Спасибо, что скачали книгу в бесплатной электронной библиотеке Royallib.ru

Все книги автора

Эта же книга в других форматах

Приятного чтения!

УспенскийВладимир Андреевич - Апология математики,или О математике как части духовнойкультуры

Успенский Владимир Андреевич - докторфизико-математических наук, профессор,заведующий кафедрой математическойлогики и теории алгоритмовмеханико-математического факультетаМГУ им. М. В. Ломоносова. Родился в 1930году. Автор филологических икультурологических статей, опубликованныхв журналах “Новое литературноеобозрение”, “Неприкосновенный запас”и других изданиях. Постоянный автор“Нового мира”.

Мира восторг беспредельный

Сердцу певучему дан.

А. Блок, “Роза и Крест”.

Наука умеет много гитик.

К люч к карточному фокусу

.

Глава1. Ватсон против Холмса

"Человекотличается от свиньи, в частности, тем,что ему иногда хочется поднять головуи посмотреть на звёзды”. Это изречениепринадлежит Виктору Амбарцумяну (в 1961- 1964 гг. президенту Международногоастрономического союза). А почти задвести лет до того на ту же тему высказалсяИммануил Кант. Кант поставил звёздноенебо, по силе производимого впечатления,на один уровень с пребывающим внутричеловека, и прежде всего внутри самогоКанта, нравственным законом. Этивысказывания объявляют усеянное звёздаминебо частью общечеловеческой духовнойкультуры и, более того, такой её частью,которая для всякого человека должнабыть обязательной. Трудно представитьчеловека, не впечатлявшегося видаминеба. (Впрочем, воспоминания переносятменя в осень 1947 года, на лекцию поастрономии для студентов первого курсамеханико-математического факультетаМГУ. Лекцию читает профессор Куликов.Он делает нам назидание. “В прошломвеке профессор Киевского университетаМитрофан Хандриков, - говорит профессорКуликов, - на экзамене спросил студента,каков видимый размер Луны во времяполнолуния, и получил ответ, что тот неможет этого знать, поскольку никогдане видал Луны”.)

Хотяприведённые выше высказывания о ролизвёздного неба в духовной культуречеловека и не содержат прямого заявленияо включении в эту культуру сведений обустройстве небесного свода, косвеннотакое включение происходит. Неотъемлемойчастью цивилизации является то или иноепредставление об указанном устройстве- хотя бы признаваемое в наши днисовершенно фантастическим, как, например,такое: “А Земля - это только лишь плесеньв перевёрнутой неба корзине; звёзды -это свет другого мира, к нам просвечивающийсквозь дно корзины, сквозь бесчисленныемаленькие дыры, не затёртые небеснойглиной”. Человек, вовсе не имеющийпредставлений об устройстве мироздания,признаётся окружающими выпадающим изкультуры. Вспомним изумление доктораВатсона, обнаружившего вскоре послевселения в знаменитый дом 221b поБейкер-стрит, что Холмс не знал, чтоЗемля вертится вокруг Солнца. И дажесчитал знать это совершенно излишним.“Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мывращаемся вокруг Солнца, - возражалХолмс. - А если бы я узнал, что мы вращаемсявокруг Луны, много бы это помогло мнеили моей работе?” Вот здесь очень важныймомент. Холмс признаёт нужным знатьтолько то, что может быть использованов практических целях. Ватсон считает -и, очевидно, исходит из того, что читателиего записок разделяют эту его точкузрения, - что некоторые знания являютсяобязательными независимо от ихпрактического применения. При всёмуважении к великому сыщику, согласимсяс доктором.

Итак,есть определённый объём непрактическихзнаний, обязательный для всякогокультурного человека (несмотря наизвестное дурновкусие выражения“культурный человек”, в целях ясностиизложения приходится его употреблять).Мы полагаем, что в этот объём входят инекоторые из тех математическихпредставлений, которые не связаны сутилитарным использованием математики.Указанные представления состоят нетолько из фактов, но и из понятий иметодов оперирования с этими понятиями.

Рольматематики в современной материальнойкультуре, а также роль её элементарныхразделов в повседневном быту достаточноизвестны, и об этом можно позволить себене говорить. В этом очерке мы собираемсяговорить о математике как о частикультуры духовной.

Математическиеидеи могут вызывать эмоции, сравнимыес эмоциями, возникающими при чтениилитературных произведений, слушаниимузыки, созерцании архитектуры. Ксожалению, закостеневшие способыпреподавания математики редко позволяютощутить её эстетическую сторону,доступную, хотя бы частично, отнюдь нетолько математикам. Математиками жеэта сторона ощущается с полной ясностью.Вот что писал выдающийся математик,учитель великого Колмогорова, НиколайНиколаевич Лузин (1883 - 1950): “Математикиизумляются гармонии чисел и геометрическихформ. Они приходят в трепет, когда новоеоткрытие открывает им неожиданныеперспективы. И та радость, которую онипереживают, разве это не есть радостьэстетического порядка, хотя обычныечувства зрения и слуха здесь не участвуют.‹…› Математик изучает свою науку вовсене потому, что она полезна. Он изучаетеё потому, что она прекрасна. ‹…› Яговорю о красоте более глубокой, [чемта, которая поражает наши чувства,]проистекающей из гармонии и согласованностивоедино всех частей, которую один лишьчистый интеллект и сможет оценить.Именно эта гармония и даёт основу темкрасочным видимостям, в которых купаютсянаши чувства. ‹…› Нужно ли ещё прибавлять,что в развитии этого чувства интеллектуальнойкрасоты лежит залог всякого прогресса?”

Являясь(через Колмогорова) научным внукомЛузина, автор настоящего очерка ссочувствием относится к формуле“математика для математики”, образованнойпо аналогии с известным слоганом“искусство для искусства”. Однако всёне так просто. Следует огорчить любителейчистого разума и утешить сторонниковпрактической пользы. Опыт развитияматематики убеждает, что самые, казалосьбы, оторванные от практики её разделырано или поздно находят важные применения.Всю первую половину XX века математическаялогика рассматривалась как наука,занятая исключительно проблемамилогического обоснования математики,как своего рода философский анклав вматематике; в СССР она находилась подподозрением со стороны борцов совсевозможными “измами”, и перваякафедра математической логики былаоткрыта лишь в 1959 году. Сегодняматематическая логика переплетена стеоретической информатикой (TheoreticalComputer Science) и служит для последнейфундаментом. Теория чисел, одна издревнейших математических теорий,долгое время считалась чем-то вродеигры в бисер. Оказалось, что без этойтеории немыслима современная криптография,как и другие важные направления,объединённые названием “защитаинформации”. Специалисты по теоретическойфизике интересуются новейшими разработкамиалгебраической геометрии и даже такойабстрактной области, как теория категорий.

Применениематематики в физике не ограничиваетсячисловыми формулами и уравнениями. Её,математики, абстрактные конструкциипозволяют лучше понять природу техфизических явлений, изучение которыхнаходится на передовом крае науки.Поясним сказанное с помощью историческойаналогии. Когда-то считали, что Земляплоская. Ничего другого в то время простоне могло прийти в голову. Затем пришлик мысли о её шарообразности. Вряд лисама эта мысль была бы возможна, необладай человеческое сознание ужеготовым представлением о шаре. Точнотак же долгое время считалось очевидным,что окружающее нас физическое пространствоесть самое обычное трёхмерное евклидовопространство из школьного курсагеометрии. В этом были уверены все,включая тех, кто не знал учёной терминологиии потому не пользовался термином“евклидово пространство” (вспомниммольеровского Журдена, не знавшего, чтоговорит прозой). И действительно, а какже может быть иначе? Первые сомнениявозникли в XIX веке независимо в Германииу Гаусса и в России у Лобачевского. Онипервыми осознали не только существованиенеевклидовой геометрии как математическогообъекта, но и возможность неевклидовогостроения нашего мира (мы коснёмся этойтемы в главе 8). Лобачевского тогда никтоне понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс,предчувствуя непонимание, ни с кем неделился своим прозрением. Теорияотносительности подтвердила указаннуюнеевклидовость, предсказав прогибаниепространства под воздействием массивныхтел, что, в свою очередь, было подтвержденонаблюдаемым искривлением луча светавблизи таких тел. Некоторые свойствапространства и времени оказалисьпарадоксальными, другие остаютсянеизвестными. Вместе с тем познаниеэтих свойств может оказаться жизненноважным для человечества. Математикапредлагает уже готовые модели, позволяющиелучше понять эти свойства, в особенностиже свойства парадоксальные, противоречащиеповседневному опыту. Более точно, вматематике построены такие структуры,которые обладают требуемыми свойствами.

Здесьмы прикоснулись к важной философской,а именно гносеологической, теме. Толькочто упомянутое представление о шаре,столь необходимое для осознания фигурыЗемли, находило поддержку в повседневномопыте - а именно в наблюдении шарообразныхпредметов, как природных (яблок, тыкв,ягод, катимых скарабеями навозныхшариков и т. п.), так и искусственных(например, пушечных ядер). И когдапотребовалось узнать фигуру Земли,оставалось лишь воспользоватьсяназванным представлением. Иначе обстоитдело с попытками познания строенияВселенной. Повседневный опыт не даёттребуемых геометрических форм. Оказалось,однако, что хотя такими формами и необладают предметы, доступныенепосредственному созерцанию, эти формыпредставлены в уже обнаруженныхструктурах математики. Поскольку этиматематические структуры точно описаны,нетрудно, при желании, понять, как в нихреализуются свойства мироздания - дажете, которые кажутся парадоксальными. Атогда остаётся допустить, что геометрияреального мира хотя бы отчасти выглядиттак, как геометрия этих структур. Такимобразом, математика, не давая ответ навопрос, как оно есть в реальном мире,помогает понять, как оно может быть -что не менее важно: ведь как оно есть мывряд ли когда-нибудь узнаем до конца.(В главе 9 мы вернёмся к этой теме.) И этупомощь, которую оказывает математикав познании мира, также следует вписатьв перечень её приложений.

Какговорил один из самых крупных математиковXX века Джон фон Нёйман (1903 - 1957): “Вконечном счёте, современная математиканаходит применение. А ведь заранее неясно, что так должно быть”.

Нередкоутверждают, что математику следуетрассматривать как часть физики, посколькуона описывает внешний физический мир.Но с тем же успехом её можно считатьчастью психологии, поскольку изучаемыев ней абстракции суть явления нашегомышления и тем самым должны проходитьпо ведомству психологии. Взять, например,такое основное (и, может быть, самоеглавное) понятие математики, как понятиенатурального числа, то есть числа,являющегося одновременно и целым, иположительным (иногда к натуральнымчислам причисляют ещё и число ноль, кчему есть серьёзные основания!). Ведьпоказать, скажем, число пять невозможно,можно только предъявить пять пальцевили пять иных предметов. Уже здесь нетакая уж малая степень абстракции. Ещёболее высокая степень абстракции вчисле пять септиллионов: ясно, чтопредъявить столько предметов невозможно.И уж совсем высокая (и одновременноглубокая) абстракция заключена в понятиинатурального числа вообще и натуральногоряда как совокупности всех натуральныхчисел. Здесь поле, только начатоераспахиваться психологией. Упоминавшийсяуже Лузин, который был не толькоматематиком, но и философом (и даже егоизбрание в 1929 году в Академию наук СССРпроизошло “по кафедре философии”), таквысказывался на эту тему: “По-видимому,натуральный ряд чисел не представляетиз себя абсолютно объективногообразования. По-видимому, он представляетсобой функцию головы того математика,который в данном случае говорит онатуральном ряде”.

Тем неменее два математика на разных континентахприходят к одним и тем же выводам освойствах натурального ряда чисел, хотяникто из них не может наблюдать числавнешним зрением, а лишь зрением внутренним- внутри собственной мысли. В этомтруднообъяснимом единстве взглядов наидеальные сущности некоторые усматриваютдоказательство существования Бога.

Итак,мы отстаиваем два тезиса. Первый, чтоматематика - вне зависимости от еёпрактического использования - принадлежитдуховной культуре. Второй, что отдельныефрагменты математики входят вобщеобязательную часть этой культуры.

Что жекасается вопроса, чтбо именно изматематики, причем из математикинеприкладной, должно входить вобщеобязательный культурный минимум,то однозначный ответ на этот вопросвряд ли уместен. Каждый должен определятьэтот минимум для себя. Задача общества- предоставить своему члену ту информациюо математических понятиях, идеях иметодах, откуда этот субъективныйминимум можно было бы выбирать. Вообще,знание есть дело добровольное, и насилиетут неуместно. На ум приходит замечательноевысказывание, принадлежащее Сухарто(второму президенту Индонезии - не путатьс первым её президентом, Сукарно): “Внаше время чрезвычайно трудно заставитького-либо сделать что-либо добровольно”.Иногда, тем не менее, в дальнейшемизложении будут встречаться рекомендациио включении в математический минимумтех или иных знаний; эти рекомендациине предлагаются как нечто категорическоеи даются лишь в качестве возможныхпримеров и материала для дальнейшегообсуждения. Школьная программа поматематике - слишком болезненная тема,чтобы её здесь затрагивать (хотя этатема не может не волновать, посколькукасается миллионов наших детей).Ограничусь мнением, что хорошо бы в этойпрограмме устранить перекос ввычислительную сторону математики иуделить больше внимания сторонекачественной, не связанной непосредственнос вычислениями.

Замечув заключение, что математика входит вмировую культуру и своим этическимаспектом. Наличие такового у математикиможет показаться странным. Он, однако,есть. Математика не допускает лжи. Онатребует, чтобы утверждения не простопровозглашались, но и доказывались. Онаучит задавать вопросы и не боятьсянепонимания ответов. Она по природедемократична: её демократизм обусловленхарактером математических истин. Ихнепреложность не зависит от того, ктоих провозглашает, академик или школьник.Приведу такой пример. Некий третьекурсникмеханико-математического факультетаМГУ осмелился опровергнуть одно изутверждений лектора, лектором же былне кто иной, как сам Колмогоров. Послечего третьекурсник был немедленноприглашён Колмогоровым посетить егодачу, где и был произведён в ученики.

Данныйтекст писался не для математиков, аскорее для гуманитариев. Поэтому приего составлении в ряде случаев приходилосьвыбирать между понятностью и точностью.Предпочтение отдавалось понятности.(Достигнуть абсолютной точности всёравно невозможно. Невозможно, впрочем,достигнуть и абсолютной понятности -как и вообще чего-либо абсолютного.) Занеточность прошу прощения у математиков,а всякому, любезно указавшему нанепонятное место, приношу искреннююблагодарность.