Шпоры по отуис, 1ый семестр (Иванов НН) [6584 вопросов] / Otvety_k_ekz_OTUiS_Dnevnoe_12-13_1

4)Резонансные частоты - частоты собственных колебаний деталей механизма. При изменении скорости вращения вала они остаются при этом неизменными. Это критерий распознавания.

5)Негармонические колебания – говорят о повреждении подшипников качения или зубчатых колес механизма. На спектре появляются характерные полосы – признак повреждения этих частей механизма.

6)Другие (не рассматриваем).

45.Атомная спектроскопия.

Когда электрон совершает переход с одной орбиты атома на другую, он изменяет свою энергию. При этом за счет внешнего воздействия энергия может увеличиваться (электрон поглощает энергию) или уменьшаться (электрон выделяет энергию).

В случае массового выделения энергии электроны излучают сигнал (частицы), который может быть зафиксирован чувствительными приборами.

Преобр Фурье этого сигнала укажет разницу орбитальных уровней перехода (квантовая механика).

При излучении сигнала однородным телом, состоящим из атомов одного вещества напр из атомов водорода (атом водорода содержит один протон + один электрон), спектр сигнала будет соответствовать этому веществу. Вещество с другой атомной структурой будет иметь другой спектр, так как излучение, а значит сигнал будут искажен воздействием других элементарных частиц, входящих в атом. Спектры различных химических элементов отличаются всплесками, соответствующими их конкретным резонансным частотам.

Кроме того, если атомы образуют молекулы, то на сигнал, излучаемый атомом, будут воздействовать «близко» расположенные к нему в молекуле другие атомы. Поэтому спектр сигнала от атомов конкретного элемента будет искажаться атомами других элементов, входящих в молекулу. Такое изменение резонансных частот элемента в молекуле называется

химическим сдвигом.

Часто химический сдвиг одного элемента позволяет по спектру однозначно определить наличие исследуемом веществе молекул конкретного химического соединения. В некоторых случаях различные химические соединения дают одинаковый химический сдвиг резонансов элемента. В этом случае однозначного ответа на вопрос о составе молекулы дать нельзя.

46.Свертка для фильтрации изображений.

47.Функция распределения дискретной случайной величины.

Пусть дискретная случайная величина X(ω) принимает три значения x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 с вероятностями:

Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины X(ω) по определению равна FX(x) = P{X(ω) ≤ x}, для нашего примера она равна

График этой функции распределения FX(x):

48.Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений. Оно преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое, которое обычно решается проще. Затем полученное решение может быть преобразовано к решению дифференциального уравнения обратным преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t ≥ 0, называется интегральное

(для вычисления такого интеграла те же приемы, как и для преобразования Фурье).

Переменная s комплексная, переменная t тоже может быть комплексной.

Преобразование Лапласа – это оператор L[·] от функции f(t), точнее, это интегральный оператор от f(t).

49. Преобразование Лапласа функции Хевисайда.

При s = 0 преобразование Лапласа сигнала 1(t) не определено

50.Преобразование Лапласа экспоненты.

Если Re (a-s) > 0, то значение определенного интеграла уходит на бесконечность, то интеграл не существует.

Если Re (a-s) = 0, то интеграл от константы также равен бесконечности, то есть не существует.

При Re (a-s) < 0 интеграл существует, преобразование равно

51.Преобразование Лапласа тригонометрических функций.

Подставляем в первую формулу второе выражение и решая полученное уравнение, имеем

Теперь для сигнала Cos ωt (интеграл существует, если Re(s)>0):

А для Sin ωt (интеграл существует, если Re(s)>0) :

52.Свойства преобразования Лапласа.

1.Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t)) + b·L(g(t)).

2.Свойство сдвига по частоте : если Re (s-a) > 0 и L(f) = F, то

L(eat f(t)) = F(s-a).

3.Преобразование производной:

если для некоторого вещественного α>0 функция f(t) ограничена экспонентой:

L( f ( t )) sF( s ) f ( 0 ).

4. Преобразование интеграла: если для некоторого вещественного α>0 функция f(t)

ограничена экспонентой: f (t) Ce t , то:

53. Доказательство дифференциального свойства Лапласа.

 Определим две положительные величины 0, A 0,

и запишем преобразование Лапласа производной через пределы

Вычислим предел первого слагаемого

для первого слагаемого используем ограничение из начального условия

Если f(t) непрерывна, то этот предел равен просто f(0).

54.Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.

Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению RC-цепи. x(t) = С*R * y′(t) + y(t)

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. По свойству линейности получаем:

L(x(t)) = СR L(y′(t)) + L(y(t))

По свойству 3 (преобразование производной) :

L(x) = СR (sL(y)-y(0)) + L(y), пусть начальное условие: y(0) = k. Отсюда L(x) = L(y)(1+CRs) – CRk

То есть

Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального уравнения (но это Лаплас–образ решения!).

Преобразование Лапласа дифференциального уравнения привело к простому алгебраическому уравнению. Теперь нужно вернуться к исходной переменной t, то есть требуется провести обратное преобразование.

Пусть CR=1, x(t) = cos t, k=y(0) = 0. Тогда :

Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем

Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению колебания : y′′(t) + ω2y(t) = r(t)

Дважды применяя свойство преобразования производной, получаем s2 Y(s) – sy(0) – y′(0) + ω2Y(s) = R(s),

где Y и R обозначают Лаплас-образы соответствующих функций. Решая полученное алгебраическое уравнение, получаем:

Пусть ω =1, y(0) = y’(0)=1, r(t) = sin 2t. Тогда :

55.Обратное преобразование Лапласа.

Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами интегрирования от 0 до +∞. Будем предполагать, что для t < 0 функция f(t) = 0.

Обратным преобразованием Лапласа функции F(s) называется интегральное преобразование

Определим обратное преобразование Лапласа функции F(s) как прообраз прямого преобразования.

Это означает, что обратное преобразование вычисляется по таблице прямого преобразования. При этом можно использовать свойства преобразования, что расширяет множество спектральных функций, для которых мы можем найти обратное преобразование.

При этом возникает вопрос существования и единственности Лаплас-прообраза. Мы не рассматриваем эти вопросы.

Более правильный подход состоит в построении обратного преобразования по аналогии с преобразованием Фурье, где мы определяли и прямое и обратное преобразования через интеграл Фурье.

Существуют 2 способа вычисления обратного преобразования Лапласа :

1)вычислять интеграл по прямой линии, лежащей на комплексной плоскости;

2)вычислять интеграл как обратный от Лаплас-образа по таблице преобразования Лапласа.

Первый способ универсальный, но требует хорошей математической подготовки. Обычно инженер не выходит за рамки некоторого набора распространенных функций и использует таблицу.

56. Обратное преобразование Лапласа от рациональной функции.

Функция F(s) называется рациональной, если F(s)

N(s)

D(s)

где N(s) и D(s) – многочлены от переменной s. Значения s, для которых N(s) = 0 называются нулями функции F(s), значения s, для которых D(s) = 0 называются полюсами функции F(s). Рациональная функция с точностью до множителя полностью описывается множествами своих нулей и полюсов.

Для функции

Рациональную функцию F(s) интегрируют простыми правилами. 1) F(s) разлагается в сумму простых дробей,

коэффициенты (в нашем случае k1, k2 ) вычисляют решением линейных уравнений.

2) Для вычисления преобразования применяем таблицу преобразования Лапласа и свойство линейности. Тогда Лапласпрообраз функции F(s):

57. Вычисление преобразования Лапласа от свертки сигналов.

L{ f (t) g(t)} F(s)G(s)

Доказательство:

F ( s )G( s )

В частности, для свертки с некоторыми функциями:

M

L( h( ) (t )d ) H (s)1(s) H (s)

0

M

h( ) (t )d ) L 1 (H (s)) h(t )

0

M

h( ) (t )d ) h(t )

0

58.Вычисление преобразования Лапласа от произведения сигналов.

Обратное преобразование от произведения функций равно свертке их прообразов:

L-1(F(s) G(s)) = f(t)*g(t)

Прямое преобразование от произведения функций равно свертке их образов с коэффициентом:

59. Дискретизация и квантование непрерывного сигнала. Критерий Найквиста.

Дискретный сигнал генерируется (или выбирается из аналогового) в последовательные моменты времени

0, T, 2T, 3T, ….

Величина T > 0 называется интервалом дискретизации.

Квантование сигнала похоже на дискретизацию, только данная процедура производится не со временем, а с амплитуда сигнала x(t). Выбирается набор возможных значение сигнала X0, X1, ..., Xk, ... и значение x(t0) округляется до ближайшего числа из этого набора. Мы будем рассматривать, в основном, неквантованные сигналы.

Квантование сигнала по значениям с постоянным шагом выполняется достаточно просто.

Например, если = 0.1, то есть значения квантуются с шагом 0.1, тогда число 0.125 заменяется на:

Дискретизация сигнала Cos 2πt, частота 2π рад/с, то есть одно колебание в секунду = 1Hz.

Интервала дискретизации T = 0.1 сек.

Если частота сигнала увеличится, то сигнал при дискретизации может быть искажен до неузнаваемости.

Проблему потери сигнала при дискретизации решает критерий Найквиста (Теорема Котельникова). Интервал дискретизации T должен быть в 2 или более раз меньше, чем период сигнала, который дискретизируют, то есть на периоде сигнала должно быть как минимум 2 точки дискретизации.

Это то же самое, что частота дискретизации должна быть в 2 или более раз больше, чем частота сигнала, который дискретизируют.

60.Дискретный сигнал. Уравнение в конечных разностях.

Дискретный выходной сигнал y в момент времени n можно задавать в зависимости от значений входного сигнала x в предыдущие моменты времени, включая и момент n. Кроме того, выходной сигнал y может зависеть от своих значений в предыдущие моменты времени. y(n) b(n 1) y(n 1) b(n 2) y(n 2) ... b(n k) y(n k)

a(n)x(n) a(n 1)x(n 1) ... a(n m)x(n m)

Принято обозначать текущий дискретный момент времени через индекс 0, а предыдущие моменты времени индексами -1,-2,-3, …. Тогда:

y0 b 1 y 1 b 2 y 2 ... b k y k a0 x0 a 1 x 1 ... a m x m

Здесь a и b – числовые коэффициенты.

По этой формуле можно вычислить значение выходного сигнала y в момент времени n, зная значения

1)y на k предыдущих моментах и

2)входного сигнала x на текущем и на m предыдущих моментах.

Предыдущие уравнения называются уравнениями в конечных разностях или разностными уравнениями. По таким уравнениям нетрудно построить аппаратную реализацию объекта, но трудно получить выражение для выходного сигнала в явном виде, что бывает необходимым во многих случаях, например, чтобы провести анализ объекта.

61.z-преобразование. z-преобразование дискретной функции Дирака.

z-преобразованием F(z) дискретного сигнала f(n) называется ряд

62.z-преобразование функции Хевисайда, экспоненты.

z-преобразование дискретной функции Хевисайда :

1, если n 0, 1(n)

0, иначе.

График этой функции

если |z| > 1. Если Re z ≤ 1, z-преобразования для 1(n) не существует.

z-преобразование сигнала 1(n)e an , а > 0. (Экспонента)

Z(e an ) e 0a z0 e 1a z 1 e 2a z 2 ...

Положим c ea ,тогда

если z e a .