Глава2. Теорема Пифагора и теорема Ферма

Вкажущемся противоречии с настойчивымподчёркиванием, что в данном очерке насинтересует именно непрактический,неприкладной аспект математики, мыпредполагаем весьма и весьма поучительнымвключение в «джентльменский набор»математических представлений знаниетого, почему треугольник со сторонами3, 4, 5 назывется египетским . А всёдело в том, что древнеегипетские строителипирамид нуждались в способе построенияпрямого угла. Вот требуемый способ.Верёвка разбивается на 12 равных частей,границы между соседними частямипомечаются, а концы веревки соединяются.Затем верёвка натягивается тремя людьмитак, чтобы она образовала треугольник,а расстояния между соседними натягивателямисоставляли бы, соответственно, 3 части,4 части и 5 частей. В таком случаетреугольник окажется прямоугольным, вкоем стороны 3 и 4 будут катетами, асторона 5 - гипотенузой, так что уголмежду сторонами 3 и 4 будет прямым. Боюсь,что большинство читателей в ответ навопрос «Почему треугольник окажетсяпрямоугольным?» сошлётся на теоремуПифагора: ведь три в квадрате плюс четырев квадрате равно пяти в квадрате. Однакотеорема Пифагора утверждает, что еслитреугольник прямоугольный, то в этомслучае сумма квадратов двух его сторонравна квадрату третьей. Здесь жеиспользуется теорема, обратная ктеореме Пифагора: если сумма квадратовдвух сторон треугольника равна квадратутретьей, то в этом случае треугольникпрямоугольный. (Не уверен, что этаобратная теорема занимает должное местов школьной программе.)

Кажущеесяпротиворечие, упомянутое в началеабзаца, заключается в том, что, обещавговорить о неутилитарном аспектематематики, мы сразу же перешли к еёпрактическому применению. Оно потомуназвано кажущимся, что описанноеприменение обратной теоремы Пифагорапринадлежит далёкому прошлому. Сейчаседва ли кто-либо строит прямой уголуказанным способом: этот способпереместился из мира практики в миридей - как и вообще многие воспоминанияо материальной культуре прошлого вошлив духовную культуру настоящего.

Изложеннаятолько что тема содержит в себе триподтемы: прямой угол, треугольник иравенство 32 + 42 = 52. В каждой из этих подтемможно усмотреть некие элементы,относящиеся к тому, чтбо автор этихстрок понимает под общечеловеческойкультурой. Приведём примеры такихэлементов.

Спервао понятии прямого угла. Это понятиеможет быть использовано для интеллектуальногообогащения. Поставим такую задачу:объяснить, какой угол называется прямым,но объяснить не на визуальных примерах,а вербально - например, по телефону. Вотрешение. Надо попросить собеседникамысленно взять две жерди, соединить ихкрест-накрест и заметить, что в точкесоединения сходятся четыре угла; есливсе эти углы окажутся равными другдругу, то каждый из них и называют прямым.Какая же тут духовная культура, еслиречь идёт о жердях! - возмутится критическинастроенный читатель. Но суть здесь,конечно же, не в жердях, а в опытевербального определения одних понятийчерез другие. Такой опыт поучителен иполезен, а возможно, что и необходим.Математика вообще представляет собоюудобный полигон для оттачивания искусстваобъяснения. Адресата объяснений следуетпри этом представлять себе тем внимающимафинскому софисту любопытным скифом,о котором писал Пушкин в послании «Квельможе». Объяснение признаётсяуспешным, если есть ощущение, чтолюбопытный скиф его поймёт.

Теперь- пример из жизни треугольников. Речьпойдёт о триангуляции. Триангуляция -это сеть примыкающих друг к другу,наподобие паркетин, треугольниковразличной формы; при этом существенно,что примыкание происходит целымисторонами, так что вершина одноготреугольника не может лежать внутристороны другого. Триангуляции сыграливажнейшую роль в определении расстоянийна земной поверхности, а тем самым и вопределении фигуры Земли.

Потребностьв измерении больших, в сотни километров,расстояний - как по суше, так и по морю- появилась ещё в древние времена.Капитаны судов, как известно из детскихкниг, меряют расстояния числом выкуренныхтрубок. Близок к этому метод, применявшийсяво II веке до н. э. знаменитым древнегреческимфилософом, математиком и астрономомПосидонием, учителем Цицерона: морскиерасстояния Посидоний измерял длительностьюплавания (с учётом, разумеется, скоростисудна). Но ещё раньше, в III веке до н. э.,другой знаменитый древний грек, заведующийАлександрийской библиотекой математики астроном Эратосфен, измерял сухопутныерасстояния по скорости и времени движенияторговых караванов. Можно предполагать,что именно так Эратосфен измерилрасстояние между Александрией и Сиеной,которая сейчас называется Асуаном (еслисмотреть по современной карте, получаетсяпримерно 850 км). Это расстояние было длянего чрезвычайно важным. Дело в том, чтоЭратосфен считал эти два египетскихгорода лежащими на одном и том жемеридиане; хотя это в действительностине совсем так, но близко к истине.Найденное расстояние он принял за длинудуги меридиана. Соединив эту длину снаблюдением полуденных высот Солнцанад горизонтом в Александрии и Сиене,он, далее, путём изящных геометрическихрассуждений, вычислил длину всегомеридиана, а тем самым и величину радиусаземного шара.

Ещё вXVI веке расстояние (примерно стокилометровое)между Парижем и Амьеном определялосьпри помощи счёта оборотов колеса экипажа.Очевидна приблизительность результатовподобных измерений. Но уже в следующемстолетии голландский математик, оптики астроном Снеллиус изобрёл излагаемыйниже метод триангуляции и с его помощьюв течение 1615 - 1617 годов измерил дугумеридиана, имеющую угловой размер водин градус и одиннадцать с половинойминут.

Посмотрим,как триангуляция позволяет определятьрасстояния. Сперва триангулируетсяполоса земной поверхности, включающаяв себя оба пункта, расстояние междукоторыми хотят найти. Затем выбираетсяодин из треугольников триангуляции;будем называть его начальным. Далеевыбирается одна из сторон начальноготреугольника. Она объявляется базой, и ее длина тщательно измеряется. Ввершинах начального треугольникастроятся вышки - с таким расчётом, чтобыкаждая была видна из других вышек.Поднявшись на вышку, расположенную водной из вершин базы, измеряют угол, подкоторым видны две другие вышки. Послеэтого поднимаются на вышку, расположеннуюв другой вершине базы, и делают то жесамое. Так, в результате непосредственногоизмерения, возникают сведения о длинеодной из сторон начального треугольника(а именно о длине базы) и о величинеприлегающих к ней углов. По формуламтригонометрии вычисляются длины двухдругих сторон этого треугольника. Каждуюиз них можно принять за новую базу,причём измерять её длину уже не требуется.Применяя ту же процедуру, можно теперьузнать величины сторон и углов любогоиз треугольников, примыкающих кначальному. И так далее. Важно осознать,что непосредственное измерениекакого-либо расстояния проводитсятолько один раз, а дальше уже измеряютсятолько углы между направлениями навышки, что несравненно легче и можетбыть сделано с высокой точностью. Позавершении процесса оказываютсяустановленными величины всех участвующихв триангуляции отрезков и углов. А это,в свою очередь, позволяет находить любыерасстояния в пределах участка поверхности,покрытого триангуляцией. Именно так вXIX веке была найдена длина дуги меридианаот Северного Ледовитого океана до Дуная.Триангуляция содержала 258 треугольников,длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобыподавить неточности, при измеренияхнеизбежные, а при вычислениях возможные,десять баз были подвергнуты непосредственномуизмерению на местности.

Формулытригонометрии, упомянутые выше, входятв школьную программу. Подавляющемубольшинству после школы они никогда непонадобятся, разве что на вступительныхэкзаменах, и их можно спокойно забыть.Знать - и не только знать, но и осознавать,понимать надо следующее (и именно этовходит в обязательный, на наш взгляд,интеллектуальный багаж): треугольникоднозначно определяется заданием любойего стороны и прилегающими к ней углами,и этот очевидный факт может бытьиспользован и реально используется дляизмерения расстояний методом триангуляции.Если всё же кому-нибудь когда-нибудь ипонадобятся формулы тригонометрии, ихлегко можно будет найти в справочниках.Учат ли в наших школах пользоватьсясправочниками? А ведь это умениенесравненно полезнее, чем помнитьформулы наизусть.

Наконец,о равенстве 32 + 42 = 52. Если положительныечисла a, b, c обладают тем свойством,что a 2+ b 2= c 2, то, пообратной теореме Пифагора, они представляютсобою длины сторон некоторогопрямоугольного треугольника; если оник тому же суть числа целые, их называютпифагоровыми . Вот ещё примерпифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникаетестественный вопрос, а что будет, еслив соотношении, определяющем пифагоровычисла, заменить возведение в квадратна возведение в куб, в четвёртую, пятуюи так далее степень? Можно ли привестипример таких целых положительных чиселa, b, c, чтобы выполнялось равенствоa 3+ b 3= c 3, или равенствоa 4+ b 4= c 4, или a 5+ b 5= c 5 и т. п.? Любую тройку целыхположительных чисел, для которыхвыполняется одно из указанных равенств,условимся называть тройкой Ферма .

Толькочто сформулированным вопросомзаинтересовался великий французскийматематик середины XVII века Пьер Ферма(вообще-то он занимался математикой, азаодно и оптикой, как хобби: служебныеего обязанности состояли в заведованииотделом петиций тулузского парламента).Поиски требуемых примеров ни к чему непривели, и Ферма пришёл к убеждению, чтоих не существует. Утверждение онесуществовании троек Ферма принятоназывать Великой теоремой Ферма .Строго говоря, его следовало бы называтьВеликой гипотезой Ферма , посколькуавтор утверждения не оставил нам егодоказательства. Всё, что Ферма оставилпотомкам на эту тему, - это две латинскиефразы, написанные им около 1637 года наполях изданной в 1621 году в Париже надвух языках, греческом и латинском,«Арифметики» древнегреческого математикаДиофанта. Указанное издание обладалоширокими полями, и когда у Ферма появлялисьте или иные мысли по ходу чтения, онзаписывал их на этих полях. И вот какиедве фразы он, в частности, написал -приводим эти фразы в переводе: «Невозможнодля куба быть записанным в виде суммыдвух кубов, или для четвёртой степенибыть записанной в виде суммы двухчетвёртых степеней, или вообще длялюбого числа, которое есть степеньбольше двух, быть записанным в видесуммы двух таких же степеней. Я нашёлпоистине удивительное доказательствоэтого предложения, но оно не уместитсяна полях [hanc marginis exiguitas non caperet; буквально: скудость поля его не вмещает]».

Своихматематических открытий Ферма никогдане публиковал, часть их (да и то бездоказательств) сообщалась им в частнойпереписке, а часть стала известнойтолько после его смерти в 1665 году. Кчислу последних принадлежит и Великаятеорема: в 1670 году старший сын Пьерапереиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику»,включив в издание и 48 примечаний,сделанных его отцом на полях. Лишь в1994 г. Эндрю Уайлз при участии своегоученика Ричарда Тэйлора доказал наконецВеликую теорему - и притом доказал сиспользованием всей мощи современнойматематики, так что если сам Ферма ивладел доказательством (что более чемсомнительно), то заведомо не таким. А дотого Великая теорема оставалась Великойгипотезой.

Задачадоказать гипотезу Ферма составиласодержание Проблемы Ферма . Простотаформулировки проблемы, доступнойшкольнику младших классов, делала еёпривлекательной для широких круговлюбителей. Привлекательность усиливаласьдавностью постановки и ореолом некоейтаинственности, сопутствующей постановке.А тут ещё в 1908 году была объявлена премияв сто тысяч германских марок за решениеПроблемы Ферма. Вскоре мировая войнаобесценила премию, но было уже поздно:слух о премии привлёк к Проблеме Фермаещё больше «старателей». Возникла особаяразновидность людей, называемыхферматистами . Ферматисты - это люди,не имеющие специального математическогообразования, фанатично убеждённые втом, что они решили Проблему Ферма, инастойчиво ищущие признания. Признанияони, естественно, не получили, но, заваливсвоими рукописями математическиекафедры ряда крупных западныхуниверситетов, заставили эти кафедрызанять оборонительную позицию:университеты стали возвращать авторамлюбые доказательства Великой теоремыФерма, прилагая при этом стандартноеписьмо с указанием, что доказательствобудет рассмотрено только после полученияденежного залога. А известный гётттингенскийпрофессор Эдмунд Ландау (избранный в1932 году иностранным почётным членомАкадемии наук СССР) даже изобрёлспециальный бланк, который он поручалзаполнять своим аспирантам: «Дорогойсэр (мадам)! Мы получили Ваше доказательствоВеликой теоремы Ферма. Первая ошибканаходится на странице…, строка…»

Одногоиз ферматистов мне довелось увидеть вмои студенческие годы. Сейчас я об этомрасскажу. (Недоброжелательно настроенныйчитатель возразит, что рассказ оферматисте не имеет отношения к заявленнойтеме - о месте математики в общечеловеческойдуховной культуре; на наш взгляд - имеет.)Дело происходит в 1950 году или около тогов Москве. Я нахожусь в одной из редакций,расположенных на Большой Калужскойулице (сейчас это начало Ленинскогопроспекта). В редакцию входит другойпосетитель и просит разрешения позвонитьпо телефону; в те годы вход в офисы ещёне охранялся ни охранниками, ни кодовымизамками. Посетитель живописен: худ,длинноволос и держит в руках сетчатуюавоську, в которой лежит скрипка. Какмне потом расскажут знающие люди, онзарабатывал на жизнь, играя на этойскрипке на палубе речных теплоходов.На моих глазах, а также ушах, он делаетдва звонка. Первый звонок: «Это Московскийуниверситет? Попросите, пожалуйста, ктелефону ректора. Ах, ректор занят и неможет подойти? Дело в том, что я посылална его имя ценное письмо с решениемпроблемы Ферма и хотел бы узнатьрезультат. Ну хорошо, я позвоню позже».Второй звонок: «Это Академия наук?Попросите, пожалуйста, к телефонупрезидента. Ах, президент занят и неможет подойти? Дело в том, что я посылална его имя ценное письмо с решениемпроблемы Ферма и хотел бы узнатьрезультат. Ну хорошо, я позвоню позже».Позвонив, он вежливо благодарит иудаляется.

Ноотнюдь не все советские ферматисты былистоль травоядны. Часто, не найдя поддержки,они писали жалобу в так называемый«директивный орган», то есть в ЦК КПСС.В жалобе указывалось, что имеетсявозможность показать Западу кузькинумать и в очередной раз продемонстрироватьвсему миру приоритет советской науки,предъявив решение знаменитой проблемы,а нехорошие люди чинят этому препятствия.К жалобе прилагалась рукопись. А инойраз рукопись и не сопровождалась жалобой,а сразу посылалась в ЦК. В обоих вариантахЦК переправлял рукопись тому же ректоруМосковского университета или тому жепрезиденту Академии наук. А далее она,украшенная грозными резолюциями,спускалась вниз, на кафедру или в отдел.Теперь уже отмахнуться было невозможнои приходилось разбираться в заведомоложном доказательстве, отыскивая в нёмошибку. Когда-то я прикинул, скольковремени профессиональные математикивынуждены тратить на переписку сферматистами (переписку бесплодную,поскольку истинного ферматистапереубедить невозможно), - прикинул иужаснулся.

Всравнительно редких случаях ферматистуудавалось опубликовать свой труд. (Этосейчас за счёт автора можно опубликоватьчто угодно, а в советское время дажексероксы находились под строжайшимконтролем, что уж говорить об издательствахи типографиях.) В частности, это удалосьВиктолию Будкину. В 1975 году расположенноев Ярославле Верхне-Волжское книжноеиздательство выпустило пятитысячнымтиражом его брошюру «Методика познания„истины”. Доказательство великойтеоремы Ферма». То, что написано на еёстранице 45, весьма типично для самоосознанияферматиста: «Итак, сменилось 13 поколенийлюдей, а Великая теорема Ферма осталасьещё не доказанной. Только в настоящейработе впервые приводится полноедоказательство теоремы в общем виде».

Казалосьбы, после того как доказательство теоремыФерма было не только найдено (в сентябре1994 г.), но и опубликовано (в 1995 г.) и признаномировой математической общественностью,с ферматизмом как с явлением будетпокончено. Не тут-то было - ряды ферматистовхотя и поредели, но не иссякли. Сведенияо том, что Великая теорема доказана,дошли не до всех: ведь, повторяю, ферматистыне являются математиками (хотя имеющиетехническое образование часто считаютсебя таковыми). А многие из тех, до когои дошло, продолжали искать какое-нибудьпростое доказательство. В Россииферматизм дал неожиданную вспышку вавгусте 2005 года. К «Новой газете» я питалуважение и - до того августа - доверие ине думал, что когда-либо выступлю еёоппонентом; но приходится. Номер 61 газетыот 22 августа 2005 года открывался крупными чуть ли не цветным заголовком«ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?»;сообщалось, что «омский академикАлександр Ильин предложил простоедоказательство знаменитой теоремыФерма». Заместителю главного редакторагазеты О. Н. Хлебникову я пытался объяснитьнакануне, то есть 21 августа, что еслидоктор технических наук АлександрИванович Ильин и является академиком,то академиком одной из десятков техакадемий, кои, как грибы, возникли у насв постсоветское время (одних толькоакадемий энергоинформационных наукдве: Международная и Сибирская) - ноникак не членом Российской академиинаук (РАН); попытки мои успеха не имели;Олег Никитович отвечал, что он знаетточно: А. И. Ильин - член РАН. Более того,через неделю, в № 63 от 29 августа 2005 года,та же газета сообщала, что «академикиНовиков и Никитин решение теоремы Фермауже видели и ошибок в нем не нашли». Надоли объяснять читателю, что г-да Новикови Никитин (как, впрочем, и А. И. Ильин) неявлялись не только членами РАН, но иматематиками? Некоторое время сенсациясверкала на экранах телевизоров и вразличных газетах, не говоря уже обИнтернете. Потом как-то тихо всё сошлона нет. Ферматизм тоже часть человеческойкультуры - но ведь не материальной же,а значит, духовной.

Вкачестве завершения темы снова вернусьв 1950-е годы. Посетителя офиса на БольшойКалужской мне довелось увидеть ещё одинраз. Это произошло на третьем этаже дома9 по Моховой улице, в канцеляриимеханико-математического факультетаМосковского университета, где я тогдаучился. Всё с той же скрипкой в авоськеон вошёл в канцелярию, попросил листбумаги и, примостившись у стола, сталписать. Не в силах сдержать любопытства,я заглянул ему через плечо. Каллиграфическимпочерком выводились буквы: «…бывшегостудента ‹…› Императорского университетапрошение…» (какого именно университета- не помню). Затем он попросил указатьему специалиста по теории чисел. Вкачестве такового ему был названзаведующий кафедрой теории чиселчлен-корреспондент Гельфонд. В это времяпо коридору шёл член-корреспондентГельфанд, к теории чисел отношения неимеющий. Услышав его фамилию, бывшийстудент Императорского университетабросился к нему навстречу. Всем былоизвестно, что Гельфанд - математиквеликий, но непредсказуемый и легкоможет нахамить. Я не стал дожидатьсястолкновения двух тел и в страхе убежал.