1. Линейные пространства.

Определение. Линейным пространством L = {a,b,c,…}называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что  L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число):  .

(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)

Для    эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1. a + b = b + a  (коммутативность сложения).

2. (a + b) + c = a + (b + c)  (ассоциативность сложения).

3. .

4. 

5. 1·а = а.

6. 

7. (α + β)а = αа + βа  (дистрибутивность).

8. α(а + b) = αa + αb  (дистрибутивность). 

  Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:

Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.

{От противного: 0₁,0₂; 0₁+0₂=0₁ и 0₂+0₁=0₂ (акс. (3)). Из акс.(1) следует: 0₁=0₂}

Теорема 2.  противоположный элемент – единственен.

{Пусть для  }

Теорема 3.  0·а = 0.

{ }

Теорема 4. 

{ }

2. Метрические пространства.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

На одном и том же множестве могут быть заданы различные функции расстояния, или, что тоже самое, метрики: каждая метрика задаёт своё метрическое пространство.

Каждое нормированное или евклидовое пространство является в то же время и метрическим пространством, поскольку заданные в них норма и скалярное произведение порождают соответствующую им функции расстояния.

Всякое метрическое пространство является вместе с тем и топологическим пространством, в частности, метрическое пространство является хаусдорфовым пространством — топологическим пространством, в котором любые две различные точки отделимы друг от друга. Важнейшая часть исследований в общей топологии посвящена решению вопроса о метризуемости тех или иных топологических пространств.

Особое место среди метрических пространств занимают полные метрические пространства, в которых сходится каждая фундаментальная последовательность.

Метрическое пространство есть упорядоченная пара  , где   — множество элементов (точек) произвольной природы, а   — числовая функция, которая определена на декартовом произведении  , принимает значения в множестве вещественных чисел и удовлетворяет трём аксиомам — аксиомам метрического пространства — и, в соответствии с этим называется функцией расстояния или метрикой. Каждая метрика порождает на одном и том же множестве своё метрическое пространство: вообще говоря,   и   — различные метрические пространства для  .

Метрика

Функция  , которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:

1.  (аксиома тождества).

2.  (аксиома симметрии).

3.  (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

называется метрикой^[1].

Изометрия

Между различными метрическими пространствами   и   может существовать взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее расстояние; если такое соответствие существует, то оно называется изометрией, а пространства, связанные таким соответствием, называются изометричными. Изометричные пространства обладают одними и теми же свойствами, и, поэтому, считаются тождественными.