Поиск в ширину

Процедура поиска в ширину

Работа всякого алгоритма обхода состоит в последовательном посещении вершин и исследовании ребер. Какие именно действия выполняются при посещении вершины и исследовании ребра - зависит от конкретной задачи, для решения которой производится обход. В любом случае, однако, факт посещения вершины запоминается, так что с момента посещения и до конца работы алгоритма она считается посещенной. Вершину, которая еще не посещена, будем называть новой. В результате посещения вершина становится открытой и остается такой, пока не будут исследованы все инцидентные ей ребра. После этого она превращается в закрытую.

Идея поиска в ширину состоит в том, чтобы посещать вершины в порядке их удаленности от некоторой заранее выбранной или указанной стартовой вершины . Иначе говоря, сначала посещается сама вершина , затем все вершины, смежные с , то есть находящиеся от нее на расстоянии , затем вершины, находящиеся от на расстоянии , и т.д.

Рассмотрим алгоритм поиска в ширину с заданной стартовой вершиной . Вначале все вершины помечаются как новые. Первой посещается вершина , она становится единственной открытой вершиной. В дальнейшем каждый очередной шаг начинается с выбора некоторой открытой вершины . Эта вершина становится активной. Далее исследуются ребра, инцидентные активной вершине. Если такое ребро соединяет вершину с новой вершиной , то вершина посещается и превращается в открытую. Когда все ребра, инцидентные активной вершине, исследованы, она перестает быть активной и становится закрытой. После этого выбирается новая активная вершина, и описанные действия повторяются. Процесс заканчивается, когда множество открытых вершин становится пустым.

Основная особенность поиска в ширину, отличающая его от других способов обхода графов, состоит в том, что в качестве активной вершины выбирается та из открытых, которая была посещена раньше других. Именно этим обеспечивается главное свойство поиска в ширину: чем ближе вершина к старту, тем раньше она будет посещена. Для реализации такого правила выбора активной вершины удобно использовать для хранения множества открытых вершин очередь - когда новая вершина становится открытой, она добавляется в конец очереди, а активная выбирается в ее начале. Схематически процесс изменения статуса вершин изображен на рис. 4.1. Черным кружком обозначена активная вершина.

Рис. 4.1.

Поиск в глубину

Поиск в глубину (англ. depth-first search, DFS) – это рекурсивный алгоритм обхода вершин графа. Если метод поиска в ширину производился симметрично (вершины графа просматривались по уровням), то данный метод предполагает продвижение вглубь до тех пор, пока это возможно. Невозможность дальнейшего продвижения, означает, что следующим шагом будет переход на последний, имеющий несколько вариантов движения (один из которых исследован полностью), ранее посещенный узел (вершина). Отсутствие последнего свидетельствует об одной из двух возможных ситуаций: либо все вершины графа уже просмотрены, либо просмотрены все те, что доступны из вершины, взятой в качестве начальной, но не все (несвязные и ориентированные графы допускают последний вариант).

Рассмотрим то, как будет вести себя алгоритм на конкретном примере. Приведенный далее неориентированный связный граф имеет в сумме 5 вершин. Сначала необходимо выбрать начальную вершину. Какая бы вершина в качестве таковой не была выбрана, граф в любом случае исследуется полностью, поскольку, как уже было сказано, это связный граф без единого направленного ребра. Пусть обход начнется с узла 1, тогда порядок последовательности просмотренных узлов будет следующим: 1 2 3 5 4. Если выполнение начать, например, с узла 3, то порядок обхода окажется иным: 3 2 1 5 4.