БИЛЕТ №1

1. Определение матрицы, линейные операции над матрицами, их свойства.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы^[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Свойства

1.Транспонирование.--  замена строк на столбцы, и получение новой матрицы

2.Умножение матрицы на число.

3.Сложение матриц.

4.Умножение матриц.

2. Линейная комбинация системы векторов

выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов

БИЛЕТ №2

1. Произведение матриц, его свойства.

Умножение матриц, с целью получение определенного решения. Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц

• (A · B) · C= A · (B · C) - произведение матриц ассоциативно;

• (z · A) · B= z · (A · B), где z - число;

• A · (B + C) = A · B + A · C - произведение матриц дистрибутивно;

• E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm - умножение на единичную матрицу;

• A · B ≠ B · A - в общем случае произведение матриц не коммутативно.

• Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

2. Определение линейно-независимой системы векторов

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства.

• Векторы   и   линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).

• Векторы   линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).

БИЛЕТ №3

1. Виды матриц.

Матрица размера   называется квадратной, число   называется порядком матрицы.

Матрица   называется нулевой, если все её элементы равны нулю

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом

Скалярной называется диагональная матрица  , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Единичной матрицей   называется скалярная матрица порядка  , диагональные элементы которой равны 1.

2. Базис линейного пространства Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов. Базис Га́меля, Базис Ша́удера. Евклид представлял базис как  горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры

БИЛЕТ №4

1. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Для вычисления путем алгоритма нам потребуются понятия транспонированной матрицы, минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы. Вычисляем определитель, транспонируем , умножаем элементы.