2.3. Применение мкэ

Рассмотрим простейшую конечно-элементную модель (КЭМ) для плоской пластины, через которую течет ток. На ней обозначены точки, в которых требуется рассчитать потенциал. Разобьем пластину на ячейки (клетки) так, чтобы границы проходили на равном расстоянии от соседних точек (узлов) (рис. 2.3).

Конечный элемент (КЭ) позволяет установить, какой ток потечет из клетки 2 в клетку 1 через их границу s, если известна разность потенциалов между этими точками. Распределение потенциала по длине элемента аппроксимируем полиномом первой степени, напряженность поля во всех точках элемента одинакова и равна Е=(U₁–U₂)/I. Плотность тока, согласно закону Ома (2.1) j=E/, поскольку материал изотропный и сопротивление R во всех направлениях одинаково. Ток через элемент равен

I=js=(U₁–U₂)/(l/s)=(U₁–U₂)/R.

Таким образом, КЭ эквивалентен сопротивлению R, включенному между узлами 1,2 и равно сопротивлению проводника из такого же материала, длиной l и сечением s (рис. 2.3). Если добавить КЭ для каждой пары соседних узлов, то они покроют всю пластину. Если считать, что все заряды, попавшие в одну из клеток, находятся в узле, то всю пластину можно изобразить в виде принципиальной электрической схемы (рис. 2.4). Согласно классификации КЭ, рассмотренный элемент следует называть стержневым линейным двух узловым.

Если известны потенциалы на краях пластины и сопротивления элементов, то по законам Кирхгофа можно найти токи и потенциалы внутренних точек, которые приводят к системе линейных уравнений, т.е. к типичной процедуре МКЭ.

Моделирование объемных тел

Моделирование объемных тел сложной формы сложнее, чем плоских, и требует применения более сложных элементов. Однако рассмотренный простейший двух узловой элемент может быть превращен из плоского в объемный. На рис. 2.5 видно, что если плоский элемент состоит из двух призм, высота которых равна толщине моделируемого плоского тела, то объемный из двух пирамид. Как призмы, так и пирамиды примыкают с двух сторон к поверхности s, разделяющей соседние ячейки, а ребра призм и пирамид соединяют точки контура поверхности s с узлами 1 и 2. Отрезок 1-2 длиной l перпендикулярен плоскости s, и точка пересечения с этой плоскостью делит его пополам.

Если трехмерное тело разбить на ячейки в виде прямоугольных параллелепипедов, то, соединив каждую грань, разделяющую две соседние ячейки с узлами, расположенными в центрах ячеек, получим такой элемент. В совокупности элементы заполнят весь объем тела. Модель протекания тока и распределения потенциалов в теле можно представить в виде принципиальной схемы, аналогичной рис. 2.4, где каждый элемент изображен в виде сопротивления, присоединенного между двумя узлами.

Ячейки, на которые разбита модель, имеют прямоугольную форму, если заданные точки (узлы) 1,2,3... расположены ровными рядами (рис. 2.3). При произвольном расположении узлов на плоскости или в пространстве построение ячеек, границы которых равноудалены от ближайших узлов, также возможно, хотя ячейки будут иметь более сложную форму (рис. 2.6).

Возможность применения нерегулярной сетки, обеспечивающей заполнение элементами произвольной области со сложным очертанием границы, а также сгущение сетки в отдельных местах, требующих повышении точности расчета, является основным преимуществом МКЭ по сравнению с более простым методом сеток.