Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова

Институт естественных наук и математики

Применение леммы Бернсайда для решения комбинаторных задач

Подготовила: студентка группы М- 11

Шишпанова Валентина

Проверила: Бобылева О. В.

Абакан

2015

Оглавление

Введение 3

Актуальность рассматриваемой темы 4

Теория Бернсайда 5

1. Орбиты группы перестановок 5

2. Длина орбиты группы перестановок. Лемма Бернсайда 5

6

3. Пример использования леммы Бернсайда. 7

Применение леммы Бернсайда 9

Список литературы: 10

Введение

В самом начале нашего исследования познакомимся с великим ученым, открывшим данную теорию.

Уильям Бёрнсайд (англ. William Burnside; 2 июля 1852, Лондон —21 августа1927, Уэст-Уикем) —английский математик – алгебраист. Член Лондонского королевского общества, профессор (с 1885г.) Морского колледжа в Гринвиче. Известен работами по теории групп, теории представлений и характеров групп, указал критерий непростоты конечных групп. Ему принадлежит также ряд работ по теории вероятностей, по автоморфным функциям, по теории волн в жидкостях и др.

Центральной частью работы Бёрнсайда была работа в области теории представлений, где он помог разработать фундамент теории, дополняя и иногда соревнуясь с работой Фробениуса, который начал работать в этой области в 1890-х годах. Одно из самых известных вкладов в теорию групп — теорема Бёрнсайда о том, что каждая конечная группа, чей порядок делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.[1]

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бернсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит, ему. Теорема была доказана Уильямом Бернсайдом  впервые годы 20-го века. Долго была одним из самых известных применений теории представления  к теории конечных групп, хотя доказательство, избегающее использования знаков группы, было издано Д. Голдшмидтом приблизительно в 1970. [2]

В 1897 году была опубликована классическая работа Бёрнсайда «Теория групп конечного порядка». Второеиздание (изданное в 1911 году) стало стандартом в этой области на многие десятиления. Главным отличием второго издания было включение в него теории характеров. Бернсайд так же заменит формулированием проблемы Бернсайда « Будет ли конечно порожденная группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, обязательно конечной?» Также Бернсайд заменит леммой Бернсайда ( количество орбит в подгруппе симметричной группы перестановок равно средневзвешенному количеству петель в перестановке), хотя этот результат был получен ранее Фробениусом и Коши.[1]

Познакомимся с леммой Бернсайда более подробно.

Актуальность рассматриваемой темы

Изучение леммы Бернсайда крайне важно. Потому что именно она помогает при решении комбинаторных задач. С помощью этой леммы задачи решаются быстрее, не требуя дополнительных вычислений.

Теория Бернсайда

1. Орбиты группы перестановок

Пусть G – группа перестановок на множестве . Подмножество называется орбитой группы G, если:

1. для любого , то есть действие перестановок из G на элементы O не выводит за пределы перестановкой из O.

2. Любые два элемента из O можно перевести друг в друга некоторой перестановкой из G

Легко показать, что всякая группа перестановок имеет орбиты

Орбитами подобного вида исчерпываются все типы орбит, т.е. если O- орбита группы G и на

Любые две орбиты либо совпадают( если ), либо не пересекаются( если

Таким образом, множество M распадается в объединение непересекающихся подмножеств – орбит групп G. В связи с разбиением множества M на орбиты группы перестановок G возникают следующие вопросы:

1. Сколько орбит имеет группа G на множестве M?

2. Какова длина каждой из этих орбит, т.е. из скольких элементов они состоят?

Попробуем дальнейшими рассуждениями ответить на наши вопросы.