14. Доказать непланарность графов: g5, g3,3, графа Петерсена, задача о пяти индийских принцах

Г5 Допустим, что для графа K5 существует планарная реализация. Так как граф K5 связен, то для этой планарной реализации справедлива формула Эйлера p – q + r = 2. Поскольку в графе K5 имеем p = 5 и q = 10, то число всех граней 7. пусть при обходе i-ой грани по периметру (по её краю) проходится qi рёбер. Так как при этом каждое ребро обходится дважды (оно является стороной для двух граней), то всего проходится 2q=20. Но в каждой грани не менее трёх сторон. Поэтому qi ≥ 3 для всех i. Отсюда сумма qi не меньше 3r=21 . Получаем 20 ≥ 21 — противоречие. Значит, для графа K5 не существует планарной реализации

Г33 Из уравнения эйлера Г = 5. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра, поскольку, по условию задачи, ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше (5•4)/2 = 10, что противоречит условию, по которому их число равно Петерсон: Стяжение=> К5

13 Доказать необходимое и достаточное условие существование цикла в ориентированном псевдографе

K=А+A²+ A^3+…+ Aⁿ 

Достаточность. Пусть K=[kij] и для некоторого номера i выполняется kii>0. В этом случае для некоторого r={2,...,n} справедливо a(r)ii>0), а следовательно, в силу утверждения 5 найдется путь в D из vi в vi. 

Необходимость. Пусть в орграфе D имеется некоторый кон­тур. А из всякого контура можно выделить простой контур. Нетрудно видеть, что длина простого контура не превышает числа вершин n. Но тогда для любой вершины vi, принадлежащей некоторому простому контуру длины l, где l<=n, элемент a(l)ii матрица Аl отличен от нуля, а следовательно, и элемент kii матрицы К отличен от нуля.

12 Доказать необходимое и достаточное условие существования пути из I в j –ую вершины

Для k=1 очевидно в силу построения матрицы A(D).

Пусть это справедливо для n=k-1. Т.е. в матрице Ak-1 в i-той строке на l-том месте стоит число означающее кол-во маршрутов из vi в vl длины k−1. Столбец под номером j матрицы A содержит числа означающие кол-во дуг (ребер) из vl в vj (l-номер строки). Тогда скалярное произведение i-той строки матрицы Ak-1 на j-тый столбец матрицы A равен сумме произведений. Каждое произведение означает кол-во путей из vi в vj проходящих через vl на предпоследнем шаге. В сумме получается общее кол-во.

11 Доказать теорему о правильной реализации графа в пространстве

Возьмем в R3 произвольную прямую s. Вершинам графа поставим в соответствие отмеченные точки на этой прямой. Каждой дуге графа будет соответствовать своя плоскость, проходящая через s. В этой плоскости проводится эта дуга или петля. Очевидно, что эта конструкция дает правильную реализацию графа.

9Доказательство законов k‐значной логики

8Полнота системы функций в k‐значной логике, примеры полных систем, теорема Кузнецова

Система булевых функций F называется полной,если формулами над этой системой можно задать любую булеву функцию из Р

1.F={-, *,+} (днф, кнф); 2. F={1,*,+mod2) (жегалкин)

теорема Кузнецова А.В.:

Можно построить систему замкнутых классов в Р - M1, M2,…,Ms, каждый из которых не содержит целиком ни одного из остальных классов и такую, что подсистема функций из З полна тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из классов M1, M2,…,Ms. Это аналог теоремы Поста.