11. Линейные операторные уравнения.

Пусть А:х-> у линейный оператор.Составим в соответствии этому оператору уравнения (1), где у принадлежит У

1. Ах = у

2. Ах=пустое мн-во

Называется соответствующим неоднородным 1) неоднородное 2) однородное

У-заданный эл-т, х – искомый(решений уравнений)

Рассмотрим мн-во всех тех правых частей уравнения (1) для кот-х сущ-т хотя бы одно решение. R(А) образ А, можно д-ть , что образ является лин.пространством, т.е подпространства пространства У.

Рассмотрим, мн-во всех решений однородного уравнения (2) kerA-назовем ноль-пространства или ядро, является подпространством пространства Х, если образ совпадает со всем пространством У, то оператор А наз. сюръективным. Что означает, что уравнение для любой правой части сущ-т хотя бы одно решение, а kerA= {пустое мн-во}, то оператор А наз. инъективным, это означает, что уравнение (1) имеет единственное решение, при условии существования.

12. Ограниченность и норма линейного оператора.

Пусть А: х-> у х,у – Банахово пространство, А х0 принадлежит Х, если из того, что

где - произвольная последовательность из окресности х0

из

Если А непр. в каждом эл-те нек.мн-ва , то он непр-н на этом мн-ве, в частности, если х0-произвольный эл-т, для любого х0из х

Лиин.оператор непрерывен на всем пр-ве тогда и только тогда, когда он непр-н в нулевом эл-те. Оператор А наз-ся огранич-м, если для любого х из Х, выполн-ся: С-const (1)

Теорема.

Лиин.оператор А: х-> у непр-н тогда и только тогда, когда он ограничен .

Рассмотрим неравенство, кот. Выполняется для лин-го ограниченного оператора, для конкретного оператора А в неравенстве (1), const С может быть больше с сохранением этого неравенства, однако, уменьшение константы не всегда возможно.

Х не равно пустому множеству, рассмотрим эквивалентное нерав-во (2) min возможен с совпадением с max,возможен sup значение левой части неравенства

Число норма А определяется равенством

Называется нормой лин.ограниченого оператора А.Из (3) следует

В отличие от (1) в этом неравенстве величина А= яв-ся наименьшей возможно константой.

13. Обратимые операторы.

Обратимые операторы

(обратимо) выполнено 2 условия 1)

2)R(A)=Y (1)

В терминах лин однор ур-ия 1 услов озночает,что уравнение однородное Ах=у у=

Теорема 1 -л.о для обратного операт А необход и достаточ выполнение условий

1)

2)R(A)=Y

Достаточность: обратим внимание на то, что 2-е услов теоремы совподает с аналог усо=лов алгебр обратимости, покажем, что 1 услов обеспечивает тривиал ядра,действительно,если допустить что для некоторого не нулевого элемента( ),то получим ,что противореч 1 услов теоремы след-но из (1)следует 1 условие алгебр обратимости,таким образом обр. сущ,Проверим что оператор явл огран для этого в 1 услов заменим ч на

выполн и озноч огранич лин оператора

Необходимость(опускаем)

Теорема 2 -л.о 1) 2)R(A)=Y

(без док-ва)