7 Следствия из теоремы Поста

Следствие (из теоремы Поста):

1. Система функций Ф не полна тогда и только тогда, когда она целиком входит в один из классов T0,T1,L,M,S .

2. Ни один из классов T0,T1,L,M,S  не содержится в другом.

3. Действительно, если бы какой-либо класс содержался в другом, то в формулировке теоремы Поста этот класс можно было бы отбросить.

Из следствия 3 теоремы Поста следует, что других предполных классов нет, а из следствия 2 следует, что каждый из пяти перечисленных классов является предполным.

6Полнота системы Шеффера, представление элементарных функций суперпозицией функций Шеффера

X|x=-x; -(x|y)=x*y; -x|-y=x+y; X|-y=x->y; X|-x=1

4Доказать теорему о представлении функции сднф и скнф

Любая булева функция (не равная тождественно 0) может быть представлена в СДНФ, причём такое представление единственно Док-во: Пусть функция f(x1, x2,…,xn)≠0. По лемме о разложении функции по компонентам при k=n получаем: f(x1, x2,…,xn) = ∀_f(C1,…,Cn)x1^C1…xn^Cn. Из правой части этого равенства выбросим все нулевые дизъюнктивные слагаемые, для которых f(C1,…,Cn)=0, останутся слагаемые, в которых f(C1,…,Cn)=1. Равенство принимает вид: f(x1, x2,…,xn) = _∀f(C)=1 x1^C1…xn^Cn.

Любая булева функция (не равная тождественно 1) может быть представлена в СКНФ, причём такое представление единственно. Док-во: заметим, что ¬(xc) = x^¬c. Пусть функция f(x1, x2,…,xn)≠1. Тогда ¬f≠0 и потому функция ¬f допускает представление в виде СДНФ. ¬ f(x1, 2,…,xn) =_∨¬f(C)=1(x1^C1…xn^Cn). Берем отрицание от обеих частей.

f(x1, x2,…,xn) = _¬∨f(C)=0(x1^C1…xn^Cn) = _&f(C)=0¬(x1^C1…xn^Cn) = _&f(C)=0(¬x1^C1…¬xn^Cn) = _&f(C)=0(x1^¬C1…xn^¬Cn)

3Доказать свойства двойственных функций и принцип двойственности

1(f*(x1,x2..xn))*=f(x1,x2..xn) док:  f*(x1,..xn)*=(-f(-x1..-xn))*=--f(--x1,..—xn)=f(x1,..xn)

2Двойственная фун к суперпозиции фун равна суперпозиции двойственных им. Если f(g1,g2..gn) то f*(g1*,g2*..gn*) док: F0(f1(x1,..)..fm(x1..))*=-f0(f1(-x1..),..f..)=f0(--f1(-x1..)..--f..)=-f0(-f1*(x1..)..f*..)=f0*(f1*(x1),,f*..))

2Вывод законов алгебры Жегалкина

1.x+y=y+x;(комм) 2.x(y+z)=xy+xz;(дистриб) 3.x+(y+z)=(x+y)+z (ассоц) 4.x+1=(-x) 5.x+(-x)=1;  6.x+0=x 7.x+x=0