16. Энергия заряженного конденсатора

Если на обкладках конденсатора электроемкостью С находятся электрические заряды +q и -q, то напряжение между обкладками конденсатора = U=q/C. В процессе разрядки конденсатора напряжение между его обкладками убывает прямо пропорционально заряду q от первоначального значения U до 0. Ср. значение напряжения в процессе разрядки = Uср=U/2=q/2C. Для работы А, соверш. эл. полем при разрядке конденсатора: A=qUср=qU/2=CU^2/2. => потенциальная энергия Wp конденсатора электроемкостью С, заряженного до напряжения U :Wp=A= CU^2/2=q^2/2C=qU/2. Энергия конденсатора обусловлена тем, что эл. поле между его обкладками обладает энергией. Напряженность Е поля пропорц. U => энергия электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности.

17. Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Wp=CU^2=0SU^2/2d=(0/2)*(U/d)^2Sd. Частное U /d  равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно, Wp=0E^2V/2 Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии d много меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w. Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна w= Wp/V=0E^2/2 C учетом соотношения D=0E можно записать w=0E^2/2 =ED/2=D^2/20. В изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и w=ED/2 Подставим выражение D=(0E+P), получим w=(0E+P)/2=0E^2/2+EP/2 Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл: W=<V>wdV=<V>0E^2dV/2

18. Электрический ток. Сила тока. Плотность тока. Электрическим током называется направленное (упорядоченное) движение заряженных частиц. Электрический ток в проводниках различного рода представляет собой либо направленное движение электронов в металлах (проводники первого рода), имеющих отрицательный заряд, либо направленное движение ионов, имеющих как положительный, так и отрицательный заряд — в электролитах (проводники второго рода), либо направленное движение электронов и ионов обоих знаков в ионизированных газах (проводники третьего рода). За направление электрического тока условно принято направление движения положительно заряженных частиц. Для существования электрического тока в веществе необходимо: наличие заряженных частиц, способных свободно перемещаться по проводнику под действием сил электрического поля; наличие источника тока, создающего и поддерживающего в проводнике в течение длительного времени электрическое поле. Количественными характеристиками электрического тока являются сила тока I и плотность тока j. Сила тока — скалярная физическая величина, определяемая отношением заряда Δq, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени. Если сила тока и его направление со временем не изменяются, то ток называется постоянным. Единица силы тока — 1 А — есть сила такого неизменяющегося тока, который, проходя по двум бесконечно длинным параллельным прямолинейным проводникам очень маленького сечения, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывает силу взаимодействия между ними 2·10^-7 Η на каждый метр длины проводников. Плотность тока j — это векторная физическая величина, модуль которой определяется отношением силы тока I в проводнике к площади S поперечного сечения проводника, т.е. j=I/S (А/м²). Направление вектора плотности тока j совпадает с направлением вектора скорости упорядоченного движения + заряженных частиц. Плотность постоянного тока постоянна по всему поперечному сечению проводника.

19. Уравнение непрерывности. Если в поперечном сечении проводника выделить бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную вектору плотности тока j, то заряд dq, проходящий через нее за время dt, равен dq=j dS dt. Сила тока в проводнике равна заряду, проходящему в единицу времени через полное сечение проводника. Если заряд dq, проходящий через сечение проводника за время dt, то i=(dq)/(dt). Сила тока скалярная величина. Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно выразить через него и силу тока I=<S>jdS. Если сила тока не меняется во времени, то ток, протекающий в проводнике, называют постоянным. Рассмотрим среду, в которой течет ток, и выделим в ней замкнутую поверхность S (рис). Для тока, выходящего в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S, имеем. I=<S>jdS В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в данном объеме <S>jdS =-dq/dtЭто соотношение называют уравнением непрерывности. Учитывая, что заряд q=<V>pdV, получим <S>jdS =(-d/dt)* <V>pdV=-<V>(dp/dt)*dV. Преобразовав левую часть равенства по теореме о дивергенции (теореме Гаусса - Остроградского), находим <S>jdS =<V>div jdV=-<V>(dp/dt)*dV. Таким образом в каждой точке пространства выполняется условие ∆j=(-dρ)/(dt) , которое является дифференциальной формой уравнения непрерывности. Если токи постоянны, то все электрические величины не зависят от времени и в уравнении непрерывности нужно положить (dρ)/(dt) равным нулю. Тогда ∆j=0, следовательно, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, т. е. они замкнуты.

20. Закон Ома для участка цепи. Закон Ома в дифференциальной форме.

С ила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению: I=U/R. Для однородного цилиндрического проводника R=(ρl)/S, где l - длина проводника; S - площадь его поперечного сечения; ρ- удельное электрическое сопротивление.

Дифференциальная форма закона Ома. Найдем связь между плотностью тока j и напряженностью поля Е в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора Е. Поэтому направления векторов j и Е совпадают. Рассмотрим в однородной изотропной среде элементарный объем с образующими, параллельными вектору Е, длиной ∆l , ограниченной двумя эквипотенциальными сечениями 1 и 2 (рис). Обозначим их потенциалы ϕ₁ и ϕ₂, а среднюю площадь сечения через ∆S . Используя закон Ома, получим для тока I=j∆S=(( ϕ₁-ϕ₂)∆S)/(ρ∆l), или для плотности тока j=( ϕ₁-ϕ₂)/(ρ∆l)=-(ϕ₂-ϕ₁)/(ρ∆l), следовательно j=-(1/ρ)*(∆ϕ/∆l). Перейдем к пределу при dl→0, тогда рассматриваемый объем можно считать цилиндрическим, а поле внутри него однородным, так что lim<l0>(-/l)=-(/l)=E , где Е - напряженность электрического поля внутри проводника. Учитывая, что j и Е совпадают по направлению, получаем j=(1/ρ)E=γE. Величина γ=1/ρ - удельная проводимость. На неоднородном участке цепи на носители тока действуют, кроме электростатических сил eE , еще и сторонние силы eE_ст , следовательно, плотность тока в этих участках оказывается пропорциональной сумме напряженностей. Учет этого приводит к дифференциальной форме закон Ома для неоднородного участка цепи. j=(1/ρ)*(E+E_ст).