14. Обратимость суммы операторов.

Пусть Х – банахаво пр-во

В: Х Х лин. огран. Оператор

Рассмотрим условия(достаточные) обратимости ( I + В ) : Х Х, где I : Х Х единичный оператор.

Многие задачи приводятся к вспомогательному операторному ур-ию вида

х + Вх = у или ( I + В ) х = у.

Пример задача Коши .

Рассмотрим вспомогательные понятия

Для оператора В: Х Х определяет натур. Степени n=1,2… следующим образом

….

Далее положим, I

Рассмотрим формальный оператор Rx, R: Х Х опр-ый равенством

Rx = х - Вх + - сумма бесконечна

Может быть записан в виде (1)

Ряд (1) построенный для оператора В наз. Рядом Неймана. Этот формальный ряд(т.к. сумма в правой части имеет смысл если ряд сходится в банаховом пространстве) даст представления алгебраического обратного оператора для I + В при условии его существования.

Для проверки этого утверждения надо убедиться в справедливости 2-ух равенств

1)

2)

Убедимся в справедливости первого равенства (второе проверяется так же). Для удобства оператор R (ряд неймана) представляем в виде

…

Т. О. Если предположить , что алгебраический обратный для существует, то он представляется в виде ряда Неймана.

Т.О. доказано, что при условии существования алгебр. Обратимости для оператора

является оператор предст. В виде ряда неймана т.е. , где I

Кроме этого нам потребуется следующая оценка произвольной степени оеператора В. Имеем:

………..

то устанавливает оценку

Теорема. Пусть В: Х Х – лин огр оператор и , тогда ( I + В ) обратим при этом справедливо неравенство

Док-во. Будем предпологать что алгебр. Обр. существует (т.е. это непосредственно проверяеться с приминением опер-ем алгебр. Обр. оператора, остается док-ать, что алгебр. Обр. оператор явл. Ограниченым. Докажем это с применением представления алгебр. Обр. в виде ряда неймана) имеем: оценим выражение в правой части, ксли бы ∑ содержала конечное число слагаемых то по неравенству треугольнильника можно оценить суммой норм; в данном случае можно оценить n-ую частичную ∑ затем перейти к пределу

Сумма в скобках явл. Суммой бесконечно геом. Прогрессии со знаменателем

Если сравнить левую часть с полученным выражением, то получим

15. Проекторы.

Линейный оператор Р называют проектор тогда, и только тогда, когда (повторное использование не меняет значение)

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор   является проектором, если и только если существуют такие подпространства   и   пространства  , что   раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента   имеем  , а для любого элемента   имеем  . Подпространство   называется образом, а   — ядром проектора  .

Свойства проекторов:

• Пусть   — тождественный оператор. Если   - проектор, то   - тоже проектор, причём   и  .

• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.

• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств:  .

• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

T1. Для нетривиального лин.огр. проектора Р:Х Х справедливо неравенство

Док-во: имеем