Спектральное представление сигналов

Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.

Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.

8. Что называют амплитудным и фазовым спектрами периодического сигнала? Какими свойствами обладают спектры периодических сигналов? Как вычисляют амплитуды и фазы спектральных составляющих периодических сигналов?

Совокупность амплитуд A_k называют амплитудным, а совокупность фаз _k – фазовым спектрами. Амплитудный и фазовый спектры сигнала в совокупности однозначно определяют его форму (временную зависимость).

    Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T, который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными. 

9. Какие сигналы называют т-финитными? Какой математический аппарат используется для спектрального анализа т-финитных сигналов?

Т-финитными называют ограниченные по времени сигналы. По определению они не могут быть периодическими и, следовательно, к ним не применимо разложение в ряды Фурье.

Т аким образом, для описания спектра финитного сигнала приходим к известному в математике интегральному преобразованию Фурье:

– прямое,

– обратное.

В данном случае (и в дальнейшем) комплексную функцию записали в виде , как это принято в научно-технической литературе.

Из полученных соотношений следует, что спектр Т-фи- нитного сигнала сплошной. Он представляет собой совокупность бесконечного числа спектральных составляющих с бесконечно малыми амплитудами , непрерывно следующих по оси часты. Вместо этих бесконечно малых амплитуд используют спектральную функцию (спектральную плотность амплитуд)

,

где – амплитудный спектр,

– фазовый спектр.

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа Т-финитных сигналов является интегральное преобразование Фурье.

2. Спектры Т-финитных сигналов сплошные и описываются непрерывными функциями частоты в виде модуля спектральной плотности амплитуд (амплитудный спектр) и её аргумента (фазовый спектр).

10. Что представляет собой корреляционная функция сигнала?

Скалярное произведение комплексных сигналов и в спектральной области. .

При и

, –

– корреляционная функция сигнала x(t).

Из последнего выражения вытекают важные соотношения между корреляционной функцией и энергетическим спектром сигнала

,

.

11. В чём заключается операция дискретизации непрерывных сигналов? Как её записать математически? Как изменяется спектр сигнала в результате его дискретизации? Приведите примеры практического использования дискретизации сигналов в системах связи.

При передаче непрерывных сообщений по системам связи c использованием импульсной модуляции или кодирования возникает необходимость дискретизации сообщений по времени. В последнее время необходимость дискретизации непрерывных сигналов объясняется развитием методов квантования, дискретного анализа формы сигналов, развитием цифровой и вычислительной техники.

Сущность дискретизации заключается в том, что непрерывность во времени функции s(t) заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитуды которых (координаты) ск в общем случае определяются с помощью дискретных весовых функций xк(t) .

 Воспроизведение непрерывной функции по ее дискретным координатам производится с помощью системы базисных функций    Иногда весовые и базисные функции принимают одинаковыми    Ввиду сложности определения координатных функций более широкое распространение получили методы дискретизации, при которых сигнал s(t) заменяется совокупностью его мгновенных значений   , называемых выборками, или отсчетами. Роль весовых функций в этом случае играют d-функции   , Dt - шаг дискретизации (может быть неравномерным).   . Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы было возможно восстановление непрерывной функции по ее отсчетам с допустимой точностью.

12. Сформулируйте теорему отсчётов. В чём состоит её фундаментальное значение? Из каких соображений выбирается частота дискретизации непрерывных сигналов? Каким образом и каким ФУ обеспечивается восстановление непрерывного сигнала по его отсчётам? Укажите причины погрешностей восстановления непрерывных сигналов по их отсчётам.

Теорема отсчётов

Любой F-финитный сигнал (сигнал с ограниченным частотой F_в спектром) точно определяется последовательностью своих отсчётов, взятых через интервалы .

Исходя из свойства взаимно однозначного соответствия временного и спектрального представлений сигнала, можно утверждать, что точное восстановление сигнала в аналоговой форме по его отсчётам возможно, если из спектров (в, г и д) можно получить спектр . фильтрацией дискретизированного сигнала с помощью идеального ФНЧ с частотой верхнего среза ,

Только в случае , когда отсутствует наложение спектров, такое, как показано на рис. 2.7 (д).

Таким образом, процедура восстановления сигнала по

отсчётам может быть осуществлена идеальным ФНЧ с передаточной функцией

,

и, соответственно, с импульсной характеристикой

13. Напишите выражение сигнала в виде ряда Котельникова. Какой базис используется при разложении сигналов в ряд Котельникова? Как определяются коэффициенты разложения сигналов в ряд Котельникова?

Выражение известно в литературе как ряд Котельникова (с масштабным коэффициентом с) и представляет собой частный случай обобщенного ряда Фурье, где базисом является система функций , а коэффициентами разложения служат отсчёты мгновенных значений сигнала .

14. Как определяют огибающую, фазу и мгновенную частоту сигнала ? Какой сигнал называют аналитическим? В чём заключается преобразование Гильберта в частотной области? Как схемотехнически реализуют преобразование Гильберта? Напишите выражение передаточной функции преобразователя Гильберта. Какова импульсная характеристика преобразователя Гильберта? Напишите аналитическое выражение преобразования Гильберта во временной области. Каковы особенности спектра аналитического сигнала?

Для определения и введём в рассмотрение комплексный сигнал , получаемый из действительного сигнала следующим образом:

,

– называют сопряжённым сигналом (связанным некоторым образом с ). Тогда

, .

Комплексный сигнал вида называют аналитическим сигналом.

Преобразование Гильберта в спектральной области сводится к сдвигу фаз всех спектральных составляющих сигнала на угол в области положительных ( ) и на в области отрицательных ( ) частот.

С

Рис. 2.9. Преобразователь

Гильберта

точки зрения схемотехники преобразователь Гильберта – это фазовращатель (рис. 2.9) с передаточной функцией

Найдём импульсную характеристику преобразователя Гильберта

.

Свойства аналитического сигнала

1. Аналитический сигнал является естественным обобщением символического изображения гармонического колебания на произвольный сигнал

.

.

2. Спектр аналитического сигнала располагается только в области положительных частот  > 0

.

3. Сигналы и ортогональны на интервале (в пространстве )

.

4. Сдвиг всех спектральных составляющих действительного сигнала на некоторый угол  соответствует умножению его аналитического сигнала на .

15. Что называют квадратурными компонентами сигнала? Запишите аналитическое выражение сигнала через его квадратурные компоненты. Как огибающая и фаза сигнала связаны с его квадратурными компонентами? Почему обработку узкополосных сигналов проще и точнее реализуют через их квадратурные компоненты?

– косинусная,

– синусная

квадратурные компоненты сигнала ,

– комплексная огибающая.

Представление через квадратурные компоненты особенно полезно для узкополосных сигналов, у которых они оказываются медленно меняющимися функциями по сравнению с (при выборе внутри спектра сигнала ). Формально условие узкополосности сигнала «в расширенном смысле» можно записать следующим образом

, где – верхняя частота в спектре

Обработку узкополосных сигналов можно выполнить проще и точнее через обработку их квадратурных компонентов. Действительно, если выполняется условие узкополосности сигнала, то спектр комплексного сигнала вида

,

получаемого сдвигом спектра огибающей вверх на полностью располагается в области положительных частот, следовательно этот сигнал – аналитический и его мнимая часть является преобразованием Гильберта действительной части

.

Таким образом, можно считать, что преобразование Гильберта узкополосного сигнала сводится к сдвигу фаз на угол –90 гармонических колебаний и не затрагивает его квадратурных компонентов.

На рис 2.10 приведена векторная диаграмма аналитического сигнала. Она представляет собой комплексную плоскость с вращающим-ся и меняющим свою длину вектором .

Угловая скорость его вращения изменяется во времени по закону

.

16. Дайте классификацию ФУ по виду описывающих их дифференциальных уравнений. Каковы принципиальные ограничения на возможности преобразования сигналов в линейных ФУ? Какие типовые ФУ, используемые в системах связи, можно реализовать в классе линейных цепей?

Входные сигналы ФУ называют воздействиями, а выходной – реакцией ФУ на воздействия.

Линейные ФУ по определению описываются линейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей) с постоянными коэффициентами. С точки зрения схемотехники это значит, что все элементы ФУ (R, C, L) имеют постоянные параметры. Оператором преобразования воздействия x(t) в реакцию y(t) для них может служить одна из форм интеграла наложения (Дюамеля) во временной области

17. Каковы возможности параметрических ФУ по преобразованию сигналов? Каковы возможности нелинейных ФУ по преобразованию сигналов?

Спектры воздействия и реакции приведены на рис. 3.3. Из их рассмотрения можно сделать следующие выводы:

1. Параметрические ФУ обогащают спектр воздействия новыми спектральными составляющими.

2. Частоты новых спектральных составляющих в реакции параметрических ФУ определяются частотами спектральных составляющих воздействия и частотами изменения параметров ФУ.

Нелинейные преобразователи сигналов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей), у которых хотя бы один коэффициент зависит от их решения (искомой функции). Соответственно, их схема содержит хотя бы один нелинейный элемент, параметр(ы) которого зависит от протекающего тока или приложенного напряжения.

1. Нелинейные ФУ обогащают спектр воздействия новыми спектральными компонентами.

2. Новые спектральные компоненты реакции нелинейных ФУ являются гармониками частот воздействия или колебаниями комбинационных частот вида

, где l,m,k=0, 1, 2,…