то и диагональоказалась бы соизмерима со стороной. Впервой части используется прямая теоремаПифагора: если диагональ и сторонасоизмеримы, то их общая мера укладываетсяв стороне какое-то число x раз, а вдиагонали какое-то число y раз; тогдапо теореме Пифагора 2x 2 = y 2. Вовторой части используется обратнаятеорема Пифагора: если найдутся такиецелые числа x и y , что 2x 2 = y 2, то по этой обратной теореме треугольникс длинами сторон x , x и y будет прямоугольным и его можно достроитьдо квадрата со стороной длины x идиагональю длины y . Таким образом,великое пифагорейское открытие былоне только замечательным само по себе,но и проложило дорогу к установлениюотсутствия решений у уравнений.Обнаружить, что какое-то уравнение неимеет решения (в целых числах, как внашем примере, или в действительныхчислах, как уравнение x 2 = -1), подчасбывает не менее важно, чем его решить.Заметим ещё, что доказательство отсутствияцелочисленных решений у уравнения 2x 2 = y 2 настолько просто, что доступношкольнику младших классов; боюсь, чтов школах его не излагают.

Разговоро несуществованиях решений мы продолжимв главах 5 и 6, а пока укажем второйобщекультурный аспект открытия явлениянесоизмеримости. Этот второй аспектзаключается в том, что открытиенесоизмеримости привело, хотя и оченьне сразу, к понятию действительногочисла, лежащему в основе не толькоматематики, но и всего современногоестествознания и современной техники.