Граничные условия

Чтобы рассчитать токи и потенциалы по модели (рис. 2.4), необходимы граничные условия, т.е. параметры недостающей части электрической цепи, присоединенной к модели в узлах А и В (см. рис. 2.3 и 2.4).

При моделировании внешние границы элементов ничем не отличаются от внутренних: через каждую из них проходит электрический ток согласно чакону Ома. Однако в зависимости от устройства внешнего участка цепи различают три рода граничных условий.

Условие первого рода: задан электрический потенциал на границе. Это соответствует наличию во внешней цепи стабилизированного источника питания, поддерживающего постоянное напряжение, не зависящее от сопротивления модели. В этом случае потенциал во всех точках соответствующей границы заранее известен, а плотность тока через нее зависит от разности этого потенциала и потенциала ближайшего внутреннего узла согласно закону Ома (2.1).

Условие второго рода: задан ток или плотность тока на границе. Это соответствует наличию во внешней цепи другого источника питания, поддерживающего постоянный ток, не зависящий от сопротивления модели. В этом случае граница является узлом, потенциал в котором зависит от потенциала ближайшего внутреннего узла и определяется в ходе решения задачи. Частным случаем такого граничного условия является нулевая плотность тока (адиабатическая граница). Для задач электропроводности это соответствует границе проводника с изолятором. На рис. 2.3 такие условия действуют на всех внешних границах модели, кроме граничных узлов А и В.

Условие третьего рода представляет собой наиболее общий случай, когда ток или плотность тока на границе связаны с ее потенциалом некоторым уравнением. Это соответствует, например, обычному источнику питания с внутренним сопротивлением. Создаваемое им напряжение снижается по мере увеличения тока. Очевидно, что первые два рода граничных условий являются крайними частными случаями третьего.

Нелинейные задачи

Рассмотренные уравнения протекания тока являются линейными (зависимость тока от напряжения в законе Ома выражается уравнением прямой линии). В этом случае уравнения Кирхгофа, из решения которых можно найти потенциалы узлов, образуют систему линейных уравнений. Нелинейность уравнений может возникнуть в двух случаях:

• если уравнения моделируемых физических явлений отличаются от линейных;

• если входящие в уравнения коэффициенты не являются константами, а зависят от результатов решения (например, если удельное сопротивление проводника зависит от плотности тока).

Методы решения системы нелинейных уравнений гораздо сложнее и требуют большего объема вычислений, чем линейных. Как правило, нелинейную систему решают итерационно (методом последовательных приближений) на основе линеаризации: кривые нелинейных уравнений заменяют прямыми, касательными к ним, или секущими и постепенно уточняют коэффициенты, входящие в уравнения этих прямых.

Стационарные и нестационарные задачи

Поскольку скорость движения зарядов в проводнике велика, то переходные процессы при изменении граничных условий протекают очень быстро и во многих случаях их можно игнорировать, рассматривая только установившееся, равновесное распределение потенциалов и токов. В этом случае результат решения зависит не от начального распределения зарядов и потенциалов, а от граничных условий. Такие задачи называют стационарными или эллиптическими, поскольку в их основе лежит дифференциальное уравнение Лапласа эллиптического типа.

Уравнения теплопроводности и диффузии практически совпадают с уравнениями электропроводности (вместо закона Ома в них используются аналогичные законы Фурье и Фика). Однако скорость протекания этих процессов значительно ниже. Вследствие этого не всегда можно ограничиться расчетом установившегося поля температур или распределения примесей, во многих случаях требуется определять распределение параметров во время переходного процесса. В этом случае решение зависит не только от граничных условий, но и от начального состояния и времени. Соответствующее уравнение отличается от уравнения Лапласа добавлением производной по времени и называется уравнением параболического типа:

(2.3)

Очевидно, что эллиптическое уравнение (2.2) является частным случаем уравнения (2.3). После завершения переходного процесса скорость изменения потенциала стремится к нулю и уравнение приобретает эллиптический вид.

Напряженно-деформированное состояние. Расчет напряжений и деформаций во многом близок к расчету электрических потенциалов. За исключением явлений ползучести при высоких температурах и коррозионного роста трещин, процессы деформирования металла протекают достаточно быстро, чтобы задачи можно было считать стационарными. Сложность в том, что в каждой точке тела необходимо определить не скалярный параметр (потенциал, температуру), а вектор перемещения, имеющий величину и направление, т.е. число неизвестных для плоских моделей удваивается, а для объемных утраиваемся. Сложнее становится и описание потоков энергии через границы элементов. Более наглядной является их замена условиями равновесия. Каждое уравнение системы, полученной в соответствии с неявной схемой решения, можно трактовать как условие равновесия соответствующего узла модели в направлении одной из осей координат.