Шпоры по отуис, 1ый семестр (Иванов НН) [6584 вопросов] / Otvety_k_ekz_OTUiS_Dnevnoe_12-13_1

26. Функция Хевисайда, ее производная.

d1( x)

dx

( x)

27. Свойства функции Дирака, их доказательства.

Свойства δ-функции :

То есть, чтобы получить значение интеграла, равное 1, нужно исходную функцию умножить на a. Вторая часть определения δ-функции - предел

очевидно выполняется. Если а < 0, то доказательство аналогично

Положим t=0 и получим требуемое свойство.

28. Преобразование Фурье функции Дирака. Обратное преобразование

F 1 (c) cF 1 1 c (t).

29. Преобразование Фурье от мнимой экспоненты.

свойство 3 преобразования Фурье

F 1 ( X (z z0 )) x(t)eiz0t ,

Применяя это свойство к δ–функции, получаем :

F 1 ( (z z0 )) 21 eiz0t .

Если взять преобразование Фурье от обеих частей, то будем иметь :

(z z0 ) 21 F (eiz0t ), F(eiz0t ) 2 (z z0 ).

То есть, преобразование Фурье от мнимой экспоненты равно функции Дирака со сдвигом, умноженной на коэффициент.

30.Преобразование Фурье от функции Дирака со сдвигом.

31.Коммутативность оператора свертки. Преобразование Фурье свертки.

Если выполнить замену переменных γ = t – τ, то dγ = – dτ и получим

Преобразование Фурье от свертки:

32.Обратное преобразование Фурье свертки сигналов.

Для обратного преобразования Фурье от свертки функций

F 1 X1( z )* X2( z ) 2 x1( t )x2( t )

Доказательство проводится заменой переменной в интеграле :

33.Преобразование Фурье функции единичного скачка.

Применим свойство 5 преобразования Фурье F( x ( t )) izF( x( t ))

Пусть x( t ) 1( t ),

Как доказано 1 ( t ) ( t ),

Тогда F( ( t )) izF( 1( t )),

F( 1( t )) iz1 F( ( t )) iz1 .

34.Преобразование Фурье тригонометрических функций.

преобразование Фурье функции cos(t).

Преобразование Фурье от экспоненты F(eiz0t ) 2 (z z0 ).

Тогда :

преобразование Фурье функции sin(t).

Тогда :

35. Преобразование Фурье от функции cos(ωt).

и окончательно F(cos( t)) z z .

36.Преобразование Фурье от функции sin(ωt).

Применим к этим двум сверткам свойство фильтрации

F(cos( 2t ) R( 1,12,t )) 6( sinc( 6( z 2 )) sinc( 6( z 2 )))

6( sinc( 6z 12 ) sinc( 6z 12 ))

Исходный сигнал является четной функцией, поэтому для построения Фурье-образа достаточно применить косинус-преобразование. Прямое и обратное косинус-преобразование полностью совпадают по своим формулам с точностью до замены переменных:

t 2

В последнем выражении положим z=0, получаем : eC e0 e 2 e0dt,

42. Приложение преобразования Фурье (приливы, акустика).

Приливы:

Так, в конце XIX века лорд Кельвин на основе разложения в ряд Фурье построил аналоговое вычислительное устройство, которое позволяло оценивать высоту приливов. Вначале в конкретной гавани на протяжении года измеряли уровень моря и записывали соответствующие положения Солнца и Луны. По этим записям определяли параметры аналогового механического вычислителя, который выдавал приливные высоты в гавани как функцию от времени.

Выбор метода оказался удачным, таблицы высоты приливов были составлены для всех портов мира.

Акустика:

График, на котором изображены гармоники разложения звука в ряд Фурье, называют

спектральным представлением звука или сонограммой.

Другими словами, сонограмма представляет собой диаграмму разложения звукового сигнала по гармоникам. При этом время, как обычно, изменяется по горизонтали, частота определяется периодом гармоники. Амплитуда гармоники указывает на вклад частоты в данный сигнал в текущий момент времени.

На диаграмме сигнал разложен на два слагаемых, а в третьем показан остаток - разность между входным сигналом и этими двумя слагаемыми.

Можно синтезировать сигнал, взять некоторое количество базисных функций ряда Фурье, сложить их в некоторыми весами и прослушать полученный звуковой сигнал. Именно таким способом создается компьютерная музыка.

Кроме того, можно исследовать спектральную плотность сигнала, полученной преобразованием Фурье и спектр сигнала, полученного разложением в ряд Фурье.

Применение: различные эквалайзеры, очистка сигнала от постоянных шумов и т.д.

43.Интерполяция рядами Фурье.

Интерполирование – это приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или связанной с ней другой величиной. Ряд Фурье можно применять для интерполяции, но интерполяция рядом Фурье строит приближенную функцию, которая не обязательно проходит по заданным точкам.

Пример: Интерполирование в декартовой системе координат.

Пусть задано 10 точек на плоскости, никакие две из которых не лежат на одной вертикальной прямой. Требуется построить гладкую кривую, проходящую «близко» от этих точек.

Множество точек P:

Построим на этих точках кусочно-линейную функцию и разложим ее в ряд Фурье, полагая, что период Т функции равен длине всего отрезка определения, то есть приблизительно 2π, Т= 2π. График функции :

Разложим эту функцию в частичный ряд Фурье, с 7 слагаемыми, получим приближение с графиком

44.Фурье-анализ в задачах вибрации.

Исследование спектра вибрации показало, что компоненты спектра этого сигнала (для ряда Фурье) или его спектральная плотность (для преобразования Фурье) содержит такие частоты:

1)Оборотная частота - частота вращения основного вала механизма;

2)Гармоники – частоты, кратные оборотной частоте, они превышают оборотную частоту в целое число раз (2, 3, 4, …).

3)Субгармоники - часть первой гармоники (1/2, 1/3, 1/4, … оборотной частоты вращения).