Теорема Банаха.
Пусть - банахово пространство. Рассмотрим уравнение
, (1)
где
- (в общем случае) нелинейный оператор.
Если
является решением уравнения (1), т.е.
справедливо равенство
,
то
называется неподвижной точкой (элементом)
оператора
.
Утверждения о существовании неподвижных точек составляют специальный раздел функционального анализа, который имеет многочисленные приложения, в том числе, для доказательства существования решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть
.
Говорят, что оператор
на множестве
удовлетворяет условию Липшица с
постоянной
,
если для любых
выполняется неравенство
.
Очевидно, что такой
оператор является непрерывным. Если
1,
то оператор
осуществляет сжимающееся отображение
множества
(является оператором сжатия).
Теорема
(Банах). Пусть
непустое замкнутое множество и оператор
удовлетворяет условию Липшица с
постоянной
1.
Тогда существует единственная неподвижная
точка оператора
,
принадлежащая
.
Доказательство.
Докажем, что неподвижную точку можно
найти как предел последовательности
приближения. Произвольно зафиксируем
и построим последовательность
следующим
образом: положим
,
,
.
Сначала докажем,
что
является фундаментальной последовательностью.
Пусть
.
Тогда
,
Учитывая, что
1,
оценим (
)
.
Следовательно,
.
Из этого неравенства и
следует, что
- фундаментальная последовательность.
В силу замкнутости
последовательность
имеет предел
,
.
Рассмотрим
равенство
и перейдем в нем к пределу при
.
Учитывая непрерывность (из условия
Липшица) оператора
,
получим
.
Это и означает,
что
- неподвижная точка оператора
.
Докажем единственность
неподвижной точки. Доказательство
проведем «от противного». Пусть существует
две неподвижные точки
.
Тогда
.
Отсюда получим,
что
,
что противоречит условию теоремы.
Полученное противоречие, доказывает,
что неподвижная точка единственна.
Теорема доказана.
Подчеркнем, что
построенные в доказательстве приближения
стремятся к единственной неподвижной
точке независимо от выбора «начального
приближения»
.
Тот или иной выбор
влияет только на «скорость» сходимости
в качестве коэффициента. При этом сама
сходимость определяется постоянной
Липшица: чем меньше константа, тем
быстрее сходится приближение с порядком
сходимости
.
Отметим также, что в условиях теоремы
Банаха выполнение условия
существенно. Теорема Банаха позволяет
доказать не только существование
неподвижной точки, но устанавливает
факт её единственности.
В качестве примера применения теоремы Банаха рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
(1)
где
- непрерывная функция двух переменных.
Искомое решение
предполагается непрерывно дифференцируемой
функцией, определенной на
.
Рассмотрим интегральное уравнение
(2)
в пространстве
.
Если существует решение уравнения (2),
то оно является и решением задачи Коши
(1). Действительно, при выполнении (2)
функция
непрерывна и непрерывно дифференцируема.
Продифференцируем (2) и получим, что
решение уравнения (2) удовлетворяет и
дифференциальному уравнению задачи
(1). Кроме того, при
выполняется и начальное условие.
Представим уравнение (2) в виде операторного уравнения
,
где
,
полагая
.
Для доказательства
существования единственности решения
задачи Коши проверим, что оператор
удовлетворяет условиям теоремы Банаха
на всем пространстве, т.е.
.
На пространстве
далее рассматривается макс-норма.
Теорема (существование единственности решения задачи Коши). Пусть выполнены условия
по второму аргументу
удовлетворяет условию Липшица с
константой
,
т.е.
,
.
Тогда существует решение задачи коши (1). Это решение можно найти методом последовательных приближений интегрального уравнения (2).
Доказательство.
Достаточно проверить, что оператор
при произвольно фиксированном
удовлетворяет условию Липшица с
константой меньше единицы. Имеем
Перейдем в этом
неравенстве к максимуму по
и получим:
Так как
по условию теоремы, то оператор
является сжимающим. По теореме Банаха
имеет единственную неподвижную точку,
которая будет решением интегрального
уравнения (2). Теорема доказана.