Маршруты и связность в орграфах.

Для ориентированного графа можно определить два типа маршрутов. Неориентированный маршрут (или просто маршрут ) - это чередующаяся последовательность вершин и ребер графа, такая, что для каждого выполняется одно из двух: или . Маршрут называется ориентированным (или ормаршрутом ), если для каждого . Таким образом, при движении вдоль маршрута в орграфе ребра могут проходиться как в направлении ориентации, так и в обратном направлении, а при движении вдоль ормаршрута - только в направлении ориентации. Это различие очевидным образом распространяется на пути и циклы, так что в орграфе можно рассматривать пути и орпути, циклы и орциклы. Будем говорить, что маршрут соединяет вершины и , а ормаршрут ведет из в .

Соответственно двум типам маршрутов определяются и два типа связности орграфов. Орграф называется связным (или слабо связным ), если для каждой пары вершин в нем имеется соединяющий их маршрут; он называется сильно связным, если для каждой упорядоченной пары вершин ( ) в нем имеется ормаршрут, ведущий из в . Максимальные по включению подмножества вершин орграфа, порождающие сильно связные подграфы, называются его областями сильной связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами сильной связности. Очевидно, разные области сильной связности не могут иметь общих вершин, так что множество вершин каждого орграфа разбивается на области сильной связности. Областями сильной связности орграфа на рис. 2.4 являются множества , , .

Рис. 2.4.

Эйлеровы пути и циклы

Первая теорема теории графов была доказана задолго до того, как стало употребляться словосочетание "теория графов". В 1736 г. появилась работа Эйлера, в которой не только была решена предложенная ему задача о кенигсбергских мостах, но и сформулировано общее правило, позволяющее решить любую задачу такого рода. Интересно, что в одном из писем Эйлер писал по этому поводу:

"... это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека ..."

На языке теории графов задача состоит в том, чтобы определить, имеется ли в графе путь, проходящий через все его ребра (напомним, что путь, по определению, не может дважды проходить по одному ребру). Такой путь называется эйлеровым путем, а если он замкнут, то эйлеровым циклом. В графе, изображенном на рис. 2.5 а, эйлеров цикл существует - например, последовательность вершин , , , , , , , , , образует такой цикл. В графе же на рисунке 2.5 б эйлерова цикла нет, но есть эйлеровы пути, например, , , , , , , , , .

Рис. 2.5.

Рассмотрим сначала условия существования эйлерова цикла в обыкновенном графе. Ясно, что в несвязном графе эйлеров цикл может существовать только в том случае, когда все его ребра принадлежат одной компоненте связности, а все остальные компоненты - просто изолированные вершины. Поэтому достаточно рассматривать связные графы.

Теорема 5. Эйлеров цикл в связном графе существует тогда и только тогда, когда в нем степени всех вершин четны.

Теорема 6. Эйлеров путь в связном графе существует тогда и только тогда, когда в нем имеется не более двух вершин с нечетными степенями.

Теорема 7. Эйлеров цикл в связном орграфе существует тогда и только тогда, когда у каждой его вершины число входящих в нее ребер равно числу выходящих.