Шпоры по отуис, 1ый семестр (Иванов НН) [6584 вопросов] / Otvety_k_ekz_OTUiS_Dnevnoe_12-13_1

1.Модели объекта, математические модели.

Моделью называется описание, изображение изучаемого объекта, явления, процесса (далее просто объекта) некоторым способом с целью его изучения.

Математическая модель - если объект описан формальными математическими соотношениями (описаны взаимосвязи параметров).Например, модель в виде дифференциального уравнения, стохастическая модель.

Математическая модель может иметь конкретное названия в зависимости от применяемого аппарата. Например, модель в виде дифференциального уравнения, стохастическая модель.

2.Моделирование электрических цепей.

Пример. Модель RC-цепи.

Для решения задачи необходимы знания предметной области. Если исследователь не имеет таких знаний, то требуется привлечение соответствующего специалиста. В данной задаче необходимо знание закона Ома и формулу заряда конденсатора.

Решение. Параметрами модели будут входящие в схему величины R и C. Пусть в момент времени t по сопротивлению R проходит ток i(t), а количество электричества на конденсаторе C равно Q(t). Тогда напряжение на сопротивлении равно R * i(t) (закон Ома), а на конденсаторе y(t) = Q(t)/C .

3.Моделирование сложного объекта, декомпозиция. Системотехника.

В реальной жизни исследуемый объект состоит из множества связанных между собой объектов, процессов, явлений, объединенных единой целью. Такой сложный объект будем называть системой, а его части назовем компонентами.

При анализе системы обычно не строится общая модель системы – это трудно, а также трудно анализировать такую модель. Строятся отдельные модели ее компонент и учитываются существенные взаимосвязи между компонентами. Такой подход в моделировании называется

декомпозицией.

Системный подход - комплексное изучение объекта как единого целого путем уточнение задачи и её декомпозицию в серию задач, решаемых с помощью методов естественных наук. При решении задач детализируются цели исследования, формализуются критерии сравнения решений, выбираются или строятся методы достижения целей.

Системотехника - прикладная наука, исследующая задачи

1)анализа сложных управляющих систем;

2)создания сложных управляющих систем.

Цель задачи анализа состоит в исследовании свойств системы. Для этого строится математическая или иная модель системы. Обычно система разделяется на компоненты и строятся модели для каждой компоненты. После этого строится «глобальная» модель, объединяющая модели компонент.

4.Мера близости сигналов.

Евклидовой нормой вектора A называется вещественное число

Расстояние r между векторами определяется как норма разности векторов, то есть

Заметим, что норма сигнала на отрезке близка к энергии сигнала на этом отрезке

Расстояние между сигналами x(t) и y(t), заданными на t = [a; b] , измеряется как

r( x(t), y(t)) y(t) x(t)

5.Скалярное произведение сигналов. Ортогональная система функций.

Скалярным произведением сигналов x(t) и y(t) называется определенный интеграл

где s(t) – некоторая весовая функция.

В функциональном анализе скалярное произведение функций x(t) и y(t) определяют в виде интеграла (интеграл по мере) где S(t) первообразная функции s(t).

Норма сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения сигнала с самим

Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного

Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их aскалярное произведение равно

Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...}, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке.

Если все функции системы имеют норму 1, то система называется ортонормированной.

Многочлены Pk(t) (k = 0, 1, 2,… – степень многочлена) образуют ортогональную систему многочленов на отрезке [a,b] с весом s(t), если

Рекуррентная формула, из которой, зная первые 2 многочлена, можно вычислить все остальные: ak Pk 1 (t) (ck bk t)Pk (t) dk Pk 1 (t)

6.Разложение сигнала в ортогональный ряд.

Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(x) в

ряд

Функции Pk(x) называются базисными функциями разложения.



Так получаются и формулы разложения в ряд Фурье по базисным функциям sin(·) и cos(·) :

Pk(·) = sin(·) или cos(·), s(t) = 1, a = -T/2, b = T/2, Nk = T/2.

7.Ортогональное представление в широкополосном диапазоне.

Проблема состоит в том, что требуется обеспечить устойчивую связь с наибольшим числом абонентов на выделенном диапазоне.

Существ. 3 метода использования широкополосного диапазона в стандартах Wi-Fi:

1)метод ортогонального мультиплексирования OFDM (orthogonal frequency division multiplexing) скорость обмена 54Мбит/с. (диапазон частот 5ГГц либо 2,4 ГГц); Принцип: заменяет 1 широкий канал на множество близко расположенных узкополосных каналов, занимаемых несущими, каждая из которых использует разную частоту. Но соседние несущие расположены близко друг к другу, они смешиваются и создают взаимные помехи. Несущие разделяются методом ортогонализации, они образуют ортогональную систему сигналов.

2)метод прямой последовательности DSSS (direct sequence spread spectrum), скорость передачи 11 Мбит/с. (диапазон частот 2,4- 2,8ГГц); Принцип: широкий диапазон разбит на несколько каналов, до трех таких каналов может использоваться независимо и одновременно на одной территории. Номинальная скорость каждого канала 2 Мбит/с. Если применять такой способ использования широкой полосы, то скорость обмена равна 6 Мбит/с (2 Мбит/с на один канал, всего – 3 канала)

3)метод скачкообразной перестройки частоты FHSS (Frequency-Hopping Spread-Spectrum - скачкообразная перестройка частоты). Принцип: перескок рабочей частоты передаваемого сигнала между несколькими заданными частотами с определенной скоростью и в определенной последовательности, что позволяет повысить помехозащищенность.

Устройства со скачкообразной перестройкой частоты отличаются меньшими габаритами и дешевле в изготовлении. Продукты FHSS потребляют меньшую мощность, чем DSSSизделия.

8.Базисные функции ряда Фурье.

В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции.

9.Коэффициенты разложения в ряд Фурье.

10. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение сигнала в ряд Фурье на отрезке.

Ряд Фурье для нечетной функции содержит только члены с синусом, а для четной функции только свободный член и член с косинусом. Докажем это утверждение в общем виде.

и поэтому

(3)

в последнем интеграле переменная интегрирования снова обозначена буквой х. Из формулы

(3) следует, что если f четная, то справедливо равенство (1), а если нечетная, то равенство (2).

11.Временная и частотная области сигнала.

Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области.

Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области.

12.Комплексная форма ряда Фурье.

Формула Эйлера:

sin k t 12 i e ik t eik t

Ряд Фурье в комплексной форме:

13.Интеграл Фурье.

Ряд Фурье имеет вид:

Коэффициенты подставим в ряд

Получим

 Функции не зависят от переменной интегрирования u, как постоянные величины их можно внести под знак интеграла. По формуле

преобразуем подынтегральное выражение :

 Положим  Тогда сигнал x(t) разлагается в ряд:

Eсли и сумма стремится к интегралу по z, при этом если в первом слагаемом интеграл сходится, то он стремится к нулю.

В пределе

Ввиду четности по z cos z(t-u) удвоим предел интегрирования и в результате окончательно получим интеграл Фурье:

14.Прямое и обратное преобразования Фурье.

15. Синус и косинус преобразования, их связь с преобразованием Фурье.

Преобразование Фурье от четной функций x(t) :

16. Представление преобразования Фурье через синус и косинус преобразования.

Преобразование Фурье от четной функций x(t) :

преобразование Фурье произвольной функции x(t) можно представить как сумму косинус- и синус-преобразований: F( x(t)) 2 Gcos (z) iHsin (z) .

17.Преобразование Фурье сигнала a/2 Exp[-a |t|].

где a > 0.

Функция четная, ее преобразование Фурье сводится к косинус-преобразованию.

Далее получаем уравнение относительно искомого неопределенного интеграла:

Положим, что искомый интеграл равен Х :

Xe at cos ztdt

Ирешим полученное уравнение относительно этого неизвестного Х :

После алгебраических преобразований получаем значение Х :

X z sin tz acos tz e-at 2 a2 + z2

Найдем определенный интеграл, учитывая что a > 0 :

18. Преобразование Фурье прямоугольного сигнала.

a, если t / 2, R(a, , t)

0, иначе

Функция четная, поэтому достаточно вычислить ее косинус-преобразование.

Можно выразить Фурье-образ прямоугольной функции через функцию sinc t.

Рассмотрим специальный случай прямоугольного импульса при a=1/ε . Найдем его Фурьеобраз :

Если ε -> 0, то эта функция стремится к 1.

То есть снова получено, что преобразование Фурье от некоторой (здесь прямоугольной) δ-

22. Понятие динамической системы. Оператор свертки.

динамическая система – это система, описываемая конечным набором входных и выходных параметров, которые определены на некотором интервале времени.

Одним из видов зависимости функций является уравнение свертки

y(t) h( )x(t )d

0

Функция h(t) называется ядром свертки. Свертка широко применяется в теории сигналов, в частности, для моделирования фильтров.

В реальной ситуации ядро обычно не равно нулю только на некотором отрезке [0, M], поэтому свертка принимает вид

M

y(t ) h( )x(t )d

0

Сокращенно записывается в виде: y(t) = h(t)*x(t).

Если бы нижняя граница интервала интегрирования была бы меньше 0, например, -1, то получалось бы, что функция y(t) зависит от значения функции x(0-(-1)) в момент времени от +1, то есть в будущем, что считаем невозможным.

23.Задача идентификации системы.

Идентификацией системы с параметрами x(t) и y(t) называется построение оператора F, такого, что

y(t) = F[x(t)].

Процесс идентификация состоит из двух этапов:

1) выбор математической модели системы;

В простейшем случае выбирается модель в виде уравнения свертки. y(t ) h( )x(t )d

0

24.Идентификация системы импульсным методом.

Импульс в электротехнике – это одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения.

Прямоугольным импульсом называется функция

a, если t / 2, R(a, , t)

0, иначе

причем a>0, ε>0 , aε = 1 то есть a=1/ ε

График прямоугольного импульса

Определенный интеграл от прямоугольного импульса по всей оси времени для любого ε > 0