Контроль правильности раскрытия статической неопределимости

Окончательные эпюры внутренних силовых факторов подлежат обязательной проверке. Проверяют при этом усло-вия равновесия (статическая проверка) и условия неразрыв-ности деформаций (деформационная проверка).

Для статической проверки следует вырезать узел или ка-кую-либо часть системы и удостовериться в выполнении ус-ловий равновесия, т.е. равенства нулю суммы проекций или моментов всех внешних и внутренних сил, приложенных к этой части:

x y

F 0; F 0; m0.

При этом нужные величины следует брать непосредст-венно из окончательных эпюр. Отметим, что статическая проверка не является достаточной.

Общим контролем является деформационная проверка. Так как в заданной статически неопределимой системе пере-мещение по направлению любой лишней связи равно нулю, то произведение окончательной эпюры изгибающих момен-тов М_х на эпюру моментов любого i-го единичного состояния основной системы должно равняться нулю, т. е.

EI

^^Mx^M1i^{dz 0. (11.7)} l

В качестве основной системы i-го единичного состояния лучше всего выбирать систему, не использованную при рас-чёте. Количество равенств вида (11.7) в деформационной проверке должно равняться числу лишних неизвестных.

Определение перемещений

в статически неопределимых системах

После определения лишних неизвестных усилий и по-строения окончательных эпюр внутренних силовых факторов перемещения в статически неопределимых системах можно

найти обычными способами: методом начальных параметров, интегралом Мора или способом Верещагина. Метод Мора, являющийся универсальным, обычно используют при опре-делении перемещений в балках, рамах и фермах. Вычисляя перемещения по формуле Мора

1

EI EA GA

^{∆i }^MF ^M1i^{dz }^NF ^N1i^{dz }^QF^Q i^{dz, (11.8)} l l l

следует рассмотреть заданную систему под действием внеш-ней нагрузки (окончательные эпюры M_x, N и Q_y). При этом единичную нагрузку мы вправе прикладывать к основной системе, так как исходная статически неопределимая система и основная статически определимая, нагруженная заданными силами и найденными лишними неизвестными, полностью тождественны по условиям работы. Заметим, что основная система может быть выбрана по любому возможному вари-анту.

Лекция 12 ________________________________________________________________________________________________

Учёт свойств симметрии при раскрытии статической

НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ МЕТОДОМ СИЛ

При расчете систем, обладающих свойствами симметрии, оказывается возможным упростить решение задачи и снизить число искомых лишних неизвестных усилий за счёт рацио-нального выбора основной системы.

Покажем эту возможность на примере одного из часто встречающихся в технике видов симметрии – зеркальной симметрии. Будем называть систему симметричной, если они обладает плоскостью симметрии и жестокости симметрич-ных элементов одинаковы.

Рис. 12.1

Для примера возьмём симметричную раму, показанную на рис. 12.1, а. Рассмотрим случаи нагружения рамы симмет-ричной и кососимметричной нагрузками.

Симметричной называют такую нагрузку, при которой внешние силы, приложенные к правой части системы, явля-ются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части (рис. 12.1, б).

Кососимметричной называют такую нагрузку, при кото-рой силы, приложенные к правой половине системы, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к ле-вой половине, но противоположны им по знаку (рис. 12.1, в).

Аналогично можно классифицировать и внутренние си-ловые факторы. Напомним, что в общем случае действия сил в поперечном сечении стержня возникает шесть силовых факторов N, Q_x, Q_y, M_к, M_x, M_y. Причём внутренние силы и моменты, приложенные к правой и левой плоскостям сече-ния, равны по величине и одинаковы по знаку. Отсюда сле-дует, что продольная сила N и изгибающие моменты M_x, M_y являются симметричными внутренними силовыми факторами, так как представляют зеркальное отображение относительно плоскости сечения. Крутящий момент M_к и поперечные силы Q_x,_,Q_y являются кососимметричными силовыми факторами.

Можно доказать, что у симметричной системы в плоско-сти симметрии при симметричной внешней нагрузке обра-щаются в нуль кососимметричные факторы, а при кососим-метричной нагрузке – симметричные силовые факторы.

Покажем это на примере симметричной рамы, изображён-ной на рис. 12.1. Выберем для расчёта симметричную основную систему, разрезав раму по плоско-сти симметрии (рис. 12.2). К сто-ронам разреза приложим в качест-ве лишних неизвестных симмет-ричные силовые факторы X₁ (изгибающие моменты), X₂ (про-дольные силы) и кососимметрич-

_{Рис. 12.2} ные X₃ (поперечные силы).

Запишем систему канонических уравнений для трижды статически неопределимой рамы:

δ₁₁X₁ δ₁₂X₂ δ₁₃X₃ ∆_1F 0; δ₂₁X₁ δ₂₂ X₂ δ₂₃X₃ ∆_2F 0;

δ₃₁X₁ δ₃₂X₂ δ₃₃X₃ ∆_3F 0. (12.1)

Уравнения (12.1) выражают равенство нулю полных вза-имных перемещений сторон разреза по направлениям лиш-них неизвестных. Так, первое уравнение системы (12.1) озна-чает равенство нулю взаимного угла поворота, второе урав-нение – взаимного горизонтального перемещения, третье уравнение – взаимного вертикального перемещения. Заметим теперь, что в этих уравнениях коэффициенты δ_ik, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой – косо-симметричному фактору, обращаются в нуль, т. е.

δ₁₃ δ₃₁ δ₂₃ δ₃₂ 0.

Происходит это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок. Точно так же не воз-никает симметричных перемещений под действием кососим-метричных факторов. Сказанное становится очевидным, если для определения перемещений δ_ik применить способ Вереща-гина. В симметричной раме эпюра изгибающих моментов от симметричных силовых факторов будет симметричной (рис. 12.3, а, б), а от кососимметричных – кососимметричной (рис. 12.3, в)

Рис. 12.3

При перемножении симметричной эпюры на кососим-метричную, очевидно, получим нуль, в то время как пере-множение симметричной эпюры на симметричную и косо-симметричной на кососимметричную даёт результат, отлич-ный от нуля.

Итак, вычёркивая из системы уравнений (12.1) коэффи-циенты, обращающиеся в нуль, получаем

δ₁₁X₁ δ₁₂ X₂ ∆_1F 0; δ₂₁X₁ δ₂₂ X₂ ∆_2F 0;

δ₃₃ X₃ ∆_3F 0. (12.2)

Как видим, система канонических уравнений упростилась. Если при этом внешняя нагрузка симметрична (эпюра

M_F будет симметричной), то ∆_3F = 0. Тогда из третьего урав-нения системы (12.2) получаем, что кососимметричный фак-тор X₃ = 0.

Если нагрузка кососимметричная (эпюра М_F будет косо-симметричной), то ∆_1F = ∆_2F = 0. Тогда первые два уравнения системы (12.2) образуют однородную систему

δ₁₁X₁ δ₁₂ X₂ 0 ; δ₂₁X₁ δ₂₂X₂ 0,

решением которой будет X₁ = X₂ = 0, т. е. равенство нулю симметричных силовых факторов.

Рис. 12.4