Вероятность. Случайные переменные. Стохастический процесс.

Вероя́тность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей^[1]. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности^[2].

Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину — теорию вероятностей^[1]. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события — вероятностная мера (или её значение) — мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от до . Значение соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна , то вероятность его ненаступления равна . В частности, вероятность означает равную вероятность наступления и ненаступления события.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место^[3] и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений — например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

Определив понятие вероятности и выяснив ее главные свойства, перейдем к рассмотрению одного из важнейших понятий теории вероятностей – понятия случайной переменной.

Допустим, что в результате производимого эксперимента могут наступать различные случайные события, причем наступлению каждого из них можно поставить в соответствие некоторое однозначное определенное действительное число. Каждому из этих чисел соответствует вероятность, а именно – вероятность определенного события. В зависимости от того, какое из возможных элементарных событий наступит, мы будем иметь дело с различными действительными числами. Переменная, которая принимает различные числовые значения, сопряженные с определенными вероятностями, называется случайной переменной.

Один из простейших примеров случайной переменной – число очков, выпадающее при игре в кости. Эта переменная может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем все эти значения равновозможны. В самом деле, из предыдущей главы известно, что вероятность выпадения 6 очков для n=1, 2,..., 6 равняется 1/6.

Важное понятие представляет собой распределение случайной переменной. Если известна совокупность возможных значений случайной переменной и вероятности того, что случайная переменная примет то или иное из этих значений (или же вероятности того, что переменная принимает значение в определенных границах), то известно и распределение этой случайной переменной.

Можно различать случайные переменные двух основных классов, а именно, дискретные (прерывные) случайные переменные и непрерывные случайные переменные.

Различные внешние возмущающие воздействия, действующие на систему, имеют чаще всего случайный или стохастический характер. Такие воздействия являются стохастическими процессами. Стохастический процесс- это семейство случайных функций времени. Каждая отдельная функция времени называется реализацией процесса.

Определение.Стохастический процессV(t) является стационарным, если

P ( v(t₁) v₁, v(t₂) v₂, …, v(t_m) v_m, ) = P ( v(t₁ + ) v₁, v(t₂ + ) v₂, …,

v(t_m+)v_m) (5.4)

выполняется для любых t₁,t₂, ……,t_m,v₁, … ,v_m, для каждогоmи для всех.