5. Преобразование переменных

В ряде случаев минимизировать либо вообще устранить проблему мультиколлинеарности можно с помощью преобразования переменных.

Например, пусть эмпирическое уравнение регрессии имеет вид

,

причем X₁ и X₂ – коррелированные переменные. В этой ситуации можно попытаться определять регрессионные зависимости относительных величин:

.

Вполне вероятно, что в моделях, аналогичной рассмотренной, проблема мультиколлинеарности будет отсутствовать.

Возможны и другие преобразования, близкие по своей сути к вышеописанной. Например, при построении модели на основе рядов динамики переходят от первоначальных данных к первым разностям уровней , чтобы исключить влияние тенденции.

Регрессионная модель с гетероскедастичными остатками Суть гетероскедастичности

Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса-Маркова), т.к. при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами.

Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений: дисперсия случайных отклонений _i постоянна для любых наблюдений i и j.

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсий отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений).

Однако на практике гетероскедастичность не так уж редка. Зачастую есть основания считать, что вероятностные распределения случайного отклонения _i при различных наблюдениях будут различными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут большими при определённых наблюдениях и малыми – при других; но это означает, что априорная вероятность этого велика. Поэтому важно понимать суть этого явления.

Е сли СКО остатков растет по мере увеличения х, то корреляционное поле такой гетероскедастичной модели может быть представлено следующим образом:

Проблема гетероскедастичности характерна для пространственных данных и относительно редко встречается при рассмотрении временных рядов. Это можно объяснить следующим. Для пространственных данных учитываются экономические субъекты (потребители, домохозяйства, фирмы, отрасли, страны и т.д.), имеющие различные доходы, размеры, потребности и т.д. В этом случае возможны проблемы, связанные с эффектом масштаба.

Последствия гетероскедастичности

При нарушении второго условия Гаусса-Маркова (при гетероскедастичности) последствия применения МНК будут следующими.

1. Оценки коэффициентов регрессии по-прежнему останутся несмещёнными и линейными, однако они будут неэффективными (т.е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками).

2. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением.

3. Выводы, получаемые на основе t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадёжными.

Методы обнаружения гетероскедастичности

Самый простой и наглядный способ определения гетероскедастичности является графический. Этот метод заключается в следующем. По оси абсцисс откладывается значения (x_i) объясняющей переменной X (либо линейной комбинации объясняющих переменных ), а по оси ординат либо отклонения e_i, либо их квадраты . Примеры таких графиков приведены на рисунке.

На рис. 4а все отклонения находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс. Это говорит о независимости дисперсий от значений переменной X и их постоянстве, т.е. в этом случае условия гомоскедастичности.

Н а рис. 4б-д наблюдаются некоторые систематические изменения в соотношениях между значениями x_i переменной X и квадратами отклонений . Другими словами, ситуации, представленные на рисунке, отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных