Линейные пространства
Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа.
Линейным
пространством
L
над полем F
называют множество элементов
,
называемых векторами, для которых заданы
две операции –сложение элементов
(векторов)
и умножение
векторов на элементы из поля F
(называемые скалярами)
.
Не вдаваясь в математические детали, в
дальнейшем, под полем скаляров будем
понимать множества вещественных чисел
R
(случай действительного пространства
L)
или комплексных чисел С
(случай комплексного пространства L).
Эти операции должны удовлетворять
системе аксиом линейного пространства.
Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр:
,
.
Свойства сложения:
ассоциативность,
коммутативность.
3. Свойства умножения на скаляр:
ассоциативность,
дистрибутивность
суммы векторов,
дистрибутивность
суммы скаляров.
4.
существование
нулевого вектора.
5.
существование
проти-
воположного вектора.
Теорема Фурье. Условия Дирихле. Свойства преобразования Фурье. Спектральное представление сигналов.
Условие Дирихле, применённое к обыкновенным дифференциальным уравнениям или к дифференциальным уравнениям в частных производных, определяет поведение системы на границе области. Задача о нахождении таких условий называется задачей Дирихле.
Свойства преобразования Фурье
Прямое и обратное преобразование Фурье являются линейными операторами, следовательно, действует принцип суперпозиции. Если
,
то
.Прямое и обратное преобразование Фурье являются взаимно однозначными.
Свойство запаздывания.
Если
,
то
(в данном случае
использованы подстановки:
).
Спектральная функция δ-функции.
Используя общее выражение спектральной функции и фильтрующее свойство δ-функции, получим
.
Спектральная функция комплексного гармонического сигнала
.
Используя
одно из определений δ-функции
и выполняя в нём взаимную замену t и (или f), получим
и
.
Сопоставляя полученный результат с (2.5), имеем
Скалярное произведение комплексных сигналов в спектральной области. Пусть
и
– комплексные функции на интервале
(–T/2,
T/2).
Их скалярное произведение
Скалярное произведение комплексных сигналов и
в спектральной области.
.
При
и
,
8. Спектр произведения
сигналов
.
,
9. Свойство смещения спектра.
Если
,
то
.
10. Ширина спектра.
Теоретически ширина спектра сигналов бесконечна. Однако, учитывая, что интенсивность спектральных составляющих реальных сигналов уменьшается с ростом их частоты (не обязательно монотонно), можно ввести понятие практической (конечной) ширины спектров. Практическую ширину спектра можно определять как ширину частотного интервала, в пределах которого амплитудный спектр S() не меньше некоторого условного уровня (например = 0,1) от S()max или энергия (мощность) сигнала составляет определённую часть (например = 0,9) от полной
.