Экзаменационные вопросы по высшей математике

1)Задача о числе выборок из нескольких множеств.

Выборка — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании. Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее

30—35. Зависимые и независимые выборки 

При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X сооветствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми. Примеры зависимых выборок:

пары близнецов,

два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия,

мужья и жёны

и т. п.

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми, например:

мужчины и женщины,

психологи и математики.

Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться.

Сравнение выборок производится с помощью различных статистических критериев:

t-критерий Стьюдента

T-критерий Вилкоксона

U-критерий Манна-Уитни

Критерий знаков

и др.

2)Задача о числе перестановок.

Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами.

Если перестановки производятся на множестве из n элементов, их число определяется по формуле  Pn = n·(n−1)·(n−2)...3·2·1 = n!

3)Факториал.

Факториа́л числа n  — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно

4)Задача о числе сочетаний.

Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Число сочетаний обозначается Cnm и вычисляется по формуле:

 

5)Биномиальные коэффициенты. Свойство симметрии.

биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона   по степеням x. Коэффициент при  обозначается   или   и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»):

причём n здесь может быть как целым, так и произвольным действительным числом. Для неотрицательных целых n все коэффициенты с индексами k>n в этом ряду являются нулевыми, и поэтому данное разложение представляет собой конечную.

В комбинаторике биномиальный коэффициент   для неотрицательных целых чисел n и k интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.

6)События : совместимые и несовместимые, достоверные и невозможные.

Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны. Другими словами, события   и   совместны, если соответствующие множества   и   имеют общие элементы, и несовместны в противном случае, если появление одного из них исключает появление другого, и соответствующие множества   и   не имеют общих элементов, т.е. пересечение этих множеств является пустым множеством.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий  . Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий  . Событие, совпадающее с пустым множеством  , называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством  , называется достоверным событием. События называют равновозможными, если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.