Метод сил. Основные этапы расчета статически неопределимых систем

Для раскрытия статической неопределимости стержне-вых и рамных систем широко применяется метод сил, в ко-тором в качестве неизвестных принимают усилия лишних связей.

Для определения неизвестных усилий дополнительно к уравнениям статики составляют уравнения совместности деформаций.

Лишние связи накладывают определённые ограничения на перемещения тех сечений, к которым они приложены. Это обстоятельство и используют для составления дополнитель-ных уравнений, которые вместе с уравнениями равновесия позволяют определить все внутренние силовые факторы в элементах системы.

Рассмотрим этапы расчёта статически неопределимой системы методом сил.

1. Устанавливаем степень статической неопределимости. 2. Отбрасывая лишние связи и заданную нагрузку, заме-

няем исходную систему статически определимой, называе-мой основной системой.

3. Загружая основную систему заданной внешней на-грузкой и лишними неизвестными усилиями X₁, X₂,…,X_n, по-лучаем эквивалентную систему.

4. Эквивалентная система должна удовлетворять сле-дующим условиям: перемещения сечений, в которых прило-жены неизвестные усилия, по направлению их действия от-сутствуют.

Записывая указанные условия в аналитической форме, получаем дополнительные уравнения неразрывности дефор-маций (уравнения перемещений).

Определить перемещения соответствующих сечений ос-новной системы можно любым способом, однако лучше все-го общими методами – интегралом Мора или способом Ве-рещагина.

Из уравнений (11.3) определяем значения лишних неиз-вестных Х₁, Х₂,…Х_n.

5. Найдя лишние неизвестные усилия, определение ре-акций опор и построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов, а также расчёт на прочность проводим обычным способом.

Выбор основной системы

Для одной и той же статически неопределимой системы можно подобрать несколько основных систем. При этом нужно следить за тем, чтобы каждая из них была геометриче-ски неизменяемой. Рациональный выбор основной системы упрощает расчёт.

Отметим, что удаление лишних связей можно произво-дить:

а) отбрасыванием опорных стержней;

б) проведением разрезов, причём каждый разрез стерж-ня, жёстко прикреплённого к узлам, равносилен отбрасыва-нию трёх внутренних связей;

в) включением шарниров (одиночных и общих). Например, для рамы, показанной на рис. 11.6, а, можно

предложить основные системы б, в, г, д, которые получены путём отбрасывания трёх лишних связей в различных комби-нациях. Пятый вариант (рис. 11.6, е) не может быть принят к расчёту, так как в этом случае система является геометри-чески изменяемой.

Во всех случаях через Х₁ ,Х₂ ,Х₃ обозначены соответст-вующие лишние неизвестные.

Рис. 11.6

На рис. 11.7, а показана многопролётная неразрезная балка.

Рис. 11.7

Неразрезными называют балки, лежащие более чем на двух опорах и не имеющие промежуточных шарниров.

Такие балки широко применяются в различных строительных конструкциях.

Число лишних связей в неразрезных балках равно числу промежуточных опор. Если крайняя опора выполнена в виде защемления, то степень статической неопределимости уве-личивается на единицу по сравнению с шарнирной опорой.

Для получения основной системы можно освободиться от всех промежуточных опор, заменив их действие неизвест-ными реакциями Х₁, Х₂, Х₃ (рис. 11.7, б). Однако можно по-строить основную систему постановкой шарниров в сечениях над всеми промежуточными опорами. В этом случае основ-ная система представляет собой четыре отдельные шарнирно опертые по концам балки (рис.11.7, в). Здесь лишними неиз-вестными Х₁, Х₂, Х₃ являются изгибающие моменты в опор-ных сечениях балки. Отметим, что с точки зрения упрощения расчёта основная система для неразрезной балки, полученная путём врезания шарниров над промежуточными опорами, всегда предпочтительнее по сравнению с другими вариантами.

Канонические уравнения метода сил

Дополнительные уравнения перемещений (11.3), выра-жающие равенство нулю перемещений по направлениям лишних неизвестных, удобно составлять в канонической форме, т.е. по определённой закономерности. Покажем это на примере решения дважды статически неопределимой системы, изображённой на рис. 11.8, а.

Выберем в качестве основной системы раму, защемлён-ную одним концом. Тогда, нагрузив основную систему за-данными внешними силами и лишними неизвестными Х₁, Х₂, получим эквивалентную систему. (рис. 11.8, б).

Дополнительные уравнения перемещений сечения А имеют вид

∆₁ 0; ∆₂ 0,

Рис. 11.8

где ∆₁ ∆F,X₁,X₂ – полное перемещение точки А по на-

 

правлению Х₁ (горизонтальное) от заданной нагрузки и лиш-них неизвестных усилий Х₁, Х₂;

∆₂ ∆ F,X₁,X₂ – полное перемещение точки А по на-правлению Х₂ (вертикальное) от указанных нагрузок.

На основании принципа независимости действия сил запишем

∆₁ ∆₁₁ ∆₁₂ ∆_1F 0;

∆₂ ∆₂₁ ∆₂₂ ∆_2F 0. (11.4)

Здесь ∆_iF – перемещение по направлению i-го неизвестного, вызванное заданной внешней нагрузкой F (грузовое переме-щение);

∆_ik – перемещение в том же направлении, вызванное дейст-вием силы Х_k.

Перемещение ∆_ik удобно записать следующим образом:

∆_ik _ik X_k ,

где δ_ik – перемещение по направлению i-го неизвестного, вы-званное действием единичной силы Х_k 1(удельное пере-мещение).

Тогда

∆₁₁ δ₁₁Х₁; ₁₂ δ₁₂Х₂;

∆₂₁ δ₂₁Х₁;∆₂₂ δ₂₂Х₂.

Таким образом, уравнение (11.4) принимает вид

δ₁₁Х₁ δ₁₂Х₂ ∆_1F 0; δ₂₁Х₁ δ₂₂Х₂ ∆_2F 0.

(11.5)

Это каноническая форма уравнений перемещений для си-стемы, два раза статически неопределимой.

По аналогии можно записать систему канонических уравнений метода сил для любой n раз статически неопреде-лимой системы:

δ₁₁Х₁ δ₁₂ Х₂ ...δ_1n X_n _1F 0; δ₂₁X₁ δ₂₂ X₂ ...δ_2n X_n ∆_2F 0;

(11.6)

δ_n1X₁ δ_n2X₂ ...δ_nn X_n ∆_nF 0.

Перемещения ∆_iF и δ_ik чаще всего определяют методом Мора или способом Верещагина. При этом для балок и рам влиянием поперечных и продольных сил обычно пренебре-гают и учитывают лишь изгибающие моменты.

Для определения перемещений необходимо нагрузить основную систему заданной внешней нагрузкой и найти из-гибающие моменты М_F. Затем основную систему поочерёдно нагружают единичными силами Х₁ 1, Х₂ 1,..., Х_n 1 и оп-

ределяют изгибающие моменты М₁₁,М₁₂,...,М_1n . Тогда с помощью интеграла Мора находят

EI EI EI

^{∆1F }^MF ^M11^{dz; ∆2F }^MF ^M12^{dz; ∆nF }^MF ^M1n^dz. l l l

Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы, определяют следующим образом:

EI EI EI

^{11 }^M11^M11^{dz; 22 }^M12^M12^{dz; ...; nn }^M1n^M1n^dz. l l l

Очевидно, что эти перемещения положительны. Удельные перемещения, имеющие неодинаковые индек-

сы, определяют по формулам

EI EI EI

^{12 }^M11^M12^{dz; 13 }^M11^M13^{dz; ...; ik }^M1i^M1k^dz. l l l

Они могут быть положительными или отрицательными, а также равными нулю.

Из определения удельных перемещений следует очевид-ное равенство_ik _ki , называемое иногда теоремой о вза-имности перемещений.

Буквенный вид канонических уравнений остаётся неиз-менным при любом возможном варианте основной системы. Изменяется лишь смысл лишних неизвестных и геометриче-ский смысл перемещений. Например, для балки, показанной на рис. 11.7, а при расчёте по первому варианту основной системы (см. рис. 11.7, б), когда лишними неизвестными яв-ляются реакции опор, канонические уравнения выражают равенство нулю вертикальных перемещений опорных сече-ний. В том случае, когда лишними неизвестными являются изгибающие моменты над промежуточными опорами (см. рис. 11.7, в), аналогичные уравнения означают, что вза-имные углы поворота сечений над промежуточными опорами должны быть равны нулю.

Важно отметить, что при выводе не оговаривалось, ка-ким образом возникают перемещения ∆_iF и ∆_ik. Поэтому сис-тема канонических уравнений (11.6) применима для любых видов нагружения стержневых систем.